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Theorem pnfnei 19904
Description: A neighborhood of +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 21493 (which describes neighborhoods of  RR) and mnfnei 19905, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 19901 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem pnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2400 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2400 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 19897 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2478 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 19648 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ +oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( +oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3581 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3581 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3059 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5189 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 mnfxr 11292 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
15 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR* )
16 0xr 9588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
17 ifcl 3924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
1815, 16, 17sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
19 pnfxr 11290 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
21 xrmax1 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
2216, 15, 21sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
23 ge0gtmnf 11342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
2418, 22, 23syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
25 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  u )
26 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  u  =  ( y (,] +oo ) )
2725, 26eleqtrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  ( y (,] +oo ) )
28 elioc1 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( +oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( +oo  e.  RR* 
/\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) ) )
2915, 19, 28sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  (
y (,] +oo )  <->  ( +oo  e.  RR*  /\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) ) )
3027, 29mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  RR*  /\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) )
3130simp2d 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  < +oo )
32 0ltpnf 11301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  < +oo
33 breq1 4395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( y  < +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)
34 breq1 4395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( 0  < +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)
3533, 34ifboth 3918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  < +oo  /\  0  < +oo )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
3631, 32, 35sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
37 xrre2 11340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
3814, 18, 20, 24, 36, 37syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
39 xrmax2 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
4016, 15, 39sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
41 df-ioc 11503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
42 xrlelttr 11328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  <  x )  -> 
y  <  x )
)
4341, 41, 42ixxss1 11516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  ( y (,] +oo ) )
4415, 40, 43syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  ( y (,] +oo ) )
45 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  u  C_  A )
4626, 45eqsstr3d 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( y (,] +oo )  C_  A )
4744, 46sstrd 3449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A )
48 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( x (,] +oo )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )
)
4948sseq1d 3466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( ( x (,] +oo )  C_  A  <->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A ) )
5049rspcev 3157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
5138, 47, 50syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
5251rexlimdvaa 2894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
5352com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
5412, 53sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
55 eqid 2400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
5655elrnmpt 5189 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
579, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
58 pnfnlt 11306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
59 elico1 11541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ +oo 
/\ +oo  <  y ) ) )
6013, 59mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y
)  <->  ( +oo  e.  RR* 
/\ -oo  <_ +oo  /\ +oo 
<  y ) ) )
61 simp3 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ +oo  /\ +oo  <  y )  -> +oo  <  y
)
6260, 61syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y
)  -> +oo  <  y
) )
6358, 62mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  e.  ( -oo [,) y
) )
64 eleq2 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  ( +oo  e.  u  <-> +oo  e.  ( -oo [,) y ) ) )
6564notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  ( -. +oo  e.  u  <->  -. +oo  e.  ( -oo [,) y ) ) )
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  -. +oo  e.  u ) )
6766rexlimiv 2887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  -. +oo  e.  u )
6867pm2.21d 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
6968adantrd 466 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
7057, 69sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
7154, 70jaoi 377 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
728, 71sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
73 pnfnre 9583 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e/  RR
7473neli 2736 . . . . . . . . 9  |-  -. +oo  e.  RR
75 elssuni 4217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
76 unirnioo 11593 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
7775, 76syl6sseqr 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
7877sseld 3438 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( +oo  e.  u  -> +oo  e.  RR ) )
7974, 78mtoi 178 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. +oo  e.  u )
8079pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8180adantrd 466 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8272, 81jaoi 377 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
837, 82sylbi 195 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8483rexlimiv 2887 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
856, 84syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ +oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
865, 85sylanb 470 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   E.wrex 2752   _Vcvv 3056    u. cun 3409    C_ wss 3411   ifcif 3882   U.cuni 4188   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ran crn 4941   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   RRcr 9439   0cc0 9440   +oocpnf 9573   -oocmnf 9574   RR*cxr 9575    < clt 9576    <_ cle 9577   (,)cioo 11498   (,]cioc 11499   [,)cico 11500   topGenctg 14942  ordTopcordt 15003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fi 7823  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-topgen 14948  df-ordt 15005  df-ps 16044  df-tsr 16045  df-top 19581  df-bases 19583
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  21521  xrlimcnp  23514  xrge0tsmsd  28109  pnfneige0  28267
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