MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnei Unicode version

Theorem pnfnei 17238
Description: A neighborhood of  +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 18790 (which describes neighborhoods of  RR) and mnfnei 17239, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 17235 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem pnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
3 eqid 2404 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 17231 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2468 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 16985 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  +oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3448 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3448 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )
1110elrnmpt 5076 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
)
13 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  e.  RR*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
15 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR* )
16 0xr 9087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
17 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
19 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
21 xrmax1 10719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
2216, 15, 21sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
23 ge0gtmnf 10716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
2418, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
25 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  u )
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  u  =  ( y (,]  +oo ) )
2725, 26eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  +oo  e.  ( y (,] 
+oo ) )
28 elioc1 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  +oo  e.  ( y (,] 
+oo )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo )
) )
2915, 19, 28sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
(  +oo  e.  (
y (,]  +oo )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo )
) )
3027, 29mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
(  +oo  e.  RR*  /\  y  <  +oo  /\  +oo  <_  +oo ) )
3130simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  <  +oo )
32 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
33 ltpnf 10677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  +oo
35 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( y  <  +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
)
36 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( 0  <  +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
)
3735, 36ifboth 3730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <  +oo  /\  0  <  +oo )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
3831, 34, 37sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo )
39 xrre2 10714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  +oo ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
4014, 18, 20, 24, 38, 39syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
41 xrmax2 10720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
4216, 15, 41sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
43 df-ioc 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
44 xrlelttr 10702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  <  x )  -> 
y  <  x )
)
4543, 43, 44ixxss1 10890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  (
y (,]  +oo ) )
4615, 42, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  (
y (,]  +oo ) )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  u  C_  A )
4826, 47eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( y (,]  +oo )  C_  A )
4946, 48sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  A
)
50 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( x (,]  +oo )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,]  +oo )
)
5150sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( ( x (,] 
+oo )  C_  A  <->  ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) (,]  +oo )  C_  A ) )
5251rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] 
+oo )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
5340, 49, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,]  +oo ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A )
5453rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
+oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( y (,]  +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5554com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
5612, 55sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
57 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
5857elrnmpt 5076 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) ) )
599, 58ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) )
60 pnfnlt 10681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
61 elico1 10915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  +oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  +oo 
/\  +oo  <  y ) ) )
6213, 61mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y
)  <->  (  +oo  e.  RR* 
/\  -oo  <_  +oo  /\  +oo 
<  y ) ) )
63 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  +oo  /\  +oo  <  y )  ->  +oo  <  y
)
6462, 63syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  e.  (  -oo [,) y
)  ->  +oo  <  y
) )
6560, 64mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  e.  (  -oo [,) y
) )
66 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  (  +oo  e.  u  <->  +oo  e.  ( 
-oo [,) y ) ) )
6766notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  ( -.  +oo  e.  u  <->  -.  +oo  e.  (  -oo [,) y ) ) )
6865, 67syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  (  -oo [,) y )  ->  -.  +oo 
e.  u ) )
6968rexlimiv 2784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  -.  +oo  e.  u )
7069pm2.21d 100 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  (  +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7170adantrd 455 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7259, 71sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
7356, 72jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
748, 73sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
75 pnfnre 9083 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e/  RR
76 df-nel 2570 . . . . . . . . . 10  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
7775, 76mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  -.  +oo  e.  RR
78 elssuni 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
79 unirnioo 10960 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8078, 79syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8180sseld 3307 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
+oo  e.  u  ->  +oo 
e.  RR ) )
8277, 81mtoi 171 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. 
+oo  e.  u )
8382pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
+oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  A ) )
8483adantrd 455 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A ) )
8574, 84jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
867, 85sylbi 188 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( (  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
) )
8786rexlimiv 2784 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  A )
886, 87syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  +oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
895, 88sylanb 459 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    e/ wnel 2568   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   ifcif 3699   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   (,)cioo 10872   (,]cioc 10873   [,)cico 10874   topGenctg 13620  ordTopcordt 13676
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  18818  xrlimcnp  20760  xrge0tsmsd  24176  pnfneige0  24289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-topgen 13622  df-ordt 13680  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-top 16918  df-bases 16920
  Copyright terms: Public domain W3C validator