MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Structured version   Unicode version

Theorem pncan3d 9924
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan3d  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan3 9819 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762  (class class class)co 6277   CCcc 9481    + caddc 9486    - cmin 9796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624  df-sub 9798
This theorem is referenced by:  xralrple  11395  quoremz  11940  quoremnn0ALT  11942  intfrac2  11943  intfrac  11969  2cshwcshw  12745  isercoll2  13442  iseralt  13458  mertenslem1  13647  eflt  13704  efival  13739  bitsmod  13936  bitsinv1lem  13941  odzdvds  14172  modprm0  14180  pcaddlem  14257  vdwapun  14342  vdwlem12  14360  odmodnn0  16355  mndodconglem  16356  minveclem4  21577  ivthlem2  21594  dvn2bss  22063  ftc2  22175  mdegmullem  22208  plymullem1  22341  dvtaylp  22494  dvntaylp  22495  dvntaylp0  22496  taylthlem1  22497  ulmbdd  22522  affineequiv  22880  mcubic  22901  quart1lem  22909  quart1  22910  asinsin  22946  birthdaylem2  23005  emcllem6  23053  perfectlem2  23228  lgseisenlem4  23350  lgsquadlem1  23352  dchrisumlem1  23397  dchrvmasum2if  23405  dchrisum0lem1  23424  selberg3  23467  axsegconlem10  23900  smcnlem  25271  oddpwdc  27921  fprodser  28646  risefacfac  28722  fallfacfwd  28723  itg2addnclem3  29634  ftc2nc  29665  fzisoeu  31034  lptre2pt  31139  0ellimcdiv  31148  ioodvbdlimc1lem2  31219  itgsinexp  31229  itgsbtaddcnst  31257  dirkertrigeqlem2  31356  fourierdlem4  31368  fourierdlem13  31377  fourierdlem26  31390  fourierdlem41  31405  fourierdlem42  31406  fourierdlem50  31414  fourierdlem60  31424  fourierdlem61  31425  fourierdlem65  31429  fourierdlem74  31438  fourierdlem75  31439  fourierdlem76  31440  fourierdlem84  31448  fourierdlem89  31453  fourierdlem90  31454  fourierdlem91  31455  fourierdlem107  31471  fourierdlem111  31475  fourierdlem112  31476  fouriersw  31489  sigarcol  31505
  Copyright terms: Public domain W3C validator