Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfinf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pnfinf 28512
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
pnfinf  |-  ( A  e.  RR+  ->  A (<<< ` 
RR*s ) +oo )

Proof of Theorem pnfinf
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpgt0 11320 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
2 nnz 10966 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
32adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
4 rpxr 11316 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e. 
RR* )
54adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR* )
6 xrsmulgzz 28452 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  A  e.  RR* )  -> 
( n (.g `  RR*s
) A )  =  ( n xe A ) )
73, 5, 6syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  (
n (.g `  RR*s ) A )  =  ( n xe A ) )
83zred 11047 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
9 rpre 11315 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
11 rexmul 11564 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( n xe A )  =  ( n  x.  A ) )
12 remulcl 9629 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( n  x.  A
)  e.  RR )
1311, 12eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( n xe A )  e.  RR )
148, 10, 13syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  (
n xe A )  e.  RR )
157, 14eqeltrd 2531 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  (
n (.g `  RR*s ) A )  e.  RR )
16 ltpnf 11429 . . . 4  |-  ( ( n (.g `  RR*s ) A )  e.  RR  ->  ( n (.g `  RR*s ) A )  < +oo )
1715, 16syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  NN )  ->  (
n (.g `  RR*s ) A )  < +oo )
1817ralrimiva 2804 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A. n  e.  NN  ( n (.g ` 
RR*s ) A )  < +oo )
19 xrsex 18995 . . . 4  |-  RR*s 
e.  _V
20 pnfxr 11419 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
21 xrsbas 18996 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
22 xrs0 28449 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g `  RR*s )
23 eqid 2453 . . . . 5  |-  (.g `  RR*s
)  =  (.g `  RR*s
)
24 xrslt 28450 . . . . 5  |-  <  =  ( lt `  RR*s
)
2521, 22, 23, 24isinftm 28510 . . . 4  |-  ( (
RR*s  e.  _V  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A (<<< `  RR*s ) +oo  <->  (
0  <  A  /\  A. n  e.  NN  (
n (.g `  RR*s ) A )  < +oo )
) )
2619, 20, 25mp3an13 1357 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A (<<< `  RR*s ) +oo  <->  (
0  <  A  /\  A. n  e.  NN  (
n (.g `  RR*s ) A )  < +oo )
) )
274, 26syl 17 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A (<<< `  RR*s ) +oo  <->  (
0  <  A  /\  A. n  e.  NN  (
n (.g `  RR*s ) A )  < +oo )
) )
281, 18, 27mpbir2and 934 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  A (<<< ` 
RR*s ) +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544    x. cmul 9549   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680   NNcn 10616   ZZcz 10944   RR+crp 11309   xecxmu 11415   RR*scxrs 15410  .gcmg 16684  <<<cinftm 28505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-fz 11792  df-seq 12221  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-0g 15352  df-xrs 15412  df-plt 16216  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-inftm 28507
This theorem is referenced by:  xrnarchi  28513
  Copyright terms: Public domain W3C validator