Theorem pmtrprfval 16303

Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfval	|- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Distinct variable group:   z, p

Proof of Theorem pmtrprfval

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4684	. . 3 |- { 1 , 2 } e. _V
2		eqid 2462	. . . 4 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = (pmTrsp ` { 1 , 2 } )
3	2	pmtrfval 16266	. . 3 |- ( { 1 , 2 } e. _V -> (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		1ex 9582	. . . . 5 |- 1 e. _V
6		2nn0 10803	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		1ne2 10739	. . . . 5 |- 1 =/= 2
8		pr2pwpr 12475	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN0 /\ 1 =/= 2 ) -> { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } } )
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1319	. . . 4 |- { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } }
10		eqid 2462	. . . 4 |- ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) )
11	9, 10	mpteq12i 4526	. . 3 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
12		elsni 4047	. . . . . 6 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> p = { 1 , 2 } )
13		eleq2 2535	. . . . . . . . 9 |- ( p = { 1 , 2 } -> ( z e. p <-> z e. { 1 , 2 } ) )
14	13	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> z e. p )
15		iftrue 3940	. . . . . . . 8 |- ( z e. p -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = U. ( p \ { z } ) )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = U. ( p \ { z } ) )
17		elpri 4042	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( z = 1 \/ z = 2 ) )
18		2nn 10684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
19	18	elexi 3118	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. _V
20	19	unisn 4255	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 2 } = 2
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
22		sneq 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 1 -> { z } = { 1 } )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 1 } )
24	21, 23	difeq12d 3618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) )
25		difprsn1 4158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 } )
26	7, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 }
27	24, 26	syl6eq 2519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 2 } )
28	27	unieqd 4250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 2 } )
29		iftrue 3940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 1 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
31	20, 28, 30	3eqtr4a 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
32	31	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
33	5	unisn 4255	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 1 } = 1
34		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
35		sneq 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 2 -> { z } = { 2 } )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 2 } )
37	34, 36	difeq12d 3618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) )
38		difprsn2 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 } )
39	7, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 }
40	37, 39	syl6eq 2519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 1 } )
41	40	unieqd 4250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 1 } )
42	7	nesymi 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 2 = 1
43		eqeq1 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = 2 -> ( z = 1 <-> 2 = 1 ) )
44	42, 43	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = 2 -> -. z = 1 )
45		iffalse 3943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. z = 1 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 2 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
48	33, 41, 47	3eqtr4a 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
49	48	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 2 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
50	32, 49	jaoi 379	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = 1 \/ z = 2 ) -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
51	17, 50	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
52	51	impcom 430	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
53	16, 52	eqtrd 2503	. . . . . 6 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
54	12, 53	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( p e. { { 1 , 2 } } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
55	54	mpteq2dva 4528	. . . 4 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
56	55	mpteq2ia 4524	. . 3 |- ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
57	11, 56	eqtri 2491	. 2 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
58	4, 57	eqtri 2491	1 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   {crab 2813   _Vcvv 3108   \ cdif 3468   ifcif 3934   ~Pcpw 4005   {csn 4022   {cpr 4024   U.cuni 4240   class class class wbr 4442   |-> cmpt 4500   ` cfv 5581   2oc2o 7116   ~~ cen 7505   1c1 9484   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786  pmTrspcpmtr 16257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-hash 12363  df-pmtr 16258

This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  16304