MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Structured version   Unicode version

Theorem pncan 9730
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31, 2addcomd 9685 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
4 addcl 9478 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
5 subadd 9727 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( A  +  B )  -  B
)  =  A  <->  ( B  +  A )  =  ( A  +  B ) ) )
64, 1, 2, 5syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  =  A  <-> 
( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) ) )
73, 6mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6203   CCcc 9394    + caddc 9399    - cmin 9709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-ltxr 9537  df-sub 9711
This theorem is referenced by:  pncan2  9731  addsubass  9734  pncan3oi  9740  subid1  9743  nppcan2  9754  pncand  9834  nn1m1nn  10456  nnsub  10474  elnn0nn  10736  elz2  10777  zrevaddcl  10804  uzindOLD  10850  qrevaddcl  11089  irradd  11091  fzrev3  11642  elfzp1b  11657  fzrevral3  11666  fzval3  11725  seqf1olem1  11965  seqf1olem2  11966  subsq2  12094  bcp1nk  12213  bcp1m1  12216  bcpasc  12217  hashbclem  12326  wrdind  12492  wrd2ind  12493  shftlem  12678  shftval5  12688  isershft  13262  isercoll2  13267  fsump1  13344  mptfzshft  13366  fsumtscopo  13386  fsumparts  13390  bcxmas  13419  isum1p  13425  climcndslem1  13433  geolim  13451  mertenslem2  13466  mertens  13467  eftlub  13514  effsumlt  13516  eirrlem  13607  dvdsadd  13692  3dvds  13717  prmind2  13895  iserodd  14023  fldivp1  14080  prmpwdvds  14086  pockthlem  14087  prmreclem4  14101  prmreclem6  14103  4sqlem11  14137  vdwapun  14156  ramub1lem1  14208  ramcl  14211  1259lem4  14279  1259prm  14281  2503lem2  14283  2503prm  14285  4001lem3  14288  4001prm  14290  efgsval2  16354  efgsrel  16355  pcoass  20731  shft2rab  21126  ovolicc2lem4  21138  uniioombllem3  21201  uniioombllem4  21202  dvexp  21563  dvfsumlem1  21634  degltp1le  21680  ply1divex  21744  plyaddlem1  21817  plymullem1  21818  dvply1  21886  dvply2g  21887  vieta1lem2  21913  aaliou3lem7  21951  dvradcnv  22022  pserdvlem2  22029  abssinper  22116  eff1o  22141  advlogexp  22236  atantayl3  22470  leibpilem1  22471  leibpilem2  22472  log2tlbnd  22476  log2ub  22480  birthday  22484  emcllem2  22526  harmonicbnd4  22540  wilthlem2  22543  basellem8  22561  ppiprm  22625  ppinprm  22626  chtprm  22627  chtnprm  22628  chpp1  22629  ppiublem2  22678  ppiub  22679  chtub  22687  perfectlem1  22704  perfectlem2  22705  perfect  22706  bcp1ctr  22754  bposlem6  22764  bposlem8  22766  lgsvalmod  22790  lgseisen  22828  lgsquadlem1  22829  lgsquad2lem1  22833  2sqlem10  22849  rplogsumlem1  22869  selberg2lem  22935  logdivbnd  22941  pntrsumo1  22950  pntpbnd2  22972  eupap1  23769  eupath2lem3  23772  gxadd  23934  lnfn0i  25618  subfacp1lem5  27236  subfacp1lem6  27237  subfacval2  27239  subfaclim  27240  cvmliftlem7  27344  cvmliftlem10  27347  fsumkthpow  28363  mblfinlem2  28597  itg2addnclem3  28613  fdc  28809  mettrifi  28821  heiborlem4  28881  heiborlem6  28883  lzenom  29276  2nn0ind  29454  jm2.17a  29471  jm2.17b  29472  jm2.17c  29473  wlklenfislenpm1  30452  wlkiswwlk1  30492  wwlknext  30524  clwwlkf1  30626  cshwlemma1  30657  extwwlkfablem2  30839
  Copyright terms: Public domain W3C validator