Theorem pn0sr 6362

Description: A signed real plus its negative is zero.

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	|- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1idsr 6359	. . 3 |- (A e. R. -> (A .R 1R) = A)
2	1	opreq1d 4897	. 2 |- (A e. R. -> ((A .R 1R) +R (A .R -1R)) = (A +R (A .R -1R)))
3		00sr 6360	. . 3 |- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)
4		m1r 6343	. . . . . 6 |- -1R e. R.
5	4	elisseti 2301	. . . . 5 |- -1R e. _V
6		1r 6342	. . . . . 6 |- 1R e. R.
7	6	elisseti 2301	. . . . 5 |- 1R e. _V
8	5, 7	distrsr 6352	. . . 4 |- (A .R (-1R +R 1R)) = ((A .R -1R) +R (A .R 1R))
9		m1p1sr 6353	. . . . 5 |- (-1R +R 1R) = 0R
10	9	opreq2i 4893	. . . 4 |- (A .R (-1R +R 1R)) = (A .R 0R)
11		oprex 4907	. . . . 5 |- (A .R -1R) e. _V
12		oprex 4907	. . . . 5 |- (A .R 1R) e. _V
13	11, 12	addcomsr 6348	. . . 4 |- ((A .R -1R) +R (A .R 1R)) = ((A .R 1R) +R (A .R -1R))
14	8, 10, 13	3eqtr3i 1918	. . 3 |- (A .R 0R) = ((A .R 1R) +R (A .R -1R))
15	3, 14	syl5eqr 1942	. 2 |- (A e. R. -> ((A .R 1R) +R (A .R -1R)) = 0R)
16	2, 15	eqtr3d 1927	1 |- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  R.cnr 6145  0Rc0r 6146  1Rc1r 6147  -1Rcm1r 6148   +R cplr 6149   .R cmr 6150

This theorem is referenced by:  negexsr 6363  sqgt0sr 6367  supsrlem2 6378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325

Copyright terms: Public domain