MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfxr Structured version   Unicode version

Theorem pnfxr 11317
Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
pnfxr  |- +oo  e.  RR*

Proof of Theorem pnfxr
StepHypRef Expression
1 ssun2 3668 . . 3  |-  { +oo , -oo }  C_  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
2 df-pnf 9626 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
3 cnex 9569 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
43uniex 6578 . . . . . 6  |-  U. CC  e.  _V
54pwex 4630 . . . . 5  |-  ~P U. CC  e.  _V
62, 5eqeltri 2551 . . . 4  |- +oo  e.  _V
76prid1 4135 . . 3  |- +oo  e.  { +oo , -oo }
81, 7sselii 3501 . 2  |- +oo  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
9 df-xr 9628 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
108, 9eleqtrri 2554 1  |- +oo  e.  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474   ~Pcpw 4010   {cpr 4029   U.cuni 4245   CCcc 9486   RRcr 9487   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-pow 4625  ax-un 6574  ax-cnex 9544
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-rex 2820  df-v 3115  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-uni 4246  df-pnf 9626  df-xr 9628
This theorem is referenced by:  pnfex  11318  pnfnemnf  11322  xrltnr  11326  ltpnf  11327  mnfltpnf  11331  pnfnlt  11333  pnfge  11335  nltpnft  11363  xrre  11366  xrre2  11367  xnegcl  11408  xaddf  11419  xaddpnf1  11421  xaddpnf2  11422  pnfaddmnf  11425  mnfaddpnf  11426  xaddass2  11438  xlt2add  11448  xsubge0  11449  xmulneg1  11457  xmulf  11460  xmulpnf1  11462  xmulpnf2  11463  xmulmnf1  11464  xmulpnf1n  11466  xlemul1a  11476  xadddilem  11482  xadddi2  11485  xrsupsslem  11494  xrinfmsslem  11495  supxrpnf  11506  supxrunb1  11507  supxrunb2  11508  supxrbnd  11516  xrinfm0  11524  elioc2  11583  elico2  11584  elicc2  11585  ioomax  11595  iccmax  11596  ioopos  11597  elioopnf  11614  elicopnf  11616  unirnioo  11620  elxrge0  11625  difreicc  11648  ioopnfsup  11955  icopnfsup  11956  xrsup  11959  hashbnd  12375  hashnnn0genn0  12380  hashxrcl  12393  hashdomi  12412  sgnpnf  12885  rexico  13145  limsupgre  13263  rlim3  13280  pcxcl  14239  pc2dvds  14257  pcadd  14263  ramxrcl  14390  ramubcl  14391  abvf  17255  xrsdsreclblem  18232  rege0subm  18242  rge0srg  18255  leordtvallem1  19477  leordtval2  19479  lecldbas  19486  pnfnei  19487  mnfnei  19488  xblpnfps  20633  xblpnf  20634  xblss2ps  20639  blssec  20673  blpnfctr  20674  nmoix  20971  icopnfcld  21010  iocmnfcld  21011  xrtgioo  21046  reconnlem1  21066  xrge0tsms  21074  metdstri  21090  iccpnfcnv  21179  cphsqrtcl  21366  ovolf  21628  ovollb2lem  21634  ovollb2  21635  ovolunlem1a  21642  ovolunlem1  21643  ovoliunlem1  21648  ovolicc1  21662  ovolicc2lem4  21666  ovolicopnf  21670  ovolre  21671  volsup  21701  ioombl1lem2  21704  ioombl1lem4  21706  icombl1  21708  icombl  21709  ioombl  21710  uniioombllem1  21725  uniioombllem2  21727  uniioombllem3  21729  uniioombllem6  21732  mbfdm  21770  ismbfd  21782  mbfmax  21791  ismbf3d  21796  0plef  21814  mbfi1fseqlem3  21859  mbfi1fseqlem4  21860  mbfi1fseqlem5  21861  itg2ge0  21877  itg2mulclem  21888  itg2mulc  21889  itg2monolem1  21892  itg2mono  21895  itg2i1fseq  21897  itg2gt0  21902  itg2cnlem1  21903  itg2cnlem2  21904  lhop2  22151  dvfsumlem2  22163  dvfsumrlim  22167  dvfsumrlim2  22168  taylfvallem1  22486  taylfval  22488  tayl0  22491  radcnvcl  22546  radcnvle  22549  psercnlem1  22554  logccv  22772  cxpcn3  22850  rlimcnp  23023  rlimcnp2  23024  xrlimcnp  23026  efrlim  23027  jensenlem1  23044  jensenlem2  23045  amgm  23048  logfacbnd3  23226  chebbnd1  23385  chebbnd2  23390  dchrisumlem3  23404  log2sumbnd  23457  pntpbnd1  23499  pntibndlem2  23504  pntlemb  23510  pntleme  23521  pnt  23527  umgrafi  23998  sizeusglecusg  24162  isblo3i  25392  xgepnf  27238  xrge0infss  27248  xrdifh  27259  elxrge02  27296  xdivpnfrp  27297  xrge0addass  27340  xrge0neqmnf  27341  xrge0addgt0  27343  xrge0adddir  27344  xrge0npcan  27346  fsumrp0cl  27347  pnfinf  27389  xrnarchi  27390  xrge0tsmsd  27438  xrge0slmod  27497  unitssxrge0  27518  tpr2rico  27530  xrge0iifcnv  27551  xrge0iifiso  27553  xrge0iifhom  27555  xrge0mulc1cn  27559  pnfneige0  27569  lmxrge0  27570  esumle  27705  esumlef  27710  esumcst  27711  esumpr2  27714  esumfsupre  27717  esumpinfval  27719  esumpfinvallem  27720  esumpinfsum  27723  esumpcvgval  27724  hashf2  27730  esumcvg  27732  voliune  27841  volfiniune  27842  ddemeas  27848  sxbrsigalem0  27882  sxbrsigalem2  27897  oms0  27906  sibfinima  27921  probmeasb  28009  orvcgteel  28046  dstfrvclim1  28056  signsply0  28148  mbfposadd  29639  itg2addnclem2  29644  itg2addnclem3  29645  ftc1anclem5  29671  asindmre  29679  dvasin  29680  dvacos  29681  areacirclem2  29685  dvconstbi  30839  rfcnpre3  30986  elicore  31101  iocopn  31124  limcicciooub  31179  limsupre  31183  limcresiooub  31184  limcleqr  31186  icccncfext  31226  cncfiooicclem1  31232  iblsplit  31284  itgsubsticclem  31293  fourierdlem31  31438  fourierdlem33  31440  fourierdlem46  31453  fourierdlem47  31454  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem65  31472  fourierdlem73  31480  fourierdlem75  31482  fourierdlem85  31492  fourierdlem88  31495  fourierdlem95  31502  fourierdlem97  31504  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem107  31514  fourierdlem109  31516  fourierdlem111  31518  fourierdlem112  31519  fourierdlem113  31520  fouriersw  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator