MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnre Structured version   Unicode version

Theorem pnfnre 9417
Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnre  |- +oo  e/  RR

Proof of Theorem pnfnre
StepHypRef Expression
1 pwuninel 6786 . . . 4  |-  -.  ~P U. CC  e.  CC
2 df-pnf 9412 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
32eleq1i 2501 . . . 4  |-  ( +oo  e.  CC  <->  ~P U. CC  e.  CC )
41, 3mtbir 299 . . 3  |-  -. +oo  e.  CC
5 recn 9364 . . 3  |-  ( +oo  e.  RR  -> +oo  e.  CC )
64, 5mto 176 . 2  |-  -. +oo  e.  RR
76nelir 2703 1  |- +oo  e/  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756    e/ wnel 2602   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086   CCcc 9272   RRcr 9273   +oocpnf 9407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-uni 4087  df-pnf 9412
This theorem is referenced by:  renepnf  9423  ltxrlt  9437  xrltnr  11093  pnfnlt  11100  hashclb  12120  hasheq0  12123  pcgcd1  13935  pc2dvds  13937  ramtcl2  14064  odhash3  16066  xrsdsreclblem  17834  pnfnei  18799  iccpnfcnv  20491  i1f0rn  21135
  Copyright terms: Public domain W3C validator