MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3 Structured version   Unicode version

Theorem pncan3 9630
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )

Proof of Theorem pncan3
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  ( B  -  A )  =  ( B  -  A
)
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
3 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 subcl 9621 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
54ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
6 subadd 9625 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  -  A )  e.  CC )  ->  (
( B  -  A
)  =  ( B  -  A )  <->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B ) )
72, 3, 5, 6syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B  -  A )  =  ( B  -  A )  <-> 
( A  +  ( B  -  A ) )  =  B ) )
81, 7mpbii 211 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6103   CCcc 9292    + caddc 9297    - cmin 9607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-ltxr 9435  df-sub 9609
This theorem is referenced by:  npcan  9631  nncan  9650  npncan3  9659  negid  9668  pncan3i  9697  pncan3d  9734  subdi  9790  posdif  9844  fzonmapblen  11604  fzen2  11803  bernneq2  12003  hashdom  12154  hashfz  12200  swrdspsleq  12354  2cshwid  12460  cshweqdif2  12465  isercoll2  13158  isumshft  13314  dvdssubr  13586  vdwlem3  14056  vdwlem9  14062  mplsubrglem  17529  mplsubrglemOLD  17530  blcvx  20387  dvef  21464  dvcvx  21504  sincosq2sgn  21973  sincosq3sgn  21974  sincosq4sgn  21975  eflogeq  22062  logdivlti  22081  advlogexp  22112  cvxcl  22390  scvxcvx  22391  cvxscon  27144  rescon  27147  cos2h  28435  dvtanlem  28453  ftc1anclem5  28483  jm2.26a  29361  jm2.27c  29368  erclwwlksym0  30490  cshwlemma1  30501
  Copyright terms: Public domain W3C validator