MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3 Structured version   Unicode version

Theorem pncan3 9864
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )

Proof of Theorem pncan3
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  ( B  -  A )  =  ( B  -  A
)
2 simpr 459 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
3 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 subcl 9855 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
54ancoms 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
6 subadd 9859 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  -  A )  e.  CC )  ->  (
( B  -  A
)  =  ( B  -  A )  <->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B ) )
72, 3, 5, 6syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B  -  A )  =  ( B  -  A )  <-> 
( A  +  ( B  -  A ) )  =  B ) )
81, 7mpbii 211 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520    + caddc 9525    - cmin 9841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843
This theorem is referenced by:  npcan  9865  nncan  9884  npncan3  9893  negid  9902  pncan3i  9932  pncan3d  9970  subdi  10031  posdif  10086  fzonmapblen  11900  fzen2  12120  bernneq2  12337  hashdom  12495  hashfz  12534  swrdfv2  12727  2cshwid  12838  cshweqdif2  12843  2cshwcshw  12849  cshwcshid  12851  isercoll2  13640  isumshft  13802  dvdssubr  14236  vdwlem3  14710  vdwlem9  14716  mplsubrglem  18420  mplsubrglemOLD  18421  blcvx  21595  dvef  22673  dvcvx  22713  sincosq2sgn  23184  sincosq3sgn  23185  sincosq4sgn  23186  eflogeq  23281  logdivlti  23299  advlogexp  23330  cvxcl  23640  scvxcvx  23641  cvxscon  29540  rescon  29543  cos2h  31418  dvtanlemOLD  31437  ftc1anclem5  31467  jm2.26a  35304  jm2.27c  35311  addlenpfx  37885  nn0sumshdiglemB  38751
  Copyright terms: Public domain W3C validator