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Theorem pnfnei 19487
Description: A neighborhood of +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 21046 (which describes neighborhoods of  RR) and mnfnei 19488, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 19484 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem pnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 19480 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2545 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 19233 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ +oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( +oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3645 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3645 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5247 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 mnfxr 11319 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
15 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR* )
16 0xr 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
17 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
19 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
21 xrmax1 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
2216, 15, 21sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
23 ge0gtmnf 11369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
2418, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
25 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  u )
26 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  u  =  ( y (,] +oo ) )
2725, 26eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  ( y (,] +oo ) )
28 elioc1 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( +oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( +oo  e.  RR* 
/\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) ) )
2915, 19, 28sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  (
y (,] +oo )  <->  ( +oo  e.  RR*  /\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) ) )
3027, 29mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  RR*  /\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) )
3130simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  < +oo )
32 0ltpnf 11328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  < +oo
33 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( y  < +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)
34 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( 0  < +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)
3533, 34ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  < +oo  /\  0  < +oo )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
3631, 32, 35sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
37 xrre2 11367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
3814, 18, 20, 24, 36, 37syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
39 xrmax2 11373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
4016, 15, 39sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
41 df-ioc 11530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
42 xrlelttr 11355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  <  x )  -> 
y  <  x )
)
4341, 41, 42ixxss1 11543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  ( y (,] +oo ) )
4415, 40, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  ( y (,] +oo ) )
45 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  u  C_  A )
4626, 45eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( y (,] +oo )  C_  A )
4744, 46sstrd 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A )
48 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( x (,] +oo )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )
)
4948sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( ( x (,] +oo )  C_  A  <->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A ) )
5049rspcev 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
5138, 47, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
5251rexlimdvaa 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
5412, 53sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
55 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
5655elrnmpt 5247 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
579, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
58 pnfnlt 11333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
59 elico1 11568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ +oo 
/\ +oo  <  y ) ) )
6013, 59mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y
)  <->  ( +oo  e.  RR* 
/\ -oo  <_ +oo  /\ +oo 
<  y ) ) )
61 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ +oo  /\ +oo  <  y )  -> +oo  <  y
)
6260, 61syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y
)  -> +oo  <  y
) )
6358, 62mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  e.  ( -oo [,) y
) )
64 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  ( +oo  e.  u  <-> +oo  e.  ( -oo [,) y ) ) )
6564notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  ( -. +oo  e.  u  <->  -. +oo  e.  ( -oo [,) y ) ) )
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  -. +oo  e.  u ) )
6766rexlimiv 2949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  -. +oo  e.  u )
6867pm2.21d 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
6968adantrd 468 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
7057, 69sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
7154, 70jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
728, 71sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
73 pnfnre 9631 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e/  RR
7473neli 2802 . . . . . . . . 9  |-  -. +oo  e.  RR
75 elssuni 4275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
76 unirnioo 11620 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
7775, 76syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
7877sseld 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( +oo  e.  u  -> +oo  e.  RR ) )
7974, 78mtoi 178 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. +oo  e.  u )
8079pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8180adantrd 468 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8272, 81jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
837, 82sylbi 195 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8483rexlimiv 2949 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
856, 84syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ +oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
865, 85sylanb 472 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   ifcif 3939   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   (,)cioo 11525   (,]cioc 11526   [,)cico 11527   topGenctg 14689  ordTopcordt 14750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-topgen 14695  df-ordt 14752  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-top 19166  df-bases 19168
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  21074  xrlimcnp  23026  xrge0tsmsd  27438  pnfneige0  27569
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