MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pncand 9987
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncand  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan 9881 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1444    e. wcel 1887  (class class class)co 6290   CCcc 9537    + caddc 9542    - cmin 9860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sub 9862
This theorem is referenced by:  addlsub  10038  pnpncand  10041  pncan1  10043  icoshftf1o  11755  xov1plusxeqvd  11778  zesq  12395  brfi1indlem  12649  ccatval3  12724  fsumrev2  13843  binom1dif  13891  fprodp1  14023  risefacp1  14082  fallfacp1  14083  bpolydiflem  14107  fsumcube  14113  sadcp1  14429  smupp1  14454  hashdvds  14723  pythagtriplem4  14769  pythagtriplem6  14771  pythagtriplem7  14772  pythagtriplem12  14776  pythagtriplem14  14778  pcqdiv  14807  mulgdirlem  16782  cayhamlem1  19890  blhalf  21420  pjthlem1  22391  ovolicopnf  22478  i1faddlem  22651  itg1addlem4  22657  ftc1lem4  22991  aaliou3lem8  23301  taylthlem2  23329  ulmshft  23345  efif1olem2  23492  efif1olem4  23494  quart1lem  23781  asinsin  23818  efiatan2  23843  logdiflbnd  23920  harmonicbnd4  23936  lgamgulmlem2  23955  lgamcvg2  23980  relgamcl  23987  ftalem1  23997  ftalem2  23998  bcctr  24203  pcbcctr  24204  bcp1ctr  24207  2sqblem  24305  mulog2sumlem1  24372  mulog2sumlem3  24374  pntrlog2bndlem2  24416  pntrlog2bndlem4  24418  pntrlog2bndlem5  24419  pntrlog2bndlem6  24421  colinearalglem4  24939  axpaschlem  24970  wwlknimp  25415  wwlknred  25451  wwlknredwwlkn  25454  wwlkextproplem2  25470  clwlkisclwwlklem1  25515  clwlkisclwwlklem0  25516  clwwlkf  25522  wwlkext2clwwlk  25531  rusgra0edg  25683  eupatrl  25696  numclwwlk2lem1  25830  numclwlk2lem2f  25831  pjhthlem1  27044  psgnfzto1stlem  28613  madjusmdetlem2  28654  dya2icoseg  29099  iwrdsplit  29220  fibp1  29234  ballotlemfc0  29325  ballotlemfcc  29326  ballotlemsgt1  29343  ballotlemsel1i  29345  ballotlemsima  29348  ballotlem1ri  29367  ballotlemsgt1OLD  29381  ballotlemsel1iOLD  29383  ballotlemsimaOLD  29386  ballotlem1riOLD  29405  eluzmn  29423  signstfvn  29458  bcprod  30374  bccolsum  30375  bj-bary1lem1  31716  sin2h  31935  itg2addnclem  31993  itg2addnclem3  31995  ftc1cnnclem  32015  areacirclem4  32035  ssbnd  32120  jm2.19lem4  35847  jm2.23  35851  jm3.1lem1  35872  itgpowd  36099  int-eqmvtd  36636  hashnzfzclim  36671  dvradcnv2  36696  binomcxplemnn0  36698  binomcxplemnotnn0  36705  nnsplit  37581  iccshift  37619  iooshift  37623  climinf  37684  climinfOLD  37685  limcperiod  37708  0ellimcdiv  37730  cncfshift  37751  cncfperiod  37756  dvdsn1add  37814  dvnmul  37818  dvnprodlem1  37821  itgiccshift  37857  itgperiod  37858  stoweidlem17  37877  wallispilem4  37930  wallispilem5  37931  stirlinglem1  37936  stirlinglem5  37940  stirlinglem6  37941  stirlinglem10  37945  dirkertrigeqlem2  37961  fourierdlem14  37983  fourierdlem19  37988  fourierdlem41  38011  fourierdlem42  38012  fourierdlem42OLD  38013  fourierdlem48  38018  fourierdlem49  38019  fourierdlem50  38020  fourierdlem64  38034  fourierdlem74  38044  fourierdlem75  38045  fourierdlem81  38051  fourierdlem92  38062  fourierdlem97  38067  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  fourierdlem107  38077  etransclem9  38108  nnfoctbdjlem  38293  fldivmod  40374  mvlladdd  40555  mvlraddd  40556  mvrladdd  40558  mvrraddd  40560
  Copyright terms: Public domain W3C validator