MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Unicode version

Theorem pncan2d 9836
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan2 9732 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6203   CCcc 9395    + caddc 9400    - cmin 9710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-ltxr 9538  df-sub 9712
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  11552  fzocatel  11723  expaddzlem  12028  hashf1lem2  12331  ccatcl  12396  ccatval3  12400  swrdccat2  12474  imval2  12762  clim2ser  13254  serf0  13280  fsumrev2  13371  geolim2  13453  mertenslem2  13467  mertens  13468  eirrlem  13608  dvdsadd2b  13697  bitsmod  13754  sadadd3  13779  mulgdirlem  15774  coe1tmmul2fv  17865  coe1pwmulfv  17867  cnsubrg  18008  reperflem  20537  reconnlem2  20546  ioorcl2  21195  uniioombllem3  21208  lhop1lem  21628  dvfsumabs  21638  ftc1lem1  21650  itgparts  21662  itgsubstlem  21663  coe1mul3  21714  coemulhi  21864  abelthlem6  22044  efif1olem4  22144  efopn  22246  dcubic2  22382  log2tlbnd  22483  birthdaylem2  22489  jensenlem2  22524  fsumharmonic  22548  chtdif  22639  chtublem  22693  bposlem9  22774  lgsquadlem1  22836  dchrisumlem1  22881  dchrisumlem2  22882  dchrisum0lem1b  22907  selberg2lem  22942  logdivbnd  22948  pntrsumo1  22957  pntrsumbnd2  22959  pntrlog2bndlem1  22969  pntrlog2bndlem2  22970  pntrlog2bndlem6  22975  pntpbnd1a  22977  axsegconlem9  23350  axpaschlem  23365  archiabllem1a  26380  probdif  26970  ballotlemsi  27064  lgamcvg2  27208  bpolydiflem  28364  ftc1anc  28646  jm2.27c  29527  jm3.1lem2  29538  stirlinglem5  30044  sigarcol  30071  2txmxeqx  30342  ccatw2s1p2  30441  bj-bary1lem1  32963
  Copyright terms: Public domain W3C validator