MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfvalrn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pmtrprfvalrn 17207
Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfvalrn  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }

Proof of Theorem pmtrprfvalrn
Dummy variables  t  p  z  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrprfval 17206 . . 3  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
21rneqi 5067 . 2  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ran  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
3 eqid 2471 . . . 4  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  ( p  e. 
{ { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
43rnmpt 5086 . . 3  |-  ran  (
p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }
5 1ex 9656 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
6 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  _V  ->  1  e.  _V )
7 2nn 10790 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  _V  ->  2  e.  NN )
9 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
109adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  z  =  1 )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
11 1ne2 10845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  2
1211nesymi 2700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  =  1
13 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  1  <->  2  =  1 ) )
1412, 13mtbiri 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  =  1 )
1514iffalsed 3883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  2  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
1615adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  z  =  2 )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
176, 8, 8, 6, 10, 16fmptpr 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  _V  ->  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
1817eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) ) )
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  <-> 
t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
2019bicomi 207 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )  <-> 
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } )
2120rexbii 2881 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )
2221abbii 2587 . . . 4  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }  =  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
23 prex 4642 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
2423snnz 4081 . . . . . . 7  |-  { {
1 ,  2 } }  =/=  (/)
25 r19.9rzv 3854 . . . . . . . 8  |-  ( { { 1 ,  2 } }  =/=  (/)  ->  (
s  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } ) )
2625bicomd 206 . . . . . . 7  |-  ( { { 1 ,  2 } }  =/=  (/)  ->  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
2724, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } )
28 vex 3034 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
29 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  s  ->  (
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
3029rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( t  =  s  ->  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } ) )
3128, 30elab 3173 . . . . . 6  |-  ( s  e.  { t  |  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )
32 elsn 3973 . . . . . 6  |-  ( s  e.  { { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  <->  s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )
3327, 31, 323bitr4i 285 . . . . 5  |-  ( s  e.  { t  |  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }  <->  s  e.  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } } )
3433eqriv 2468 . . . 4  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
3522, 34eqtri 2493 . . 3  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
364, 35eqtri 2493 . 2  |-  ran  (
p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
372, 36eqtri 2493 1  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589   1c1 9558   NNcn 10631   2c2 10681  pmTrspcpmtr 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-pmtr 17161
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  17242
  Copyright terms: Public domain W3C validator