Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfvalrn Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfvalrn 16319
 Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfvalrn pmTrsp

Proof of Theorem pmtrprfvalrn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrprfval 16318 . . 3 pmTrsp
21rneqi 5229 . 2 pmTrsp
3 eqid 2467 . . . 4
43rnmpt 5248 . . 3
5 1ex 9591 . . . . . . . 8
6 id 22 . . . . . . . . . 10
7 2nn 10693 . . . . . . . . . . 11
87a1i 11 . . . . . . . . . 10
9 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11
109adantl 466 . . . . . . . . . 10
11 1ne2 10748 . . . . . . . . . . . . . 14
1211nesymi 2740 . . . . . . . . . . . . 13
13 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12
15 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11
1716adantl 466 . . . . . . . . . 10
186, 8, 8, 6, 10, 17fmptpr 6086 . . . . . . . . 9
1918eqeq2d 2481 . . . . . . . 8
205, 19ax-mp 5 . . . . . . 7
2120bicomi 202 . . . . . 6
2221rexbii 2965 . . . . 5
2322abbii 2601 . . . 4
24 prex 4689 . . . . . . . 8
2524snnz 4145 . . . . . . 7
26 r19.9rzv 3922 . . . . . . . 8
2726bicomd 201 . . . . . . 7
2825, 27ax-mp 5 . . . . . 6
29 vex 3116 . . . . . . 7
30 eqeq1 2471 . . . . . . . 8
3130rexbidv 2973 . . . . . . 7
3229, 31elab 3250 . . . . . 6
33 elsn 4041 . . . . . 6
3428, 32, 333bitr4i 277 . . . . 5
3534eqriv 2463 . . . 4
3623, 35eqtri 2496 . . 3
374, 36eqtri 2496 . 2
382, 37eqtri 2496 1 pmTrsp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 184   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452   wne 2662  wrex 2815  cvv 3113  c0 3785  cif 3939  csn 4027  cpr 4029  cop 4033   cmpt 4505   crn 5000  cfv 5588  c1 9493  cn 10536  c2 10585  pmTrspcpmtr 16272 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-pmtr 16273 This theorem is referenced by:  psgnprfval2  16354
 Copyright terms: Public domain W3C validator