MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfvalrn Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfvalrn 15992
Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfvalrn  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }

Proof of Theorem pmtrprfvalrn
Dummy variables  t  p  z  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrprfval 15991 . . 3  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
21rneqi 5064 . 2  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ran  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  ( p  e. 
{ { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
43rnmpt 5083 . . 3  |-  ran  (
p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }
5 1ex 9379 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
6 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  _V  ->  1  e.  _V )
7 2nn 10477 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  _V  ->  2  e.  NN )
9 iftrue 3795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
109adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  z  =  1 )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
11 1ne2 10532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  2
1211nesymi 2646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  =  1
13 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  1  <->  2  =  1 ) )
1412, 13mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  =  1 )
15 iffalse 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  2  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
1716adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  z  =  2 )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
186, 8, 8, 6, 10, 17fmptpr 5901 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  _V  ->  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
1918eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) ) )
205, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  <-> 
t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
2120bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )  <-> 
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } )
2221rexbii 2738 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )
2322abbii 2553 . . . 4  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }  =  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
24 prex 4532 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
2524snnz 3991 . . . . . . 7  |-  { {
1 ,  2 } }  =/=  (/)
26 r19.9rzv 3772 . . . . . . . 8  |-  ( { { 1 ,  2 } }  =/=  (/)  ->  (
s  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } ) )
2726bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( { { 1 ,  2 } }  =/=  (/)  ->  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
2825, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } )
29 vex 2973 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
30 eqeq1 2447 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  s  ->  (
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
3130rexbidv 2734 . . . . . . 7  |-  ( t  =  s  ->  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } ) )
3229, 31elab 3104 . . . . . 6  |-  ( s  e.  { t  |  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )
33 elsn 3889 . . . . . 6  |-  ( s  e.  { { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  <->  s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )
3428, 32, 333bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( s  e.  { t  |  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }  <->  s  e.  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } } )
3534eqriv 2438 . . . 4  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
3623, 35eqtri 2461 . . 3  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
374, 36eqtri 2461 . 2  |-  ran  (
p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
382, 37eqtri 2461 1  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2427    =/= wne 2604   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   (/)c0 3635   ifcif 3789   {csn 3875   {cpr 3877   <.cop 3881    e. cmpt 4348   ran crn 4839   ` cfv 5416   1c1 9281   NNcn 10320   2c2 10369  pmTrspcpmtr 15945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102  df-pmtr 15946
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  16025
  Copyright terms: Public domain W3C validator