MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnre Structured version   Unicode version

Theorem pnfnre 9529
Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnre  |- +oo  e/  RR

Proof of Theorem pnfnre
StepHypRef Expression
1 pwuninel 6897 . . . 4  |-  -.  ~P U. CC  e.  CC
2 df-pnf 9524 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
32eleq1i 2528 . . . 4  |-  ( +oo  e.  CC  <->  ~P U. CC  e.  CC )
41, 3mtbir 299 . . 3  |-  -. +oo  e.  CC
5 recn 9476 . . 3  |-  ( +oo  e.  RR  -> +oo  e.  CC )
64, 5mto 176 . 2  |-  -. +oo  e.  RR
76nelir 2784 1  |- +oo  e/  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758    e/ wnel 2645   ~Pcpw 3961   U.cuni 4192   CCcc 9384   RRcr 9385   +oocpnf 9519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-uni 4193  df-pnf 9524
This theorem is referenced by:  renepnf  9535  ltxrlt  9549  xrltnr  11205  pnfnlt  11212  hashclb  12238  hasheq0  12241  pcgcd1  14054  pc2dvds  14056  ramtcl2  14183  odhash3  16188  xrsdsreclblem  17977  pnfnei  18949  iccpnfcnv  20641  i1f0rn  21286
  Copyright terms: Public domain W3C validator