MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrval 16272
Description: A generated transposition, expressed in a symmetric form. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrval  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, T    z, P    z, V

Proof of Theorem pmtrval
Dummy variables  p  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . . . . 5  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
21pmtrfval 16271 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
32fveq1d 5866 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( T `  P )  =  ( ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P ) )
433ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P ) )
5 elpw2g 4610 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  ( P  e.  ~P D  <->  P 
C_  D ) )
65biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D )  ->  P  e.  ~P D
)
763adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  e.  ~P D )
8 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  2o )
9 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( y  =  P  ->  (
y  ~~  2o  <->  P  ~~  2o ) )
109elrab 3261 . . . 4  |-  ( P  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  <->  ( P  e.  ~P D  /\  P  ~~  2o ) )
117, 8, 10sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  e.  { y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o } )
12 mptexg 6128 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )
13123ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )
14 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
z  e.  p  <->  z  e.  P ) )
15 difeq1 3615 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
p  \  { z } )  =  ( P  \  { z } ) )
1615unieqd 4255 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  U. (
p  \  { z } )  =  U. ( P  \  { z } ) )
17 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  z  =  z )
1814, 16, 17ifbieq12d 3966 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )
1918mpteq2dv 4534 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
20 eqid 2467 . . . 4  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
2119, 20fvmptg 5946 . . 3  |-  ( ( P  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  /\  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )  ->  ( ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
2211, 13, 21syl2anc 661 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  (
( p  e.  {
y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
234, 22eqtrd 2508 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586   2oc2o 7121    ~~ cen 7510  pmTrspcpmtr 16262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-pmtr 16263
This theorem is referenced by:  pmtrfv  16273  pmtrf  16276
  Copyright terms: Public domain W3C validator