MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Unicode version

Theorem pncand 9987
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9881 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1868  (class class class)co 6301   CCcc 9537    + caddc 9542    - cmin 9860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sub 9862
This theorem is referenced by:  addlsub  10038  pnpncand  10041  pncan1  10043  icoshftf1o  11755  xov1plusxeqvd  11778  zesq  12394  brfi1indlem  12643  ccatval3  12714  fsumrev2  13828  binom1dif  13876  fprodp1  14008  risefacp1  14067  fallfacp1  14068  bpolydiflem  14092  fsumcube  14098  sadcp1  14414  smupp1  14439  hashdvds  14708  pythagtriplem4  14754  pythagtriplem6  14756  pythagtriplem7  14757  pythagtriplem12  14761  pythagtriplem14  14763  pcqdiv  14792  mulgdirlem  16767  cayhamlem1  19874  blhalf  21404  pjthlem1  22375  ovolicopnf  22462  i1faddlem  22635  itg1addlem4  22641  ftc1lem4  22975  aaliou3lem8  23285  taylthlem2  23313  ulmshft  23329  efif1olem2  23476  efif1olem4  23478  quart1lem  23765  asinsin  23802  efiatan2  23827  logdiflbnd  23904  harmonicbnd4  23920  lgamgulmlem2  23939  lgamcvg2  23964  relgamcl  23971  ftalem1  23981  ftalem2  23982  bcctr  24187  pcbcctr  24188  bcp1ctr  24191  2sqblem  24289  mulog2sumlem1  24356  mulog2sumlem3  24358  pntrlog2bndlem2  24400  pntrlog2bndlem4  24402  pntrlog2bndlem5  24403  pntrlog2bndlem6  24405  colinearalglem4  24923  axpaschlem  24954  wwlknimp  25398  wwlknred  25434  wwlknredwwlkn  25437  wwlkextproplem2  25453  clwlkisclwwlklem1  25498  clwlkisclwwlklem0  25499  clwwlkf  25505  wwlkext2clwwlk  25514  rusgra0edg  25666  eupatrl  25679  numclwwlk2lem1  25813  numclwlk2lem2f  25814  pjhthlem1  27027  psgnfzto1stlem  28606  madjusmdetlem2  28647  dya2icoseg  29092  iwrdsplit  29213  fibp1  29227  ballotlemfc0  29318  ballotlemfcc  29319  ballotlemsgt1  29336  ballotlemsel1i  29338  ballotlemsima  29341  ballotlem1ri  29360  ballotlemsgt1OLD  29374  ballotlemsel1iOLD  29376  ballotlemsimaOLD  29379  ballotlem1riOLD  29398  eluzmn  29416  signstfvn  29451  bcprod  30366  bccolsum  30367  bj-bary1lem1  31665  sin2h  31846  itg2addnclem  31904  itg2addnclem3  31906  ftc1cnnclem  31926  areacirclem4  31946  ssbnd  32031  jm2.19lem4  35764  jm2.23  35768  jm3.1lem1  35789  itgpowd  36016  int-eqmvtd  36491  hashnzfzclim  36526  dvradcnv2  36551  binomcxplemnn0  36553  binomcxplemnotnn0  36560  iccshift  37447  iooshift  37451  climinf  37501  climinfOLD  37502  limcperiod  37525  0ellimcdiv  37547  cncfshift  37568  cncfperiod  37573  dvdsn1add  37631  dvnmul  37635  dvnprodlem1  37638  itgiccshift  37674  itgperiod  37675  stoweidlem17  37694  wallispilem4  37747  wallispilem5  37748  stirlinglem1  37753  stirlinglem5  37757  stirlinglem6  37758  stirlinglem10  37762  dirkertrigeqlem2  37778  fourierdlem14  37800  fourierdlem19  37805  fourierdlem41  37828  fourierdlem42  37829  fourierdlem42OLD  37830  fourierdlem48  37835  fourierdlem49  37836  fourierdlem50  37837  fourierdlem64  37851  fourierdlem74  37861  fourierdlem75  37862  fourierdlem81  37868  fourierdlem92  37879  fourierdlem97  37884  fourierdlem103  37890  fourierdlem104  37891  fourierdlem107  37894  etransclem9  37925  nnfoctbdjlem  38069  fldivmod  39509  mvlladdd  39690  mvlraddd  39691  mvrladdd  39693  mvrraddd  39695
  Copyright terms: Public domain W3C validator