MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Unicode version

Theorem pncand 9368
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9267 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  10976  xov1plusxeqvd  10997  zesq  11457  brfi1indlem  11669  ccatval3  11702  fsumrev2  12520  binom1dif  12567  sadcp1  12922  smupp1  12947  hashdvds  13119  pythagtriplem4  13148  pythagtriplem6  13150  pythagtriplem7  13151  pythagtriplem12  13155  pythagtriplem14  13157  pcqdiv  13186  mulgdirlem  14869  blhalf  18388  pjthlem1  19291  ovolicopnf  19373  i1faddlem  19538  itg1addlem4  19544  ftc1lem4  19876  aaliou3lem8  20215  taylthlem2  20243  ulmshft  20259  efif1olem2  20398  efif1olem4  20400  quart1lem  20648  asinsin  20685  efiatan2  20710  logdiflbnd  20786  harmonicbnd4  20802  ftalem1  20808  ftalem2  20809  bcctr  21012  pcbcctr  21013  bcp1ctr  21016  2sqblem  21114  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem3  21183  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  eupatrl  21643  pjhthlem1  22846  dya2icoseg  24580  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  ballotlemsgt1  24721  ballotlemsel1i  24723  ballotlemsima  24726  ballotlem1ri  24745  lgamgulmlem2  24767  lgamcvg2  24792  relgamcl  24799  pnpncand  25160  fprodp1  25245  fprodshft  25253  risefacp1  25297  fallfacp1  25298  colinearalglem4  25752  axpaschlem  25783  bpolydiflem  26004  fsumcube  26010  itg2addnclem  26155  itg2addnclem3  26157  ftc1cnnclem  26177  areacirclem5  26185  ssbnd  26387  jm2.19lem4  26953  jm2.23  26957  jm3.1lem1  26978  climinf  27599  stoweidlem17  27633  wallispilem4  27684  wallispilem5  27685  stirlinglem1  27690  stirlinglem5  27694  stirlinglem6  27695  stirlinglem10  27699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249
  Copyright terms: Public domain W3C validator