Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfneige0 Structured version   Unicode version

Theorem pnfneige0 28622
 Description: A neighborhood of contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 20160 (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
pnfneige0.j s
Assertion
Ref Expression
pnfneige0
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pnfneige0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9633 . . . 4
2 simpllr 767 . . . 4
31, 2ifclda 3938 . . 3
4 rexr 9675 . . . . . . 7
5 0xr 9676 . . . . . . . 8
65a1i 11 . . . . . . 7
7 pnfxr 11401 . . . . . . . 8
87a1i 11 . . . . . . 7
9 iocinif 28225 . . . . . . 7
104, 6, 8, 9syl3anc 1264 . . . . . 6
11 ovif 6378 . . . . . 6
1210, 11syl6reqr 2480 . . . . 5
1312ad2antlr 731 . . . 4
14 iocssicc 11711 . . . . . 6
15 sslin 3685 . . . . . 6
1614, 15mp1i 13 . . . . 5
17 simpr 462 . . . . . 6
18 ssin 3681 . . . . . . . 8
1918biimpri 209 . . . . . . 7
2019simpld 460 . . . . . 6
21 ssinss1 3687 . . . . . 6
2217, 20, 213syl 18 . . . . 5
2316, 22sstrd 3471 . . . 4
2413, 23eqsstrd 3495 . . 3
25 oveq1 6303 . . . . 5
2625sseq1d 3488 . . . 4
2726rspcev 3179 . . 3
283, 24, 27syl2anc 665 . 2
29 letopon 20145 . . . . . . . . . 10 ordTop TopOn
30 iccssxr 11706 . . . . . . . . . 10
31 resttopon 20101 . . . . . . . . . 10 ordTop TopOn ordTop t TopOn
3229, 30, 31mp2an 676 . . . . . . . . 9 ordTop t TopOn
3332topontopi 19870 . . . . . . . 8 ordTop t
3433a1i 11 . . . . . . 7 ordTop t
35 ovex 6324 . . . . . . . 8
3635a1i 11 . . . . . . 7
37 pnfneige0.j . . . . . . . . . 10 s
38 xrge0topn 28614 . . . . . . . . . 10 s ordTop t
3937, 38eqtri 2449 . . . . . . . . 9 ordTop t
4039eleq2i 2498 . . . . . . . 8 ordTop t
4140biimpi 197 . . . . . . 7 ordTop t
42 elrestr 15279 . . . . . . 7 ordTop t ordTop t ordTop t t
4334, 36, 41, 42syl3anc 1264 . . . . . 6 ordTop t t
44 letop 20146 . . . . . . 7 ordTop
45 ovex 6324 . . . . . . 7
46 restabs 20105 . . . . . . 7 ordTop ordTop t t ordTop t
4744, 14, 45, 46mp3an 1360 . . . . . 6 ordTop t t ordTop t
4843, 47syl6eleq 2518 . . . . 5 ordTop t
4944a1i 11 . . . . . 6 ordTop
50 iocpnfordt 20155 . . . . . . 7 ordTop
5150a1i 11 . . . . . 6 ordTop
52 ssid 3480 . . . . . . 7
5352a1i 11 . . . . . 6
54 inss2 3680 . . . . . . 7
5554a1i 11 . . . . . 6
56 restopnb 20115 . . . . . 6 ordTop ordTop ordTop ordTop t
5749, 36, 51, 53, 55, 56syl23anc 1271 . . . . 5 ordTop ordTop t
5848, 57mpbird 235 . . . 4 ordTop
5958adantr 466 . . 3 ordTop
60 simpr 462 . . . 4
61 0ltpnf 11413 . . . . . 6
62 ubioc1 11677 . . . . . 6
635, 7, 61, 62mp3an 1360 . . . . 5
6463a1i 11 . . . 4
6560, 64elind 3647 . . 3
66 pnfnei 20160 . . 3 ordTop
6759, 65, 66syl2anc 665 . 2
6828, 67r19.29a 2968 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867  wrex 2774  cvv 3078   cin 3432   wss 3433  cif 3906   class class class wbr 4417  cfv 5592  (class class class)co 6296  cr 9527  cc0 9528   cpnf 9661  cxr 9663   clt 9664   cle 9665  cioc 11625  cicc 11627   ↾s cress 15074   ↾t crest 15271  ctopn 15272  ordTopcordt 15349  cxrs 15350  ctop 19841  TopOnctopon 19842 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fi 7922  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-rest 15273  df-topn 15274  df-topgen 15294  df-ordt 15351  df-xrs 15352  df-ps 16390  df-tsr 16391  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847 This theorem is referenced by:  lmxrge0  28623
 Copyright terms: Public domain W3C validator