MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pmtrprfval 17121
Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfval  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
Distinct variable group:    z, p

Proof of Theorem pmtrprfval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4641 . . 3  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
2 eqid 2450 . . . 4  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )
32pmtrfval 17084 . . 3  |-  ( { 1 ,  2 }  e.  _V  ->  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
5 1ex 9635 . . . . 5  |-  1  e.  _V
6 2nn0 10883 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 1ne2 10819 . . . . 5  |-  1  =/=  2
8 pr2pwpr 12633 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN0  /\  1  =/=  2 )  ->  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  =  { { 1 ,  2 } } )
95, 6, 7, 8mp3an 1363 . . . 4  |-  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  =  { { 1 ,  2 } }
10 eqid 2450 . . . 4  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )
119, 10mpteq12i 4486 . . 3  |-  ( p  e.  { t  e. 
~P { 1 ,  2 }  |  t 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )
12 elsni 3992 . . . . . 6  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  ->  p  =  { 1 ,  2 } )
13 eleq2 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
z  e.  p  <->  z  e.  { 1 ,  2 } ) )
1413biimpar 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  z  e.  p
)
1514iftrued 3888 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  U. (
p  \  { z } ) )
16 elpri 3984 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  ->  (
z  =  1  \/  z  =  2 ) )
17 2ex 10678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  _V
1817unisn 4212 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
2 }  =  2
19 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  p  =  {
1 ,  2 } )
20 sneq 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  1  ->  { z }  =  { 1 } )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  { z }  =  { 1 } )
2219, 21difeq12d 3551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  ( { 1 ,  2 }  \  { 1 } ) )
23 difprsn1 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 ,  2 }  \  { 1 } )  =  {
2 } )
247, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 ,  2 } 
\  { 1 } )  =  { 2 }
2522, 24syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  { 2 } )
2625unieqd 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  U. { 2 } )
27 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
2827adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
2918, 26, 283eqtr4a 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
3029ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
315unisn 4212 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
1 }  =  1
32 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  p  =  {
1 ,  2 } )
33 sneq 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  2  ->  { z }  =  { 2 } )
3433adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  { z }  =  { 2 } )
3532, 34difeq12d 3551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  ( { 1 ,  2 }  \  { 2 } ) )
36 difprsn2 4108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 ,  2 }  \  { 2 } )  =  {
1 } )
377, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 ,  2 } 
\  { 2 } )  =  { 1 }
3835, 37syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  { 1 } )
3938unieqd 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  U. { 1 } )
407nesymi 2680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  2  =  1
41 eqeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  1  <->  2  =  1 ) )
4240, 41mtbiri 305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  =  1 )
4342iffalsed 3891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  2  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4443adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4531, 39, 443eqtr4a 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
4645ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  2  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
4730, 46jaoi 381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  1  \/  z  =  2 )  ->  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. (
p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
4816, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
4948impcom 432 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5015, 49eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5112, 50sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  /\  z  e. 
{ 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5251mpteq2dva 4488 . . . 4  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  ->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5352mpteq2ia 4484 . . 3  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5411, 53eqtri 2472 . 2  |-  ( p  e.  { t  e. 
~P { 1 ,  2 }  |  t 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
554, 54eqtri 2472 1  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   {crab 2740   _Vcvv 3044    \ cdif 3400   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   {csn 3967   {cpr 3969   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581   2oc2o 7173    ~~ cen 7563   1c1 9537   2c2 10656   NN0cn0 10866  pmTrspcpmtr 17075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-hash 12513  df-pmtr 17076
This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  17122
  Copyright terms: Public domain W3C validator