MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pn0sr Structured version   Unicode version

Theorem pn0sr 9474
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 1idsr 9471 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  1R )  =  A )
21oveq1d 6297 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
3 distrsr 9464 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )
4 m1p1sr 9465 . . . . 5  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
54oveq2i 6293 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  .R  0R )
6 addcomsr 9460 . . . 4  |-  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )
73, 5, 63eqtr3i 2504 . . 3  |-  ( A  .R  0R )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )
8 00sr 9472 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
97, 8syl5eqr 2522 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
102, 9eqtr3d 2510 1  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   R.cnr 9239   0Rc0r 9240   1Rc1r 9241   -1Rcm1r 9242    +R cplr 9243    .R cmr 9244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-ni 9246  df-pli 9247  df-mi 9248  df-lti 9249  df-plpq 9282  df-mpq 9283  df-ltpq 9284  df-enq 9285  df-nq 9286  df-erq 9287  df-plq 9288  df-mq 9289  df-1nq 9290  df-rq 9291  df-ltnq 9292  df-np 9355  df-1p 9356  df-plp 9357  df-mp 9358  df-ltp 9359  df-enr 9429  df-nr 9430  df-plr 9431  df-mr 9432  df-0r 9434  df-1r 9435  df-m1r 9436
This theorem is referenced by:  negexsr  9475  sqgt0sr  9479  map2psrpr  9483  axrnegex  9535
  Copyright terms: Public domain W3C validator