MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Unicode version

Theorem pncand 9927
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9822 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486    + caddc 9491    - cmin 9801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803
This theorem is referenced by:  pncan1  9979  icoshftf1o  11639  xov1plusxeqvd  11662  zesq  12253  brfi1indlem  12493  ccatval3  12558  wrdlenccats1lenm1  12586  fsumrev2  13556  binom1dif  13604  sadcp1  13960  smupp1  13985  hashdvds  14160  pythagtriplem4  14198  pythagtriplem6  14200  pythagtriplem7  14201  pythagtriplem12  14205  pythagtriplem14  14207  pcqdiv  14236  mulgdirlem  15966  cayhamlem1  19134  blhalf  20643  pjthlem1  21587  ovolicopnf  21670  i1faddlem  21835  itg1addlem4  21841  ftc1lem4  22175  aaliou3lem8  22475  taylthlem2  22503  ulmshft  22519  efif1olem2  22663  efif1olem4  22665  quart1lem  22914  asinsin  22951  efiatan2  22976  logdiflbnd  23052  harmonicbnd4  23068  ftalem1  23074  ftalem2  23075  bcctr  23278  pcbcctr  23279  bcp1ctr  23282  2sqblem  23380  mulog2sumlem1  23447  mulog2sumlem3  23449  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem4  23493  pntrlog2bndlem5  23494  pntrlog2bndlem6  23496  colinearalglem4  23888  axpaschlem  23919  wwlknimp  24363  wlklniswwlkn2  24376  wwlknred  24399  wwlknredwwlkn  24402  wwlkextproplem2  24418  clwlkisclwwlklem1  24463  clwlkisclwwlklem0  24464  clwwlkf  24470  wwlkext2clwwlk  24479  rusgra0edg  24631  eupatrl  24644  numclwwlk2lem1  24779  numclwlk2lem2f  24780  pjhthlem1  25985  dya2icoseg  27888  iwrdsplit  27966  fibp1  27980  ballotlemfc0  28071  ballotlemfcc  28072  ballotlemsgt1  28089  ballotlemsel1i  28091  ballotlemsima  28094  ballotlem1ri  28113  eluzmn  28131  signstfvn  28166  lgamgulmlem2  28212  lgamcvg2  28237  relgamcl  28244  pnpncand  28590  fprodp1  28675  fprodshft  28683  risefacp1  28728  fallfacp1  28729  bpolydiflem  29393  fsumcube  29399  sin2h  29622  itg2addnclem  29643  itg2addnclem3  29645  ftc1cnnclem  29665  areacirclem4  29687  ssbnd  29887  jm2.19lem4  30538  jm2.23  30542  jm3.1lem1  30563  itgpowd  30787  hashnzfzclim  30827  iccshift  31122  iooshift  31126  climinf  31148  limcperiod  31170  sumnnodd  31172  0ellimcdiv  31191  cncfshift  31212  cncfperiod  31217  itgiccshift  31298  itgperiod  31299  stoweidlem17  31317  wallispilem4  31368  wallispilem5  31369  stirlinglem1  31374  stirlinglem5  31378  stirlinglem6  31379  stirlinglem10  31383  dirkertrigeqlem2  31399  fourierdlem14  31421  fourierdlem19  31426  fourierdlem41  31448  fourierdlem42  31449  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem50  31457  fourierdlem64  31471  fourierdlem74  31481  fourierdlem75  31482  fourierdlem81  31488  fourierdlem92  31499  fourierdlem97  31504  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem107  31514  mvlladdd  32259  mvlraddd  32260  mvrladdd  32262  mvrraddd  32264  bj-lsub  33743  bj-bary1lem1  33752
  Copyright terms: Public domain W3C validator