MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Structured version   Unicode version

Theorem pncan 9608
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31, 2addcomd 9563 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
4 addcl 9356 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
5 subadd 9605 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( A  +  B )  -  B
)  =  A  <->  ( B  +  A )  =  ( A  +  B ) ) )
64, 1, 2, 5syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  =  A  <-> 
( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) ) )
73, 6mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272    + caddc 9277    - cmin 9587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589
This theorem is referenced by:  pncan2  9609  addsubass  9612  pncan3oi  9618  subid1  9621  nppcan2  9632  pncand  9712  nn1m1nn  10334  nnsub  10352  elnn0nn  10614  elz2  10655  zrevaddcl  10682  uzindOLD  10728  qrevaddcl  10967  irradd  10969  fzrev3  11514  elfzp1b  11529  fzrevral3  11538  fzval3  11597  seqf1olem1  11837  seqf1olem2  11838  subsq2  11966  bcp1nk  12085  bcp1m1  12088  bcpasc  12089  hashbclem  12197  wrdind  12363  wrd2ind  12364  shftlem  12549  shftval5  12559  isershft  13133  isercoll2  13138  fsump1  13215  mptfzshft  13237  fsumtscopo  13257  fsumparts  13261  bcxmas  13290  isum1p  13296  climcndslem1  13304  geolim  13322  mertenslem2  13337  mertens  13338  eftlub  13385  effsumlt  13387  eirrlem  13478  dvdsadd  13563  3dvds  13588  prmind2  13766  iserodd  13894  fldivp1  13951  prmpwdvds  13957  pockthlem  13958  prmreclem4  13972  prmreclem6  13974  4sqlem11  14008  vdwapun  14027  ramub1lem1  14079  ramcl  14082  1259lem4  14150  1259prm  14152  2503lem2  14154  2503prm  14156  4001lem3  14159  4001prm  14161  efgsval2  16221  efgsrel  16222  pcoass  20571  shft2rab  20966  ovolicc2lem4  20978  uniioombllem3  21040  uniioombllem4  21041  dvexp  21402  dvfsumlem1  21473  degltp1le  21519  ply1divex  21583  plyaddlem1  21656  plymullem1  21657  dvply1  21725  dvply2g  21726  vieta1lem2  21752  aaliou3lem7  21790  dvradcnv  21861  pserdvlem2  21868  abssinper  21955  eff1o  21980  advlogexp  22075  atantayl3  22309  leibpilem1  22310  leibpilem2  22311  log2tlbnd  22315  log2ub  22319  birthday  22323  emcllem2  22365  harmonicbnd4  22379  wilthlem2  22382  basellem8  22400  ppiprm  22464  ppinprm  22465  chtprm  22466  chtnprm  22467  chpp1  22468  ppiublem2  22517  ppiub  22518  chtub  22526  perfectlem1  22543  perfectlem2  22544  perfect  22545  bcp1ctr  22593  bposlem6  22603  bposlem8  22605  lgsvalmod  22629  lgseisen  22667  lgsquadlem1  22668  lgsquad2lem1  22672  2sqlem10  22688  rplogsumlem1  22708  selberg2lem  22774  logdivbnd  22780  pntrsumo1  22789  pntpbnd2  22811  eupap1  23548  eupath2lem3  23551  gxadd  23713  lnfn0i  25397  subfacp1lem5  27024  subfacp1lem6  27025  subfacval2  27027  subfaclim  27028  cvmliftlem7  27132  cvmliftlem10  27135  fsumkthpow  28150  mblfinlem2  28382  itg2addnclem3  28398  fdc  28594  mettrifi  28606  heiborlem4  28666  heiborlem6  28668  lzenom  29061  2nn0ind  29239  jm2.17a  29256  jm2.17b  29257  jm2.17c  29258  wlklenfislenpm1  30237  wlkiswwlk1  30277  wwlknext  30309  clwwlkf1  30411  cshwlemma1  30442  extwwlkfablem2  30624
  Copyright terms: Public domain W3C validator