MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfval 16303
Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfval  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
Distinct variable group:    z, p

Proof of Theorem pmtrprfval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4684 . . 3  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
2 eqid 2462 . . . 4  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )
32pmtrfval 16266 . . 3  |-  ( { 1 ,  2 }  e.  _V  ->  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
5 1ex 9582 . . . . 5  |-  1  e.  _V
6 2nn0 10803 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 1ne2 10739 . . . . 5  |-  1  =/=  2
8 pr2pwpr 12475 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN0  /\  1  =/=  2 )  ->  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  =  { { 1 ,  2 } } )
95, 6, 7, 8mp3an 1319 . . . 4  |-  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  =  { { 1 ,  2 } }
10 eqid 2462 . . . 4  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )
119, 10mpteq12i 4526 . . 3  |-  ( p  e.  { t  e. 
~P { 1 ,  2 }  |  t 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )
12 elsni 4047 . . . . . 6  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  ->  p  =  { 1 ,  2 } )
13 eleq2 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
z  e.  p  <->  z  e.  { 1 ,  2 } ) )
1413biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  z  e.  p
)
15 iftrue 3940 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  p  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  = 
U. ( p  \  { z } ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  U. (
p  \  { z } ) )
17 elpri 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  ->  (
z  =  1  \/  z  =  2 ) )
18 2nn 10684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
1918elexi 3118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  _V
2019unisn 4255 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
2 }  =  2
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  p  =  {
1 ,  2 } )
22 sneq 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  1  ->  { z }  =  { 1 } )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  { z }  =  { 1 } )
2421, 23difeq12d 3618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  ( { 1 ,  2 }  \  { 1 } ) )
25 difprsn1 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 ,  2 }  \  { 1 } )  =  {
2 } )
267, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 ,  2 } 
\  { 1 } )  =  { 2 }
2724, 26syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  { 2 } )
2827unieqd 4250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  U. { 2 } )
29 iftrue 3940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
3120, 28, 303eqtr4a 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
3231ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
335unisn 4255 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
1 }  =  1
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  p  =  {
1 ,  2 } )
35 sneq 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  2  ->  { z }  =  { 2 } )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  { z }  =  { 2 } )
3734, 36difeq12d 3618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  ( { 1 ,  2 }  \  { 2 } ) )
38 difprsn2 4159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 ,  2 }  \  { 2 } )  =  {
1 } )
397, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 ,  2 } 
\  { 2 } )  =  { 1 }
4037, 39syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  { 1 } )
4140unieqd 4250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  U. { 1 } )
427nesymi 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  2  =  1
43 eqeq1 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  1  <->  2  =  1 ) )
4442, 43mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  =  1 )
45 iffalse 3943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  2  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4833, 41, 473eqtr4a 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  2  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5032, 49jaoi 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  1  \/  z  =  2 )  ->  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. (
p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5117, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5251impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5316, 52eqtrd 2503 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5412, 53sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  /\  z  e. 
{ 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5554mpteq2dva 4528 . . . 4  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  ->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5655mpteq2ia 4524 . . 3  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5711, 56eqtri 2491 . 2  |-  ( p  e.  { t  e. 
~P { 1 ,  2 }  |  t 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
584, 57eqtri 2491 1  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   {crab 2813   _Vcvv 3108    \ cdif 3468   ifcif 3934   ~Pcpw 4005   {csn 4022   {cpr 4024   U.cuni 4240   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581   2oc2o 7116    ~~ cen 7505   1c1 9484   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786  pmTrspcpmtr 16257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-hash 12363  df-pmtr 16258
This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  16304
  Copyright terms: Public domain W3C validator