Theorem pmtrsn 17208

Description: The value of the transposition generator function for a singleton is empty, i.e. there is no transposition for a singleton. This also holds for A e/ _V, i.e. for the empty set { A } = (/) resulting in (pmTrsp ` (/) ) = (/). (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrsn	|- (pmTrsp ` { A } ) = (/)

Proof of Theorem pmtrsn

Dummy variables p y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4654	. . 3 |- { A } e. _V
2		eqid 2461	. . . 4 |- (pmTrsp ` { A } ) = (pmTrsp ` { A } )
3	2	pmtrfval 17139	. . 3 |- ( { A } e. _V -> (pmTrsp ` { A } ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { A } ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		eqid 2461	. . . . 5 |- ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
6	5	dmmpt 5348	. . . 4 |- dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V }
7		2on0 7216	. . . . . . . . 9 |- 2o =/= (/)
8		ensymb 7642	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
9		en0 7657	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
10	8, 9	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
11	7, 10	nemtbir 2730	. . . . . . . 8 |- -. (/) ~~ 2o
12		snnen2o 7786	. . . . . . . 8 |- -. { A } ~~ 2o
13		0ex 4548	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
14		breq1 4418	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
15	14	notbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( -. y ~~ 2o <-> -. (/) ~~ 2o ) )
16		breq1 4418	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { A } -> ( y ~~ 2o <-> { A } ~~ 2o ) )
17	16	notbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( y = { A } -> ( -. y ~~ 2o <-> -. { A } ~~ 2o ) )
18	13, 1, 15, 17	ralpr 4036	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o <-> ( -. (/) ~~ 2o /\ -. { A } ~~ 2o ) )
19	11, 12, 18	mpbir2an 936	. . . . . . 7 |- A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o
20		pwsn 4205	. . . . . . . 8 |- ~P { A } = { (/) , { A } }
21	20	raleqi 3002	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o <-> A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o )
22	19, 21	mpbir 214	. . . . . 6 |- A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o
23		rabeq0 3765	. . . . . 6 |- ( { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/) <-> A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o )
24	22, 23	mpbir 214	. . . . 5 |- { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/)
25		rabeq 3049	. . . . 5 |- ( { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/) -> { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V }
27		rab0 3764	. . . 4 |- { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = (/)
28	6, 26, 27	3eqtri 2487	. . 3 |- dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/)
29		funmpt 5636	. . . . 5 |- Fun ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
30		funrel 5617	. . . . 5 |- ( Fun ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) -> Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
32		reldm0 5070	. . . 4 |- ( Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) -> ( ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) <-> dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) <-> dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) )
34	28, 33	mpbir 214	. 2 |- ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/)
35	4, 34	eqtri 2483	1 |- (pmTrsp ` { A } ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 189   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   (/)c0 3742   ifcif 3892   ~Pcpw 3962   {csn 3979   {cpr 3981   U.cuni 4211   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   dom cdm 4852   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594   ` cfv 5600   2oc2o 7201   ~~ cen 7591  pmTrspcpmtr 17130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-om 6719  df-1o 7207  df-2o 7208  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pmtr 17131

This theorem is referenced by:  psgnsn  17209