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Theorem pnfnei 19847
Description: A neighborhood of +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 21436 (which describes neighborhoods of  RR) and mnfnei 19848, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 19844 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem pnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 19840 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2535 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 19592 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ +oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( +oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3641 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3641 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5259 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
15 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR* )
16 0xr 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
17 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
19 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
21 xrmax1 11401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
2216, 15, 21sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
23 ge0gtmnf 11398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
2418, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
25 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  u )
26 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  u  =  ( y (,] +oo ) )
2725, 26eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  ( y (,] +oo ) )
28 elioc1 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( +oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( +oo  e.  RR* 
/\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) ) )
2915, 19, 28sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  (
y (,] +oo )  <->  ( +oo  e.  RR*  /\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) ) )
3027, 29mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  RR*  /\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) )
3130simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  < +oo )
32 0ltpnf 11357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  < +oo
33 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( y  < +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)
34 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( 0  < +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)
3533, 34ifboth 3980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  < +oo  /\  0  < +oo )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
3631, 32, 35sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
37 xrre2 11396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
3814, 18, 20, 24, 36, 37syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
39 xrmax2 11402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
4016, 15, 39sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
41 df-ioc 11559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
42 xrlelttr 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  <  x )  -> 
y  <  x )
)
4341, 41, 42ixxss1 11572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  ( y (,] +oo ) )
4415, 40, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  ( y (,] +oo ) )
45 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  u  C_  A )
4626, 45eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( y (,] +oo )  C_  A )
4744, 46sstrd 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A )
48 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( x (,] +oo )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )
)
4948sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( ( x (,] +oo )  C_  A  <->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A ) )
5049rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
5138, 47, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
5251rexlimdvaa 2950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
5412, 53sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
55 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
5655elrnmpt 5259 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
579, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
58 pnfnlt 11362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
59 elico1 11597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ +oo 
/\ +oo  <  y ) ) )
6013, 59mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y
)  <->  ( +oo  e.  RR* 
/\ -oo  <_ +oo  /\ +oo 
<  y ) ) )
61 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ +oo  /\ +oo  <  y )  -> +oo  <  y
)
6260, 61syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y
)  -> +oo  <  y
) )
6358, 62mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  e.  ( -oo [,) y
) )
64 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  ( +oo  e.  u  <-> +oo  e.  ( -oo [,) y ) ) )
6564notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  ( -. +oo  e.  u  <->  -. +oo  e.  ( -oo [,) y ) ) )
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  -. +oo  e.  u ) )
6766rexlimiv 2943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  -. +oo  e.  u )
6867pm2.21d 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
6968adantrd 468 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
7057, 69sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
7154, 70jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
728, 71sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
73 pnfnre 9652 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e/  RR
7473neli 2792 . . . . . . . . 9  |-  -. +oo  e.  RR
75 elssuni 4281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
76 unirnioo 11649 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
7775, 76syl6sseqr 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
7877sseld 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( +oo  e.  u  -> +oo  e.  RR ) )
7974, 78mtoi 178 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. +oo  e.  u )
8079pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8180adantrd 468 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8272, 81jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
837, 82sylbi 195 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8483rexlimiv 2943 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
856, 84syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ +oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
865, 85sylanb 472 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   ifcif 3944   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   (,]cioc 11555   [,)cico 11556   topGenctg 14854  ordTopcordt 14915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-topgen 14860  df-ordt 14917  df-ps 15956  df-tsr 15957  df-top 19525  df-bases 19527
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  21464  xrlimcnp  23423  xrge0tsmsd  27928  pnfneige0  28086
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