Theorem pmtrprfval 17121

Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfval	|- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Distinct variable group:   z, p

Proof of Theorem pmtrprfval

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4641	. . 3 |- { 1 , 2 } e. _V
2		eqid 2450	. . . 4 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = (pmTrsp ` { 1 , 2 } )
3	2	pmtrfval 17084	. . 3 |- ( { 1 , 2 } e. _V -> (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		1ex 9635	. . . . 5 |- 1 e. _V
6		2nn0 10883	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		1ne2 10819	. . . . 5 |- 1 =/= 2
8		pr2pwpr 12633	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN0 /\ 1 =/= 2 ) -> { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } } )
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1363	. . . 4 |- { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } }
10		eqid 2450	. . . 4 |- ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) )
11	9, 10	mpteq12i 4486	. . 3 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
12		elsni 3992	. . . . . 6 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> p = { 1 , 2 } )
13		eleq2 2517	. . . . . . . . 9 |- ( p = { 1 , 2 } -> ( z e. p <-> z e. { 1 , 2 } ) )
14	13	biimpar 488	. . . . . . . 8 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> z e. p )
15	14	iftrued 3888	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = U. ( p \ { z } ) )
16		elpri 3984	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( z = 1 \/ z = 2 ) )
17		2ex 10678	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. _V
18	17	unisn 4212	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 2 } = 2
19		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
20		sneq 3977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 1 -> { z } = { 1 } )
21	20	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 1 } )
22	19, 21	difeq12d 3551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) )
23		difprsn1 4107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 } )
24	7, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 }
25	22, 24	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 2 } )
26	25	unieqd 4207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 2 } )
27		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 1 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
28	27	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
29	18, 26, 28	3eqtr4a 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
30	29	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
31	5	unisn 4212	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 1 } = 1
32		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
33		sneq 3977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 2 -> { z } = { 2 } )
34	33	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 2 } )
35	32, 34	difeq12d 3551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) )
36		difprsn2 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 } )
37	7, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 }
38	35, 37	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 1 } )
39	38	unieqd 4207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 1 } )
40	7	nesymi 2680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 2 = 1
41		eqeq1 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = 2 -> ( z = 1 <-> 2 = 1 ) )
42	40, 41	mtbiri 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = 2 -> -. z = 1 )
43	42	iffalsed 3891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 2 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
44	43	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
45	31, 39, 44	3eqtr4a 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
46	45	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 2 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
47	30, 46	jaoi 381	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = 1 \/ z = 2 ) -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
48	16, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
49	48	impcom 432	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
50	15, 49	eqtrd 2484	. . . . . 6 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
51	12, 50	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( p e. { { 1 , 2 } } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
52	51	mpteq2dva 4488	. . . 4 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
53	52	mpteq2ia 4484	. . 3 |- ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
54	11, 53	eqtri 2472	. 2 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
55	4, 54	eqtri 2472	1 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   {crab 2740   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   {csn 3967   {cpr 3969   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ` cfv 5581   2oc2o 7173   ~~ cen 7563   1c1 9537   2c2 10656   NN0cn0 10866  pmTrspcpmtr 17075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-hash 12513  df-pmtr 17076

This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  17122