MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfval 15992
Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfval  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
Distinct variable group:    z, p

Proof of Theorem pmtrprfval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4533 . . 3  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
2 eqid 2442 . . . 4  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )
32pmtrfval 15955 . . 3  |-  ( { 1 ,  2 }  e.  _V  ->  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
5 1ex 9380 . . . . 5  |-  1  e.  _V
6 2nn0 10595 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 1ne2 10533 . . . . 5  |-  1  =/=  2
8 pr2pwpr 12182 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN0  /\  1  =/=  2 )  ->  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  =  { { 1 ,  2 } } )
95, 6, 7, 8mp3an 1314 . . . 4  |-  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  =  { { 1 ,  2 } }
10 eqid 2442 . . . 4  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )
119, 10mpteq12i 4375 . . 3  |-  ( p  e.  { t  e. 
~P { 1 ,  2 }  |  t 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )
12 elsni 3901 . . . . . 6  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  ->  p  =  { 1 ,  2 } )
13 eleq2 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
z  e.  p  <->  z  e.  { 1 ,  2 } ) )
1413biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  z  e.  p
)
15 iftrue 3796 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  p  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  = 
U. ( p  \  { z } ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  U. (
p  \  { z } ) )
17 elpri 3896 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  ->  (
z  =  1  \/  z  =  2 ) )
18 2nn 10478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
1918elexi 2981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  _V
2019unisn 4105 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
2 }  =  2
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  p  =  {
1 ,  2 } )
22 sneq 3886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  1  ->  { z }  =  { 1 } )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  { z }  =  { 1 } )
2421, 23difeq12d 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  ( { 1 ,  2 }  \  { 1 } ) )
25 difprsn1 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 ,  2 }  \  { 1 } )  =  {
2 } )
267, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 ,  2 } 
\  { 1 } )  =  { 2 }
2724, 26syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  { 2 } )
2827unieqd 4100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  U. { 2 } )
29 iftrue 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
3120, 28, 303eqtr4a 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
3231ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
335unisn 4105 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
1 }  =  1
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  p  =  {
1 ,  2 } )
35 sneq 3886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  2  ->  { z }  =  { 2 } )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  { z }  =  { 2 } )
3734, 36difeq12d 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  ( { 1 ,  2 }  \  { 2 } ) )
38 difprsn2 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 ,  2 }  \  { 2 } )  =  {
1 } )
397, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 ,  2 } 
\  { 2 } )  =  { 1 }
4037, 39syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  { 1 } )
4140unieqd 4100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  U. { 1 } )
427nesymi 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  2  =  1
43 eqeq1 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  1  <->  2  =  1 ) )
4442, 43mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  =  1 )
45 iffalse 3798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  2  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4833, 41, 473eqtr4a 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  2  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5032, 49jaoi 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  1  \/  z  =  2 )  ->  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. (
p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5117, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5251impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5316, 52eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5412, 53sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  /\  z  e. 
{ 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5554mpteq2dva 4377 . . . 4  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  ->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5655mpteq2ia 4373 . . 3  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5711, 56eqtri 2462 . 2  |-  ( p  e.  { t  e. 
~P { 1 ,  2 }  |  t 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
584, 57eqtri 2462 1  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   {crab 2718   _Vcvv 2971    \ cdif 3324   ifcif 3790   ~Pcpw 3859   {csn 3876   {cpr 3878   U.cuni 4090   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   ` cfv 5417   2oc2o 6913    ~~ cen 7306   1c1 9282   NNcn 10321   2c2 10370   NN0cn0 10578  pmTrspcpmtr 15946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-hash 12103  df-pmtr 15947
This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  15993
  Copyright terms: Public domain W3C validator