MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnre Structured version   Unicode version

Theorem pnfnre 9665
Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnre  |- +oo  e/  RR

Proof of Theorem pnfnre
StepHypRef Expression
1 pwuninel 7007 . . . 4  |-  -.  ~P U. CC  e.  CC
2 df-pnf 9660 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
32eleq1i 2479 . . . 4  |-  ( +oo  e.  CC  <->  ~P U. CC  e.  CC )
41, 3mtbir 297 . . 3  |-  -. +oo  e.  CC
5 recn 9612 . . 3  |-  ( +oo  e.  RR  -> +oo  e.  CC )
64, 5mto 176 . 2  |-  -. +oo  e.  RR
76nelir 2740 1  |- +oo  e/  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1842    e/ wnel 2599   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   CCcc 9520   RRcr 9521   +oocpnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-uni 4192  df-pnf 9660
This theorem is referenced by:  renepnf  9671  ltxrlt  9686  xrltnr  11383  pnfnlt  11390  hashclb  12477  hasheq0  12481  pcgcd1  14609  pc2dvds  14611  ramtcl2  14738  odhash3  16920  xrsdsreclblem  18784  pnfnei  20014  iccpnfcnv  21736  i1f0rn  22381
  Copyright terms: Public domain W3C validator