MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Unicode version

Theorem pncand 9716
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9612 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 656 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276    + caddc 9281    - cmin 9591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593
This theorem is referenced by:  pncan1  9768  icoshftf1o  11404  xov1plusxeqvd  11427  zesq  11983  brfi1indlem  12214  ccatval3  12274  wrdlenccats1lenm1  12301  fsumrev2  13245  binom1dif  13292  sadcp1  13647  smupp1  13672  hashdvds  13846  pythagtriplem4  13882  pythagtriplem6  13884  pythagtriplem7  13885  pythagtriplem12  13889  pythagtriplem14  13891  pcqdiv  13920  mulgdirlem  15644  blhalf  19939  pjthlem1  20883  ovolicopnf  20966  i1faddlem  21130  itg1addlem4  21136  ftc1lem4  21470  aaliou3lem8  21770  taylthlem2  21798  ulmshft  21814  efif1olem2  21958  efif1olem4  21960  quart1lem  22209  asinsin  22246  efiatan2  22271  logdiflbnd  22347  harmonicbnd4  22363  ftalem1  22369  ftalem2  22370  bcctr  22573  pcbcctr  22574  bcp1ctr  22577  2sqblem  22675  mulog2sumlem1  22742  mulog2sumlem3  22744  pntrlog2bndlem2  22786  pntrlog2bndlem4  22788  pntrlog2bndlem5  22789  pntrlog2bndlem6  22791  colinearalglem4  23090  axpaschlem  23121  eupatrl  23524  pjhthlem1  24729  dya2icoseg  26628  iwrdsplit  26700  fibp1  26714  ballotlemfc0  26805  ballotlemfcc  26806  ballotlemsgt1  26823  ballotlemsel1i  26825  ballotlemsima  26828  ballotlem1ri  26847  eluzmn  26865  signstfvn  26900  lgamgulmlem2  26946  lgamcvg2  26971  relgamcl  26978  pnpncand  27323  fprodp1  27408  fprodshft  27416  risefacp1  27461  fallfacp1  27462  bpolydiflem  28126  fsumcube  28132  sin2h  28347  itg2addnclem  28368  itg2addnclem3  28370  ftc1cnnclem  28390  areacirclem4  28412  ssbnd  28612  jm2.19lem4  29266  jm2.23  29270  jm3.1lem1  29291  itgpowd  29515  climinf  29704  stoweidlem17  29737  wallispilem4  29788  wallispilem5  29789  stirlinglem1  29794  stirlinglem5  29798  stirlinglem6  29799  stirlinglem10  29803  wwlknimp  30246  wlklniswwlkn2  30259  wwlknred  30280  wwlknredwwlkn  30283  clwlkisclwwlklem1  30374  clwlkisclwwlklem0  30375  clwwlkf  30381  wwlkext2clwwlk  30390  wwlkextproplem2  30486  rusgra0edg  30498  numclwwlk2lem1  30620  numclwlk2lem2f  30621  mvlladdd  30956  mvlraddd  30957  mvrladdd  30959  mvrraddd  30961  bj-lsub  32315  bj-bary1lem1  32324
  Copyright terms: Public domain W3C validator