MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Structured version   Unicode version

Theorem pncan 9604
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2 simpl 454 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31, 2addcomd 9559 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
4 addcl 9352 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
5 subadd 9601 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( A  +  B )  -  B
)  =  A  <->  ( B  +  A )  =  ( A  +  B ) ) )
64, 1, 2, 5syl3anc 1211 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  =  A  <-> 
( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) ) )
73, 6mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9268    + caddc 9273    - cmin 9583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411  df-sub 9585
This theorem is referenced by:  pncan2  9605  addsubass  9608  pncan3oi  9614  subid1  9617  nppcan2  9628  pncand  9708  nn1m1nn  10330  nnsub  10348  elnn0nn  10610  elz2  10651  zrevaddcl  10678  uzindOLD  10724  qrevaddcl  10963  irradd  10965  fzrev3  11506  elfzp1b  11521  fzrevral3  11530  fzval3  11589  seqf1olem1  11829  seqf1olem2  11830  subsq2  11958  bcp1nk  12077  bcp1m1  12080  bcpasc  12081  hashbclem  12189  wrdind  12355  wrd2ind  12356  shftlem  12541  shftval5  12551  isershft  13125  isercoll2  13130  fsump1  13207  fsumshft  13230  fsumtscopo  13248  fsumparts  13252  bcxmas  13281  isum1p  13287  climcndslem1  13295  geolim  13313  mertenslem2  13328  mertens  13329  eftlub  13376  effsumlt  13378  eirrlem  13469  dvdsadd  13554  3dvds  13579  prmind2  13757  iserodd  13885  fldivp1  13942  prmpwdvds  13948  pockthlem  13949  prmreclem4  13963  prmreclem6  13965  4sqlem11  13999  vdwapun  14018  ramub1lem1  14070  ramcl  14073  1259lem4  14141  1259prm  14143  2503lem2  14145  2503prm  14147  4001lem3  14150  4001prm  14152  efgsval2  16210  efgsrel  16211  pcoass  20438  shft2rab  20833  ovolicc2lem4  20845  uniioombllem3  20907  uniioombllem4  20908  dvexp  21269  dvfsumlem1  21340  degltp1le  21429  ply1divex  21493  plyaddlem1  21566  plymullem1  21567  dvply1  21635  dvply2g  21636  vieta1lem2  21662  aaliou3lem7  21700  dvradcnv  21771  pserdvlem2  21778  abssinper  21865  eff1o  21890  advlogexp  21985  atantayl3  22219  leibpilem1  22220  leibpilem2  22221  log2tlbnd  22225  log2ub  22229  birthday  22233  emcllem2  22275  harmonicbnd4  22289  wilthlem2  22292  basellem8  22310  ppiprm  22374  ppinprm  22375  chtprm  22376  chtnprm  22377  chpp1  22378  ppiublem2  22427  ppiub  22428  chtub  22436  perfectlem1  22453  perfectlem2  22454  perfect  22455  bcp1ctr  22503  bposlem6  22513  bposlem8  22515  lgsvalmod  22539  lgseisen  22577  lgsquadlem1  22578  lgsquad2lem1  22582  2sqlem10  22598  rplogsumlem1  22618  selberg2lem  22684  logdivbnd  22690  pntrsumo1  22699  pntpbnd2  22721  eupap1  23420  eupath2lem3  23423  gxadd  23585  lnfn0i  25269  subfacp1lem5  26920  subfacp1lem6  26921  subfacval2  26923  subfaclim  26924  cvmliftlem7  27028  cvmliftlem10  27031  fsumkthpow  28046  mblfinlem2  28273  itg2addnclem3  28289  fdc  28485  mettrifi  28497  heiborlem4  28557  heiborlem6  28559  lzenom  28953  2nn0ind  29131  jm2.17a  29148  jm2.17b  29149  jm2.17c  29150  stoweidlem34  29675  wlklenfislenpm1  30130  wlkiswwlk1  30170  wwlknext  30202  clwwlkf1  30304  cshwlemma1  30335  extwwlkfablem2  30517
  Copyright terms: Public domain W3C validator