MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Structured version   Unicode version

Theorem pncan3d 9890
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan3d  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan3 9784 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6234   CCcc 9440    + caddc 9445    - cmin 9761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-ltxr 9583  df-sub 9763
This theorem is referenced by:  xralrple  11375  quoremz  11933  quoremnn0ALT  11935  intfrac2  11936  intfrac  11963  2cshwcshw  12756  isercoll2  13547  iseralt  13563  mertenslem1  13752  fprodser  13815  risefacfac  13887  fallfacfwd  13888  eflt  13953  efival  13988  bitsmod  14187  bitsinv1lem  14192  odzdvds  14423  modprm0  14431  pcaddlem  14508  vdwapun  14593  vdwlem12  14611  odmodnn0  16780  mndodconglem  16781  minveclem4  22031  ivthlem2  22048  dvn2bss  22517  ftc2  22629  mdegmullem  22662  plymullem1  22795  dvtaylp  22949  dvntaylp  22950  dvntaylp0  22951  taylthlem1  22952  ulmbdd  22977  affineequiv  23374  mcubic  23395  quart1lem  23403  quart1  23404  asinsin  23440  birthdaylem2  23500  emcllem6  23548  perfectlem2  23778  lgseisenlem4  23900  lgsquadlem1  23902  dchrisumlem1  23947  dchrvmasum2if  23955  dchrisum0lem1  23974  selberg3  24017  axsegconlem10  24527  smcnlem  25901  oddpwdc  28679  itg2addnclem3  31422  ftc2nc  31453  fzisoeu  36850  lptre2pt  36996  0ellimcdiv  37005  ioodvbdlimc1lem2  37079  dvnprodlem1  37093  itgsinexp  37103  itgsbtaddcnst  37131  dirkertrigeqlem2  37231  fourierdlem4  37243  fourierdlem13  37252  fourierdlem26  37265  fourierdlem41  37280  fourierdlem42  37281  fourierdlem50  37289  fourierdlem60  37299  fourierdlem61  37300  fourierdlem74  37313  fourierdlem75  37314  fourierdlem76  37315  fourierdlem84  37323  fourierdlem89  37328  fourierdlem90  37329  fourierdlem91  37330  fourierdlem93  37332  fourierdlem101  37340  fourierdlem107  37346  fourierdlem111  37350  fourierdlem112  37351  fouriersw  37364  sigarcol  37431  perfectALTVlem2  37777  ccatpfx  37876  nnpw2pmod  38694
  Copyright terms: Public domain W3C validator