MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrval 16616
Description: A generated transposition, expressed in a symmetric form. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrval  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, T    z, P    z, V

Proof of Theorem pmtrval
Dummy variables  p  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . . . . 5  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
21pmtrfval 16615 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
32fveq1d 5793 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( T `  P )  =  ( ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P ) )
433ad2ant1 1015 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P ) )
5 elpw2g 4545 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  ( P  e.  ~P D  <->  P 
C_  D ) )
65biimpar 483 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D )  ->  P  e.  ~P D
)
763adant3 1014 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  e.  ~P D )
8 simp3 996 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  2o )
9 breq1 4387 . . . . 5  |-  ( y  =  P  ->  (
y  ~~  2o  <->  P  ~~  2o ) )
109elrab 3199 . . . 4  |-  ( P  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  <->  ( P  e.  ~P D  /\  P  ~~  2o ) )
117, 8, 10sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  P  e.  { y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o } )
12 mptexg 6063 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )
13123ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )
14 eleq2 2469 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
z  e.  p  <->  z  e.  P ) )
15 difeq1 3546 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
p  \  { z } )  =  ( P  \  { z } ) )
1615unieqd 4190 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  U. (
p  \  { z } )  =  U. ( P  \  { z } ) )
1714, 16ifbieq1d 3897 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )
1817mpteq2dv 4471 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
19 eqid 2396 . . . 4  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { y  e. 
~P D  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
2018, 19fvmptg 5872 . . 3  |-  ( ( P  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  /\  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V )  ->  ( ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
2111, 13, 20syl2anc 659 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  (
( p  e.  {
y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
224, 21eqtrd 2437 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   {crab 2750   _Vcvv 3051    \ cdif 3403    C_ wss 3406   ifcif 3874   ~Pcpw 3944   {csn 3961   U.cuni 4180   class class class wbr 4384    |-> cmpt 4442   ` cfv 5513   2oc2o 7064    ~~ cen 7454  pmTrspcpmtr 16606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-pmtr 16607
This theorem is referenced by:  pmtrfv  16617  pmtrf  16620
  Copyright terms: Public domain W3C validator