Theorem pmtrsn 16523

Description: The value of the transposition generator function for a singleton is empty, i.e. there is no transposition for a singleton. This also holds for A e/ _V, i.e. for the empty set { A } = (/) resulting in (pmTrsp ` (/) ) = (/). (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrsn	|- (pmTrsp ` { A } ) = (/)

Proof of Theorem pmtrsn

Dummy variables p y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4678	. . 3 |- { A } e. _V
2		eqid 2443	. . . 4 |- (pmTrsp ` { A } ) = (pmTrsp ` { A } )
3	2	pmtrfval 16454	. . 3 |- ( { A } e. _V -> (pmTrsp ` { A } ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { A } ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		eqid 2443	. . . . 5 |- ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
6	5	dmmpt 5492	. . . 4 |- dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V }
7		2on0 7141	. . . . . . . . 9 |- 2o =/= (/)
8		ensymb 7565	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
9		en0 7580	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
10	8, 9	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
11	7, 10	nemtbir 2771	. . . . . . . 8 |- -. (/) ~~ 2o
12		snnen2o 7708	. . . . . . . 8 |- -. { A } ~~ 2o
13		0ex 4567	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
14		breq1 4440	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
15	14	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( -. y ~~ 2o <-> -. (/) ~~ 2o ) )
16		breq1 4440	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { A } -> ( y ~~ 2o <-> { A } ~~ 2o ) )
17	16	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( y = { A } -> ( -. y ~~ 2o <-> -. { A } ~~ 2o ) )
18	13, 1, 15, 17	ralpr 4067	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o <-> ( -. (/) ~~ 2o /\ -. { A } ~~ 2o ) )
19	11, 12, 18	mpbir2an 920	. . . . . . 7 |- A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o
20		pwsn 4228	. . . . . . . 8 |- ~P { A } = { (/) , { A } }
21	20	raleqi 3044	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o <-> A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o )
22	19, 21	mpbir 209	. . . . . 6 |- A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o
23		rabeq0 3793	. . . . . 6 |- ( { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/) <-> A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o )
24	22, 23	mpbir 209	. . . . 5 |- { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/)
25		rabeq 3089	. . . . 5 |- ( { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/) -> { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V }
27		rab0 3792	. . . 4 |- { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = (/)
28	6, 26, 27	3eqtri 2476	. . 3 |- dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/)
29		funmpt 5614	. . . . 5 |- Fun ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
30		funrel 5595	. . . . 5 |- ( Fun ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) -> Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
32		reldm0 5210	. . . 4 |- ( Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) -> ( ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) <-> dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) <-> dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) )
34	28, 33	mpbir 209	. 2 |- ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/)
35	4, 34	eqtri 2472	1 |- (pmTrsp ` { A } ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095   \ cdif 3458   (/)c0 3770   ifcif 3926   ~Pcpw 3997   {csn 4014   {cpr 4016   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   Rel wrel 4994   Fun wfun 5572   ` cfv 5578   2oc2o 7126   ~~ cen 7515  pmTrspcpmtr 16445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-1o 7132  df-2o 7133  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pmtr 16446

This theorem is referenced by:  psgnsn  16524