MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfvalrn Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfvalrn 16640
Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfvalrn  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }

Proof of Theorem pmtrprfvalrn
Dummy variables  t  p  z  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrprfval 16639 . . 3  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
21rneqi 5239 . 2  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ran  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
3 eqid 2457 . . . 4  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  ( p  e. 
{ { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
43rnmpt 5258 . . 3  |-  ran  (
p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }
5 1ex 9608 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
6 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  _V  ->  1  e.  _V )
7 2nn 10714 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  _V  ->  2  e.  NN )
9 iftrue 3950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
109adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  z  =  1 )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
11 1ne2 10769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  2
1211nesymi 2730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  =  1
13 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  1  <->  2  =  1 ) )
1412, 13mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  =  1 )
1514iffalsed 3955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  2  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
1615adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  z  =  2 )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
176, 8, 8, 6, 10, 16fmptpr 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  _V  ->  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
1817eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) ) )
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  <-> 
t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
2019bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )  <-> 
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } )
2120rexbii 2959 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )
2221abbii 2591 . . . 4  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }  =  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
23 prex 4698 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
2423snnz 4150 . . . . . . 7  |-  { {
1 ,  2 } }  =/=  (/)
25 r19.9rzv 3926 . . . . . . . 8  |-  ( { { 1 ,  2 } }  =/=  (/)  ->  (
s  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } ) )
2625bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( { { 1 ,  2 } }  =/=  (/)  ->  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
2724, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } )
28 vex 3112 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
29 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  s  ->  (
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
3029rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( t  =  s  ->  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } ) )
3128, 30elab 3246 . . . . . 6  |-  ( s  e.  { t  |  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )
32 elsn 4046 . . . . . 6  |-  ( s  e.  { { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  <->  s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )
3327, 31, 323bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( s  e.  { t  |  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }  <->  s  e.  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } } )
3433eqriv 2453 . . . 4  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
3522, 34eqtri 2486 . . 3  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
364, 35eqtri 2486 . 2  |-  ran  (
p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
372, 36eqtri 2486 1  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   ifcif 3944   {csn 4032   {cpr 4034   <.cop 4038    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594   1c1 9510   NNcn 10556   2c2 10606  pmTrspcpmtr 16593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409  df-pmtr 16594
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  16675
  Copyright terms: Public domain W3C validator