MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrsn Structured version   Unicode version

Theorem pmtrsn 16523
Description: The value of the transposition generator function for a singleton is empty, i.e. there is no transposition for a singleton. This also holds for  A  e/  _V, i.e. for the empty set  { A }  =  (/) resulting in  (pmTrsp `  (/) )  =  (/). (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
pmtrsn  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)

Proof of Theorem pmtrsn
Dummy variables  p  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4678 . . 3  |-  { A }  e.  _V
2 eqid 2443 . . . 4  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (pmTrsp `  { A } )
32pmtrfval 16454 . . 3  |-  ( { A }  e.  _V  ->  (pmTrsp `  { A } )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
65dmmpt 5492 . . . 4  |-  dom  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  { p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  | 
( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }
7 2on0 7141 . . . . . . . . 9  |-  2o  =/=  (/)
8 ensymb 7565 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  ~~  (/) )
9 en0 7580 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o 
~~  (/)  <->  2o  =  (/) )
108, 9bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  =  (/) )
117, 10nemtbir 2771 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  ~~  2o
12 snnen2o 7708 . . . . . . . 8  |-  -.  { A }  ~~  2o
13 0ex 4567 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
14 breq1 4440 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
~~  2o  <->  (/)  ~~  2o )
)
1514notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  y  ~~  2o  <->  -.  (/)  ~~  2o ) )
16 breq1 4440 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { A }  ->  ( y  ~~  2o  <->  { A }  ~~  2o ) )
1716notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { A }  ->  ( -.  y  ~~  2o 
<->  -.  { A }  ~~  2o ) )
1813, 1, 15, 17ralpr 4067 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o  <->  ( -.  (/)  ~~  2o  /\ 
-.  { A }  ~~  2o ) )
1911, 12, 18mpbir2an 920 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o
20 pwsn 4228 . . . . . . . 8  |-  ~P { A }  =  { (/)
,  { A } }
2120raleqi 3044 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o  <->  A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o )
2219, 21mpbir 209 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o
23 rabeq0 3793 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)  <->  A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o )
2422, 23mpbir 209 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)
25 rabeq 3089 . . . . 5  |-  ( { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)  ->  { p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V } )
2624, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  { p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  | 
( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }
27 rab0 3792 . . . 4  |-  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  (/)
286, 26, 273eqtri 2476 . . 3  |-  dom  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)
29 funmpt 5614 . . . . 5  |-  Fun  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
30 funrel 5595 . . . . 5  |-  ( Fun  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  ->  Rel  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  Rel  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
32 reldm0 5210 . . . 4  |-  ( Rel  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  -> 
( ( p  e. 
{ y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) 
<->  dom  ( p  e. 
{ y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)  <->  dom  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) )
3428, 33mpbir 209 . 2  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)
354, 34eqtri 2472 1  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458   (/)c0 3770   ifcif 3926   ~Pcpw 3997   {csn 4014   {cpr 4016   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   Rel wrel 4994   Fun wfun 5572   ` cfv 5578   2oc2o 7126    ~~ cen 7515  pmTrspcpmtr 16445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-1o 7132  df-2o 7133  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pmtr 16446
This theorem is referenced by:  psgnsn  16524
  Copyright terms: Public domain W3C validator