MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pn0sr Unicode version

Theorem pn0sr 8932
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 1idsr 8929 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  1R )  =  A )
21oveq1d 6055 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
3 distrsr 8922 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )
4 m1p1sr 8923 . . . . 5  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
54oveq2i 6051 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  .R  0R )
6 addcomsr 8918 . . . 4  |-  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )
73, 5, 63eqtr3i 2432 . . 3  |-  ( A  .R  0R )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )
8 00sr 8930 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
97, 8syl5eqr 2450 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
102, 9eqtr3d 2438 1  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   R.cnr 8698   0Rc0r 8699   1Rc1r 8700   -1Rcm1r 8701    +R cplr 8702    .R cmr 8703
This theorem is referenced by:  negexsr  8933  sqgt0sr  8937  map2psrpr  8941  axrnegex  8993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-rq 8750  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-1p 8815  df-plp 8816  df-mp 8817  df-ltp 8818  df-plpr 8888  df-mpr 8889  df-enr 8890  df-nr 8891  df-plr 8892  df-mr 8893  df-0r 8895  df-1r 8896  df-m1r 8897
  Copyright terms: Public domain W3C validator