MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2 Structured version   Unicode version

Theorem pncan2 9828
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )

Proof of Theorem pncan2
StepHypRef Expression
1 addcom 9766 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
21oveq1d 6300 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  +  A )  -  A
)  =  ( ( A  +  B )  -  A ) )
3 pncan 9827 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  +  A )  -  A
)  =  B )
42, 3eqtr3d 2510 . 2  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
54ancoms 453 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  A
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6285   CCcc 9491    + caddc 9496    - cmin 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634  df-sub 9808
This theorem is referenced by:  subid  9839  pnpcan  9859  pnncan  9861  pncan2d  9933  fzrev3  11746  fzrevral3  11765  fzosubel2  11845  facndiv  12335  bcnp1n  12361  lswccatn0lsw  12573  swrds1  12642  swrdccat3b  12687  revccat  12706  trireciplem  13639  psgnunilem2  16335  efgredleme  16576  pjthlem1  21679  uniioombllem3  21821  dyadovol  21829  dvfsumle  22249  qaa  22545  geolim3  22561  pserdv2  22651  tangtx  22723  logtayl  22866  tanatan  23075  atans2  23087  efrlim  23124  ppidif  23262  ppiub  23304  bposlem9  23392  pntrsumo1  23575  pntpbnd1a  23595  pntpbnd2  23597  pntlemr  23612  axsegconlem10  24002  wlkdvspthlem  24382  pjhthlem1  26082  hst1h  26919  ballotlem2  28178  ballotlemfmpn  28184  dvtanlem  29917  lzenom  30534  acongrep  30749  fourierdlem101  31735  fouriersw  31759
  Copyright terms: Public domain W3C validator