MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2 Structured version   Unicode version

Theorem pncan2 9613
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2
StepHypRef Expression
1 addcom 9551 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
21oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  +  A )  -  A
)  =  ( ( A  +  B )  -  A ) )
3 pncan 9612 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  +  A )  -  A
)  =  B )
42, 3eqtr3d 2475 . 2  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
54ancoms 450 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276    + caddc 9281    - cmin 9591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593
This theorem is referenced by:  subid  9624  pnpcan  9644  pnncan  9646  pncan2d  9717  fzrev3  11518  fzrevral3  11542  fzosubel2  11596  facndiv  12060  bcnp1n  12086  lswccatn0lsw  12283  swrds1  12341  swrdccat3b  12383  revccat  12402  trireciplem  13320  psgnunilem2  15994  efgredleme  16233  pjthlem1  20883  uniioombllem3  21024  dyadovol  21032  dvfsumle  21452  qaa  21748  geolim3  21764  pserdv2  21854  tangtx  21926  logtayl  22064  tanatan  22273  atans2  22285  efrlim  22322  ppidif  22460  ppiub  22502  bposlem9  22590  pntrsumo1  22773  pntpbnd1a  22793  pntpbnd2  22795  pntlemr  22810  axsegconlem10  23107  wlkdvspthlem  23441  pjhthlem1  24729  hst1h  25566  ballotlem2  26801  ballotlemfmpn  26807  dvtanlem  28366  lzenom  29033  acongrep  29248
  Copyright terms: Public domain W3C validator