MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrsn Structured version   Unicode version

Theorem pmtrsn 16340
Description: The value of the transposition generator function for a singleton is empty, i.e. there is no transposition for a singleton. This also holds for  A  e/  _V, i.e. for the empty set  { A }  =  (/) resulting in  (pmTrsp `  (/) )  =  (/) (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
pmtrsn  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)

Proof of Theorem pmtrsn
Dummy variables  p  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4688 . . 3  |-  { A }  e.  _V
2 eqid 2467 . . . 4  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (pmTrsp `  { A } )
32pmtrfval 16271 . . 3  |-  ( { A }  e.  _V  ->  (pmTrsp `  { A } )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
65dmmpt 5500 . . . 4  |-  dom  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  { p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  | 
( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }
7 2on0 7136 . . . . . . . . 9  |-  2o  =/=  (/)
8 ensymb 7560 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  ~~  (/) )
9 en0 7575 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o 
~~  (/)  <->  2o  =  (/) )
108, 9bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  =  (/) )
117, 10nemtbir 2795 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  ~~  2o
12 snnen2o 7703 . . . . . . . 8  |-  -.  { A }  ~~  2o
13 0ex 4577 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
14 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
~~  2o  <->  (/)  ~~  2o )
)
1514notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  y  ~~  2o  <->  -.  (/)  ~~  2o ) )
16 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { A }  ->  ( y  ~~  2o  <->  { A }  ~~  2o ) )
1716notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { A }  ->  ( -.  y  ~~  2o 
<->  -.  { A }  ~~  2o ) )
1813, 1, 15, 17ralpr 4080 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o  <->  ( -.  (/)  ~~  2o  /\ 
-.  { A }  ~~  2o ) )
1911, 12, 18mpbir2an 918 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o
20 pwsn 4239 . . . . . . . 8  |-  ~P { A }  =  { (/)
,  { A } }
2120raleqi 3062 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o  <->  A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o )
2219, 21mpbir 209 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o
23 rabeq0 3807 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)  <->  A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o )
2422, 23mpbir 209 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)
25 rabeq 3107 . . . . 5  |-  ( { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)  ->  { p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V } )
2624, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  { p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  | 
( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }
27 rab0 3806 . . . 4  |-  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  (/)
286, 26, 273eqtri 2500 . . 3  |-  dom  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)
29 funmpt 5622 . . . . 5  |-  Fun  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
30 funrel 5603 . . . . 5  |-  ( Fun  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  ->  Rel  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  Rel  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
32 reldm0 5218 . . . 4  |-  ( Rel  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  -> 
( ( p  e. 
{ y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) 
<->  dom  ( p  e. 
{ y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)  <->  dom  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) )
3428, 33mpbir 209 . 2  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)
354, 34eqtri 2496 1  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   Rel wrel 5004   Fun wfun 5580   ` cfv 5586   2oc2o 7121    ~~ cen 7510  pmTrspcpmtr 16262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-2o 7128  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pmtr 16263
This theorem is referenced by:  psgnsn  16341
  Copyright terms: Public domain W3C validator