MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Unicode version

Theorem pncan 9267
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31, 2addcomd 9224 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
4 addcl 9028 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
5 subadd 9264 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( A  +  B )  -  B
)  =  A  <->  ( B  +  A )  =  ( A  +  B ) ) )
64, 1, 2, 5syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  =  A  <-> 
( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) ) )
73, 6mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247
This theorem is referenced by:  pncan2  9268  addsubass  9271  subid1  9278  nppcan2  9288  pncand  9368  nn1m1nn  9976  nnsub  9994  elnn0nn  10218  elz2  10254  zrevaddcl  10277  uzindOLD  10320  qrevaddcl  10552  irradd  10554  fzrev3  11067  fzrevral3  11088  fzval3  11135  seqf1olem1  11317  seqf1olem2  11318  subsq2  11444  bcp1nk  11563  bcp1m1  11566  bcpasc  11567  hashbclem  11656  wrdind  11746  shftlem  11838  shftval5  11848  isershft  12412  isercoll2  12417  fsump1  12495  fsumshft  12518  fsumtscopo  12536  fsumparts  12540  bcxmas  12570  isum1p  12576  climcndslem1  12584  geolim  12602  mertenslem2  12617  mertens  12618  eftlub  12665  effsumlt  12667  eirrlem  12758  dvdsadd  12843  3dvds  12867  prmind2  13045  iserodd  13164  fldivp1  13221  prmpwdvds  13227  pockthlem  13228  prmreclem4  13242  prmreclem6  13244  4sqlem11  13278  vdwapun  13297  ramub1lem1  13349  ramcl  13352  1259lem4  13408  1259prm  13410  2503lem2  13412  2503prm  13414  4001lem3  13417  4001prm  13419  efgsval2  15320  efgsrel  15321  pcoass  19002  shft2rab  19357  ovolicc2lem4  19369  uniioombllem3  19430  uniioombllem4  19431  dvexp  19792  dvfsumlem1  19863  degltp1le  19949  ply1divex  20012  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  dvply1  20154  dvply2g  20155  vieta1lem2  20181  aaliou3lem7  20219  dvradcnv  20290  pserdvlem2  20297  abssinper  20379  eff1o  20404  advlogexp  20499  atantayl3  20732  leibpilem1  20733  leibpilem2  20734  log2tlbnd  20738  log2ub  20742  birthday  20746  emcllem2  20788  harmonicbnd4  20802  wilthlem2  20805  basellem8  20823  ppiprm  20887  ppinprm  20888  chtprm  20889  chtnprm  20890  chpp1  20891  ppiublem2  20940  ppiub  20941  chtub  20949  perfectlem1  20966  perfectlem2  20967  perfect  20968  bcp1ctr  21016  bposlem6  21026  bposlem8  21028  lgsvalmod  21052  lgseisen  21090  lgsquadlem1  21091  lgsquad2lem1  21095  2sqlem10  21111  rplogsumlem1  21131  selberg2lem  21197  logdivbnd  21203  pntrsumo1  21212  pntpbnd2  21234  eupap1  21651  eupath2lem3  21654  gxadd  21816  lnfn0i  23498  subfacp1lem5  24823  subfacp1lem6  24824  subfacval2  24826  subfaclim  24827  cvmliftlem7  24931  cvmliftlem10  24934  elfzp1b  25069  fsumkthpow  26006  mblfinlem  26143  itg2addnclem3  26157  fdc  26339  mettrifi  26353  heiborlem4  26413  heiborlem6  26415  lzenom  26718  2nn0ind  26898  jm2.17a  26915  jm2.17b  26916  jm2.17c  26917  stoweidlem34  27650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249
  Copyright terms: Public domain W3C validator