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Theorem pnfnei 20313
Description: A neighborhood of +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 21902 (which describes neighborhoods of  RR) and mnfnei 20314, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 20310 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem pnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 20306 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2541 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 20057 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ +oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( +oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3565 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3565 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5087 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
15 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  e.  RR* )
16 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
17 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
1815, 16, 17sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR* )
19 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
21 xrmax1 11493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
2216, 15, 21sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
23 ge0gtmnf 11490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
2418, 22, 23syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
25 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  u )
26 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  u  =  ( y (,] +oo ) )
2725, 26eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> +oo  e.  ( y (,] +oo ) )
28 elioc1 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( +oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( +oo  e.  RR* 
/\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) ) )
2915, 19, 28sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  (
y (,] +oo )  <->  ( +oo  e.  RR*  /\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) ) )
3027, 29mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  RR*  /\  y  < +oo  /\ +oo  <_ +oo ) )
3130simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  < +oo )
32 0ltpnf 11447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  < +oo
33 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( y  < +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)
34 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( 0  < +oo  <->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)
3533, 34ifboth 3908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  < +oo  /\  0  < +oo )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
3631, 32, 35sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
37 xrre2 11488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
3814, 18, 20, 24, 36, 37syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
39 xrmax2 11494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )
4016, 15, 39sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
41 df-ioc 11665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
42 xrlelttr 11476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  /\  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  <  x )  -> 
y  <  x )
)
4341, 41, 42ixxss1 11678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  <_  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  ( y (,] +oo ) )
4415, 40, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  ( y (,] +oo ) )
45 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  u  C_  A )
4626, 45eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( y (,] +oo )  C_  A )
4744, 46sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  -> 
( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A )
48 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( x (,] +oo )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )
)
4948sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -> 
( ( x (,] +oo )  C_  A  <->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A ) )
5049rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) (,] +oo )  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
5138, 47, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( y (,] +oo ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
5251rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
5412, 53sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
55 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
5655elrnmpt 5087 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
579, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
58 pnfnlt 11453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
59 elico1 11704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ +oo 
/\ +oo  <  y ) ) )
6013, 59mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y
)  <->  ( +oo  e.  RR* 
/\ -oo  <_ +oo  /\ +oo 
<  y ) ) )
61 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ +oo  /\ +oo  <  y )  -> +oo  <  y
)
6260, 61syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  e.  ( -oo [,) y
)  -> +oo  <  y
) )
6358, 62mtod 182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  e.  ( -oo [,) y
) )
64 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  ( +oo  e.  u  <-> +oo  e.  ( -oo [,) y ) ) )
6564notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  ( -. +oo  e.  u  <->  -. +oo  e.  ( -oo [,) y ) ) )
6663, 65syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( -oo [,) y )  ->  -. +oo  e.  u ) )
6766rexlimiv 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  -. +oo  e.  u )
6867pm2.21d 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
6968adantrd 475 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
7057, 69sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
7154, 70jaoi 386 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
728, 71sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
73 pnfnre 9700 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e/  RR
7473neli 2745 . . . . . . . . 9  |-  -. +oo  e.  RR
75 elssuni 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
76 unirnioo 11759 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
7775, 76syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
7877sseld 3417 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( +oo  e.  u  -> +oo  e.  RR ) )
7974, 78mtoi 183 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. +oo  e.  u )
8079pm2.21d 109 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( +oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8180adantrd 475 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8272, 81jaoi 386 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
837, 82sylbi 200 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A ) )
8483rexlimiv 2867 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( +oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
856, 84syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ +oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
865, 85sylanb 480 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   ifcif 3872   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   [,)cico 11662   topGenctg 15414  ordTopcordt 15475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-top 19998  df-bases 19999
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  21930  xrlimcnp  23973  xrge0tsmsd  28622  pnfneige0  28831
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