Theorem pmtrprfval 16629

Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfval	|- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Distinct variable group:   z, p

Proof of Theorem pmtrprfval

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4604	. . 3 |- { 1 , 2 } e. _V
2		eqid 2382	. . . 4 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = (pmTrsp ` { 1 , 2 } )
3	2	pmtrfval 16592	. . 3 |- ( { 1 , 2 } e. _V -> (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		1ex 9502	. . . . 5 |- 1 e. _V
6		2nn0 10729	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		1ne2 10665	. . . . 5 |- 1 =/= 2
8		pr2pwpr 12424	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN0 /\ 1 =/= 2 ) -> { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } } )
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1322	. . . 4 |- { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } }
10		eqid 2382	. . . 4 |- ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) )
11	9, 10	mpteq12i 4451	. . 3 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
12		elsni 3969	. . . . . 6 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> p = { 1 , 2 } )
13		eleq2 2455	. . . . . . . . 9 |- ( p = { 1 , 2 } -> ( z e. p <-> z e. { 1 , 2 } ) )
14	13	biimpar 483	. . . . . . . 8 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> z e. p )
15	14	iftrued 3865	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = U. ( p \ { z } ) )
16		elpri 3964	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( z = 1 \/ z = 2 ) )
17		2ex 10524	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. _V
18	17	unisn 4178	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 2 } = 2
19		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
20		sneq 3954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 1 -> { z } = { 1 } )
21	20	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 1 } )
22	19, 21	difeq12d 3537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) )
23		difprsn1 4080	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 } )
24	7, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 }
25	22, 24	syl6eq 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 2 } )
26	25	unieqd 4173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 2 } )
27		iftrue 3863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 1 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
28	27	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
29	18, 26, 28	3eqtr4a 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
30	29	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
31	5	unisn 4178	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 1 } = 1
32		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
33		sneq 3954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 2 -> { z } = { 2 } )
34	33	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 2 } )
35	32, 34	difeq12d 3537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) )
36		difprsn2 4081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 } )
37	7, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 }
38	35, 37	syl6eq 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 1 } )
39	38	unieqd 4173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 1 } )
40	7	nesymi 2655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 2 = 1
41		eqeq1 2386	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = 2 -> ( z = 1 <-> 2 = 1 ) )
42	40, 41	mtbiri 301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = 2 -> -. z = 1 )
43	42	iffalsed 3868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 2 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
44	43	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
45	31, 39, 44	3eqtr4a 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
46	45	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 2 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
47	30, 46	jaoi 377	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = 1 \/ z = 2 ) -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
48	16, 47	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
49	48	impcom 428	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
50	15, 49	eqtrd 2423	. . . . . 6 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
51	12, 50	sylan 469	. . . . 5 |- ( ( p e. { { 1 , 2 } } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
52	51	mpteq2dva 4453	. . . 4 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
53	52	mpteq2ia 4449	. . 3 |- ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
54	11, 53	eqtri 2411	. 2 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
55	4, 54	eqtri 2411	1 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   {crab 2736   _Vcvv 3034   \ cdif 3386   ifcif 3857   ~Pcpw 3927   {csn 3944   {cpr 3946   U.cuni 4163   class class class wbr 4367   |-> cmpt 4425   ` cfv 5496   2oc2o 7042   ~~ cen 7432   1c1 9404   2c2 10502   NN0cn0 10712  pmTrspcpmtr 16583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-hash 12308  df-pmtr 16584

This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  16630