MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnre Structured version   Unicode version

Theorem pnfnre 9624
Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnre  |- +oo  e/  RR

Proof of Theorem pnfnre
StepHypRef Expression
1 pwuninel 6994 . . . 4  |-  -.  ~P U. CC  e.  CC
2 df-pnf 9619 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
32eleq1i 2537 . . . 4  |-  ( +oo  e.  CC  <->  ~P U. CC  e.  CC )
41, 3mtbir 299 . . 3  |-  -. +oo  e.  CC
5 recn 9571 . . 3  |-  ( +oo  e.  RR  -> +oo  e.  CC )
64, 5mto 176 . 2  |-  -. +oo  e.  RR
76nelir 2796 1  |- +oo  e/  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762    e/ wnel 2656   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   CCcc 9479   RRcr 9480   +oocpnf 9614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-uni 4239  df-pnf 9619
This theorem is referenced by:  renepnf  9630  ltxrlt  9644  xrltnr  11319  pnfnlt  11326  hashclb  12385  hasheq0  12388  pcgcd1  14248  pc2dvds  14250  ramtcl2  14377  odhash3  16385  xrsdsreclblem  18225  pnfnei  19480  iccpnfcnv  21172  i1f0rn  21817
  Copyright terms: Public domain W3C validator