MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Unicode version

Theorem pncan3d 9370
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan3d  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan3 9269 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247
This theorem is referenced by:  xralrple  10747  quoremz  11191  intfrac2  11194  intfrac  11218  isercoll2  12417  iseralt  12433  mertenslem1  12616  eflt  12673  efival  12708  bitsmod  12903  bitsinv1lem  12908  odzdvds  13136  pcaddlem  13212  vdwapun  13297  vdwlem12  13315  odmodnn0  15133  mndodconglem  15134  minveclem4  19286  ivthlem2  19302  dvn2bss  19769  ftc2  19881  mdegmullem  19954  plymullem1  20086  dvtaylp  20239  dvntaylp  20240  dvntaylp0  20241  taylthlem1  20242  ulmbdd  20267  affineequiv  20620  mcubic  20640  quart1lem  20648  quart1  20649  asinsin  20685  birthdaylem2  20744  emcllem6  20792  perfectlem2  20967  lgseisenlem4  21089  lgsquadlem1  21091  dchrisumlem1  21136  dchrvmasum2if  21144  dchrisum0lem1  21163  selberg3  21206  smcnlem  22146  fprodser  25228  risefacfac  25301  fallfacfwd  25303  axsegconlem10  25769  itg2addnclem3  26157  itgsinexp  27616  sigarcol  27721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249
  Copyright terms: Public domain W3C validator