MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrval 16059
Description: A generated transposition, expressed in a symmetric form. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrval  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, T    z, P    z, V

Proof of Theorem pmtrval
Dummy variables  p  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . . . . 5  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
21pmtrfval 16058 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
32fveq1d 5791 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( T `  P )  =  ( ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P ) )
433ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P ) )
5 elpw2g 4553 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  ( P  e.  ~P D  <->  P 
C_  D ) )
65biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D )  ->  P  e.  ~P D
)
763adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  e.  ~P D )
8 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  2o )
9 breq1 4393 . . . . 5  |-  ( y  =  P  ->  (
y  ~~  2o  <->  P  ~~  2o ) )
109elrab 3214 . . . 4  |-  ( P  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  <->  ( P  e.  ~P D  /\  P  ~~  2o ) )
117, 8, 10sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  e.  { y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o } )
12 mptexg 6046 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )
13123ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )
14 eleq2 2524 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
z  e.  p  <->  z  e.  P ) )
15 difeq1 3565 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
p  \  { z } )  =  ( P  \  { z } ) )
1615unieqd 4199 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  U. (
p  \  { z } )  =  U. ( P  \  { z } ) )
17 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  z  =  z )
1814, 16, 17ifbieq12d 3914 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )
1918mpteq2dv 4477 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
20 eqid 2451 . . . 4  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
2119, 20fvmptg 5871 . . 3  |-  ( ( P  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  /\  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )  ->  ( ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
2211, 13, 21syl2anc 661 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  (
( p  e.  {
y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
234, 22eqtrd 2492 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3068    \ cdif 3423    C_ wss 3426   ifcif 3889   ~Pcpw 3958   {csn 3975   U.cuni 4189   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   ` cfv 5516   2oc2o 7014    ~~ cen 7407  pmTrspcpmtr 16049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-pmtr 16050
This theorem is referenced by:  pmtrfv  16060  pmtrf  16063
  Copyright terms: Public domain W3C validator