MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Structured version   Unicode version

Theorem pncan3d 9743
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan3d  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan3 9639 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6112   CCcc 9301    + caddc 9306    - cmin 9616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444  df-sub 9618
This theorem is referenced by:  xralrple  11196  quoremz  11715  quoremnn0ALT  11717  intfrac2  11718  intfrac  11744  isercoll2  13167  iseralt  13183  mertenslem1  13365  eflt  13422  efival  13457  bitsmod  13653  bitsinv1lem  13658  odzdvds  13888  modprm0  13894  pcaddlem  13971  vdwapun  14056  vdwlem12  14074  odmodnn0  16064  mndodconglem  16065  minveclem4  20941  ivthlem2  20958  dvn2bss  21426  ftc2  21538  mdegmullem  21571  plymullem1  21704  dvtaylp  21857  dvntaylp  21858  dvntaylp0  21859  taylthlem1  21860  ulmbdd  21885  affineequiv  22243  mcubic  22264  quart1lem  22272  quart1  22273  asinsin  22309  birthdaylem2  22368  emcllem6  22416  perfectlem2  22591  lgseisenlem4  22713  lgsquadlem1  22715  dchrisumlem1  22760  dchrvmasum2if  22768  dchrisum0lem1  22787  selberg3  22830  axsegconlem10  23194  smcnlem  24114  oddpwdc  26759  fprodser  27484  risefacfac  27560  fallfacfwd  27561  itg2addnclem3  28471  ftc2nc  28502  itgsinexp  29821  sigarcol  29926  cshwlemma1  30515
  Copyright terms: Public domain W3C validator