MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfvalrn Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfvalrn 16319
Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfvalrn  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }

Proof of Theorem pmtrprfvalrn
Dummy variables  t  p  z  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrprfval 16318 . . 3  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
21rneqi 5229 . 2  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ran  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  ( p  e. 
{ { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
43rnmpt 5248 . . 3  |-  ran  (
p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }
5 1ex 9591 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
6 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  _V  ->  1  e.  _V )
7 2nn 10693 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  _V  ->  2  e.  NN )
9 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
109adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  z  =  1 )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
11 1ne2 10748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  2
1211nesymi 2740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  =  1
13 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  1  <->  2  =  1 ) )
1412, 13mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  =  1 )
15 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  2  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
1716adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  z  =  2 )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
186, 8, 8, 6, 10, 17fmptpr 6086 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  _V  ->  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
1918eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) ) )
205, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  <-> 
t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
2120bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )  <-> 
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } )
2221rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } t  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )
2322abbii 2601 . . . 4  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }  =  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
24 prex 4689 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
2524snnz 4145 . . . . . . 7  |-  { {
1 ,  2 } }  =/=  (/)
26 r19.9rzv 3922 . . . . . . . 8  |-  ( { { 1 ,  2 } }  =/=  (/)  ->  (
s  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } ) )
2726bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( { { 1 ,  2 } }  =/=  (/)  ->  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
2825, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } )
29 vex 3116 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
30 eqeq1 2471 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  s  ->  (
t  =  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  <->  s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
3130rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( t  =  s  ->  ( E. p  e.  { {
1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } ) )
3229, 31elab 3250 . . . . . 6  |-  ( s  e.  { t  |  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }  <->  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } s  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )
33 elsn 4041 . . . . . 6  |-  ( s  e.  { { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  <->  s  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )
3428, 32, 333bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( s  e.  { t  |  E. p  e.  { { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }  <->  s  e.  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } } )
3534eqriv 2463 . . . 4  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
3623, 35eqtri 2496 . . 3  |-  { t  |  E. p  e. 
{ { 1 ,  2 } } t  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) }  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
374, 36eqtri 2496 . 2  |-  ran  (
p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )  =  { { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } }
382, 37eqtri 2496 1  |-  ran  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  { { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588   1c1 9493   NNcn 10536   2c2 10585  pmTrspcpmtr 16272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-pmtr 16273
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  16354
  Copyright terms: Public domain W3C validator