MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrsn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pmtrsn 17208
Description: The value of the transposition generator function for a singleton is empty, i.e. there is no transposition for a singleton. This also holds for  A  e/  _V, i.e. for the empty set  { A }  =  (/) resulting in  (pmTrsp `  (/) )  =  (/). (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
pmtrsn  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)

Proof of Theorem pmtrsn
Dummy variables  p  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4654 . . 3  |-  { A }  e.  _V
2 eqid 2461 . . . 4  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (pmTrsp `  { A } )
32pmtrfval 17139 . . 3  |-  ( { A }  e.  _V  ->  (pmTrsp `  { A } )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )
5 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
65dmmpt 5348 . . . 4  |-  dom  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  { p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  | 
( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }
7 2on0 7216 . . . . . . . . 9  |-  2o  =/=  (/)
8 ensymb 7642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  ~~  (/) )
9 en0 7657 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o 
~~  (/)  <->  2o  =  (/) )
108, 9bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  =  (/) )
117, 10nemtbir 2730 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  ~~  2o
12 snnen2o 7786 . . . . . . . 8  |-  -.  { A }  ~~  2o
13 0ex 4548 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
14 breq1 4418 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
~~  2o  <->  (/)  ~~  2o )
)
1514notbid 300 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  y  ~~  2o  <->  -.  (/)  ~~  2o ) )
16 breq1 4418 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { A }  ->  ( y  ~~  2o  <->  { A }  ~~  2o ) )
1716notbid 300 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { A }  ->  ( -.  y  ~~  2o 
<->  -.  { A }  ~~  2o ) )
1813, 1, 15, 17ralpr 4036 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o  <->  ( -.  (/)  ~~  2o  /\ 
-.  { A }  ~~  2o ) )
1911, 12, 18mpbir2an 936 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o
20 pwsn 4205 . . . . . . . 8  |-  ~P { A }  =  { (/)
,  { A } }
2120raleqi 3002 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o  <->  A. y  e.  { (/) ,  { A } }  -.  y  ~~  2o )
2219, 21mpbir 214 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o
23 rabeq0 3765 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)  <->  A. y  e.  ~P  { A }  -.  y  ~~  2o )
2422, 23mpbir 214 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)
25 rabeq 3049 . . . . 5  |-  ( { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  =  (/)  ->  { p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V } )
2624, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  { p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  | 
( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }
27 rab0 3764 . . . 4  |-  { p  e.  (/)  |  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  e.  _V }  =  (/)
286, 26, 273eqtri 2487 . . 3  |-  dom  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)
29 funmpt 5636 . . . . 5  |-  Fun  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
30 funrel 5617 . . . . 5  |-  ( Fun  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  ->  Rel  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  Rel  (
p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
32 reldm0 5070 . . . 4  |-  ( Rel  ( p  e.  {
y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  -> 
( ( p  e. 
{ y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) 
<->  dom  ( p  e. 
{ y  e.  ~P { A }  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( p  e.  { y  e.  ~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e. 
{ A }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)  <->  dom  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/) )
3428, 33mpbir 214 . 2  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P { A }  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { A }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  (/)
354, 34eqtri 2483 1  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3412   (/)c0 3742   ifcif 3892   ~Pcpw 3962   {csn 3979   {cpr 3981   U.cuni 4211   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   dom cdm 4852   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594   ` cfv 5600   2oc2o 7201    ~~ cen 7591  pmTrspcpmtr 17130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-om 6719  df-1o 7207  df-2o 7208  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pmtr 17131
This theorem is referenced by:  psgnsn  17209
  Copyright terms: Public domain W3C validator