MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Unicode version

Theorem pncan2d 9944
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan2 9839 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502    + caddc 9507    - cmin 9817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11678  fzocatel  11860  expaddzlem  12189  hashf1lem2  12486  ccatcl  12573  ccatval3  12577  ccatw2s1p2  12621  swrdccat2  12663  imval2  12964  clim2ser  13457  serf0  13483  fsumrev2  13577  geolim2  13660  mertenslem2  13674  mertens  13675  eirrlem  13815  dvdsadd2b  13904  bitsmod  13962  sadadd3  13987  mulgdirlem  16038  coe1tmmul2fv  18189  coe1pwmulfv  18191  cnsubrg  18348  reperflem  21191  reconnlem2  21200  ioorcl2  21849  uniioombllem3  21862  lhop1lem  22282  dvfsumabs  22292  ftc1lem1  22304  itgparts  22316  itgsubstlem  22317  coe1mul3  22368  coemulhi  22518  abelthlem6  22698  efif1olem4  22798  efopn  22905  dcubic2  23041  log2tlbnd  23142  birthdaylem2  23148  jensenlem2  23183  fsumharmonic  23207  chtdif  23298  chtublem  23352  bposlem9  23433  lgsquadlem1  23495  dchrisumlem1  23540  dchrisumlem2  23541  dchrisum0lem1b  23566  selberg2lem  23601  logdivbnd  23607  pntrsumo1  23616  pntrsumbnd2  23618  pntrlog2bndlem1  23628  pntrlog2bndlem2  23629  pntrlog2bndlem6  23634  pntpbnd1a  23636  axsegconlem9  24051  axpaschlem  24066  2sqmod  27460  archiabllem1a  27559  probdif  28184  ballotlemsi  28278  lgamcvg2  28422  bpolydiflem  29743  ftc1anc  30025  jm2.27c  30877  jm3.1lem2  30888  fzisoeu  31400  ioodvbdlimc1lem2  31585  stirlinglem5  31701  fourierdlem7  31737  fourierdlem19  31749  fourierdlem26  31756  fourierdlem42  31772  fourierdlem63  31793  fourierdlem65  31795  fourierdlem79  31809  fourierdlem89  31819  fourierdlem90  31820  fourierdlem91  31821  fourierdlem101  31831  fourierdlem112  31842  sigarcol  31871  2txmxeqx  32107  bj-bary1lem1  34153
  Copyright terms: Public domain W3C validator