Theorem pmtrsn 16340

Description: The value of the transposition generator function for a singleton is empty, i.e. there is no transposition for a singleton. This also holds for A e/ _V, i.e. for the empty set { A } = (/) resulting in (pmTrsp ` (/) ) = (/) (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrsn	|- (pmTrsp ` { A } ) = (/)

Proof of Theorem pmtrsn

Dummy variables p y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4688	. . 3 |- { A } e. _V
2		eqid 2467	. . . 4 |- (pmTrsp ` { A } ) = (pmTrsp ` { A } )
3	2	pmtrfval 16271	. . 3 |- ( { A } e. _V -> (pmTrsp ` { A } ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { A } ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		eqid 2467	. . . . 5 |- ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
6	5	dmmpt 5500	. . . 4 |- dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V }
7		2on0 7136	. . . . . . . . 9 |- 2o =/= (/)
8		ensymb 7560	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
9		en0 7575	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
10	8, 9	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
11	7, 10	nemtbir 2795	. . . . . . . 8 |- -. (/) ~~ 2o
12		snnen2o 7703	. . . . . . . 8 |- -. { A } ~~ 2o
13		0ex 4577	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
14		breq1 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
15	14	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( -. y ~~ 2o <-> -. (/) ~~ 2o ) )
16		breq1 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { A } -> ( y ~~ 2o <-> { A } ~~ 2o ) )
17	16	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( y = { A } -> ( -. y ~~ 2o <-> -. { A } ~~ 2o ) )
18	13, 1, 15, 17	ralpr 4080	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o <-> ( -. (/) ~~ 2o /\ -. { A } ~~ 2o ) )
19	11, 12, 18	mpbir2an 918	. . . . . . 7 |- A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o
20		pwsn 4239	. . . . . . . 8 |- ~P { A } = { (/) , { A } }
21	20	raleqi 3062	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o <-> A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o )
22	19, 21	mpbir 209	. . . . . 6 |- A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o
23		rabeq0 3807	. . . . . 6 |- ( { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/) <-> A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o )
24	22, 23	mpbir 209	. . . . 5 |- { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/)
25		rabeq 3107	. . . . 5 |- ( { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/) -> { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V }
27		rab0 3806	. . . 4 |- { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = (/)
28	6, 26, 27	3eqtri 2500	. . 3 |- dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/)
29		funmpt 5622	. . . . 5 |- Fun ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
30		funrel 5603	. . . . 5 |- ( Fun ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) -> Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
32		reldm0 5218	. . . 4 |- ( Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) -> ( ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) <-> dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) <-> dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) )
34	28, 33	mpbir 209	. 2 |- ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/)
35	4, 34	eqtri 2496	1 |- (pmTrsp ` { A } ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   Rel wrel 5004   Fun wfun 5580   ` cfv 5586   2oc2o 7121   ~~ cen 7510  pmTrspcpmtr 16262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-2o 7128  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pmtr 16263

This theorem is referenced by:  psgnsn  16341