MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Structured version   Unicode version

Theorem pncan 9825
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31, 2addcomd 9780 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
4 addcl 9573 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
5 subadd 9822 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( A  +  B )  -  B
)  =  A  <->  ( B  +  A )  =  ( A  +  B ) ) )
64, 1, 2, 5syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  =  A  <-> 
( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) ) )
73, 6mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6283   CCcc 9489    + caddc 9494    - cmin 9804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-ltxr 9632  df-sub 9806
This theorem is referenced by:  pncan2  9826  addsubass  9829  pncan3oi  9835  subid1  9838  nppcan2  9849  pncand  9930  nn1m1nn  10555  nnsub  10573  elnn0nn  10837  elz2  10880  zrevaddcl  10907  uzindOLD  10954  qrevaddcl  11203  irradd  11205  fzrev3  11744  elfzp1b  11754  fzrevral3  11763  fzval3  11852  seqf1olem1  12113  seqf1olem2  12114  subsq2  12243  bcp1nk  12362  bcp1m1  12365  bcpasc  12366  hashbclem  12466  wrdind  12664  wrd2ind  12665  2cshwcshw  12755  shftlem  12863  shftval5  12873  isershft  13448  isercoll2  13453  fsump1  13533  mptfzshft  13555  telfsumo  13578  fsumparts  13582  bcxmas  13609  isum1p  13615  climcndslem1  13623  geolim  13641  mertenslem2  13656  mertens  13657  eftlub  13704  effsumlt  13706  eirrlem  13797  dvdsadd  13882  3dvds  13908  prmind2  14086  iserodd  14217  fldivp1  14274  prmpwdvds  14280  pockthlem  14281  prmreclem4  14295  prmreclem6  14297  4sqlem11  14331  vdwapun  14350  ramub1lem1  14402  ramcl  14405  1259lem4  14473  1259prm  14475  2503lem2  14477  2503prm  14479  4001lem3  14482  4001prm  14484  efgsval2  16554  efgsrel  16555  pcoass  21275  shft2rab  21670  ovolicc2lem4  21682  uniioombllem3  21745  uniioombllem4  21746  dvexp  22107  dvfsumlem1  22178  degltp1le  22224  ply1divex  22288  plyaddlem1  22361  plymullem1  22362  dvply1  22430  dvply2g  22431  vieta1lem2  22457  aaliou3lem7  22495  dvradcnv  22566  pserdvlem2  22573  abssinper  22660  eff1o  22685  advlogexp  22780  atantayl3  23014  leibpilem1  23015  leibpilem2  23016  log2tlbnd  23020  log2ub  23024  birthday  23028  emcllem2  23070  harmonicbnd4  23084  wilthlem2  23087  basellem8  23105  ppiprm  23169  ppinprm  23170  chtprm  23171  chtnprm  23172  chpp1  23173  ppiublem2  23222  ppiub  23223  chtub  23231  perfectlem1  23248  perfectlem2  23249  perfect  23250  bcp1ctr  23298  bposlem6  23308  bposlem8  23310  lgsvalmod  23334  lgseisen  23372  lgsquadlem1  23373  lgsquad2lem1  23377  2sqlem10  23393  rplogsumlem1  23413  selberg2lem  23479  logdivbnd  23485  pntrsumo1  23494  pntpbnd2  23516  wlklenvm1  24224  wlkiswwlk1  24382  wwlknext  24416  clwwlkf1  24488  eupap1  24668  eupath2lem3  24671  extwwlkfablem2  24771  gxadd  24969  lnfn0i  26653  subfacp1lem5  28284  subfacp1lem6  28285  subfacval2  28287  subfaclim  28288  cvmliftlem7  28392  cvmliftlem10  28395  fsumkthpow  29411  mblfinlem2  29645  itg2addnclem3  29661  fdc  29857  mettrifi  29869  heiborlem4  29929  heiborlem6  29931  lzenom  30323  2nn0ind  30501  jm2.17a  30518  jm2.17b  30519  jm2.17c  30520  fouriersw  31548
  Copyright terms: Public domain W3C validator