MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Unicode version

Theorem pncan2d 9709
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan2 9605 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9268    + caddc 9273    - cmin 9583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411  df-sub 9585
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11418  fzocatel  11586  expaddzlem  11891  hashf1lem2  12193  ccatcl  12258  ccatval3  12262  swrdccat2  12336  imval2  12624  clim2ser  13116  serf0  13142  fsumrev2  13232  geolim2  13314  mertenslem2  13328  mertens  13329  eirrlem  13469  dvdsadd2b  13558  bitsmod  13615  sadadd3  13640  mulgdirlem  15631  coe1tmmul2fv  17629  coe1pwmulfv  17631  cnsubrg  17717  reperflem  20237  reconnlem2  20246  ioorcl2  20894  uniioombllem3  20907  lhop1lem  21327  dvfsumabs  21337  ftc1lem1  21349  itgparts  21361  itgsubstlem  21362  coe1mul3  21456  coemulhi  21606  abelthlem6  21786  efif1olem4  21886  efopn  21988  dcubic2  22124  log2tlbnd  22225  birthdaylem2  22231  jensenlem2  22266  fsumharmonic  22290  chtdif  22381  chtublem  22435  bposlem9  22516  lgsquadlem1  22578  dchrisumlem1  22623  dchrisumlem2  22624  dchrisum0lem1b  22649  selberg2lem  22684  logdivbnd  22690  pntrsumo1  22699  pntrsumbnd2  22701  pntrlog2bndlem1  22711  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bndlem6  22717  pntpbnd1a  22719  axsegconlem9  22994  axpaschlem  23009  archiabllem1a  26032  probdif  26651  ballotlemsi  26745  lgamcvg2  26889  bpolydiflem  28044  ftc1anc  28319  jm2.27c  29201  jm3.1lem2  29212  stirlinglem5  29719  sigarcol  29746  2txmxeqx  30017  ccatw2s1p2  30116  bj-bary1lem1  32196
  Copyright terms: Public domain W3C validator