MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pmtrprfval 17206
Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfval  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
Distinct variable group:    z, p

Proof of Theorem pmtrprfval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4642 . . 3  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
2 eqid 2471 . . . 4  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )
32pmtrfval 17169 . . 3  |-  ( { 1 ,  2 }  e.  _V  ->  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
5 1ex 9656 . . . . 5  |-  1  e.  _V
6 2nn0 10910 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 1ne2 10845 . . . . 5  |-  1  =/=  2
8 pr2pwpr 12677 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN0  /\  1  =/=  2 )  ->  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  =  { { 1 ,  2 } } )
95, 6, 7, 8mp3an 1390 . . . 4  |-  { t  e.  ~P { 1 ,  2 }  | 
t  ~~  2o }  =  { { 1 ,  2 } }
10 eqid 2471 . . . 4  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p , 
U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )
119, 10mpteq12i 4480 . . 3  |-  ( p  e.  { t  e. 
~P { 1 ,  2 }  |  t 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )
12 elsni 3985 . . . . . 6  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  ->  p  =  { 1 ,  2 } )
13 eleq2 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
z  e.  p  <->  z  e.  { 1 ,  2 } ) )
1413biimpar 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  z  e.  p
)
1514iftrued 3880 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  U. (
p  \  { z } ) )
16 elpri 3976 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  ->  (
z  =  1  \/  z  =  2 ) )
17 2ex 10703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  _V
1817unisn 4205 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
2 }  =  2
19 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  p  =  {
1 ,  2 } )
20 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  1  ->  { z }  =  { 1 } )
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  { z }  =  { 1 } )
2219, 21difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  ( { 1 ,  2 }  \  { 1 } ) )
23 difprsn1 4099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 ,  2 }  \  { 1 } )  =  {
2 } )
247, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 ,  2 } 
\  { 1 } )  =  { 2 }
2522, 24syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  { 2 } )
2625unieqd 4200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  U. { 2 } )
27 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  2 )
2918, 26, 283eqtr4a 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  1  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
3029ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
315unisn 4205 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
1 }  =  1
32 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  p  =  {
1 ,  2 } )
33 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  2  ->  { z }  =  { 2 } )
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  { z }  =  { 2 } )
3532, 34difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  ( { 1 ,  2 }  \  { 2 } ) )
36 difprsn2 4100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 ,  2 }  \  { 2 } )  =  {
1 } )
377, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 ,  2 } 
\  { 2 } )  =  { 1 }
3835, 37syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  \  { z } )  =  { 1 } )
3938unieqd 4200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  U. { 1 } )
407nesymi 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  2  =  1
41 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  1  <->  2  =  1 ) )
4240, 41mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  =  1 )
4342iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  2  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 )  =  1 )
4531, 39, 443eqtr4a 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  2  /\  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
4645ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  2  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
4730, 46jaoi 386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  1  \/  z  =  2 )  ->  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. (
p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
4816, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 1 ,  2 }  ->  (
p  =  { 1 ,  2 }  ->  U. ( p  \  {
z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
4948impcom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  U. ( p  \  { z } )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5015, 49eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  { 1 ,  2 }  /\  z  e.  { 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5112, 50sylan 479 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  /\  z  e. 
{ 1 ,  2 } )  ->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z )  =  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) )
5251mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  ->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5352mpteq2ia 4478 . . 3  |-  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
5411, 53eqtri 2493 . 2  |-  ( p  e.  { t  e. 
~P { 1 ,  2 }  |  t 
~~  2o }  |->  ( z  e.  { 1 ,  2 }  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  { { 1 ,  2 } }  |->  ( z  e.  {
1 ,  2 } 
|->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
554, 54eqtri 2493 1  |-  (pmTrsp `  { 1 ,  2 } )  =  ( p  e.  { {
1 ,  2 } }  |->  ( z  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  if ( z  =  1 ,  2 ,  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589   2oc2o 7194    ~~ cen 7584   1c1 9558   2c2 10681   NN0cn0 10893  pmTrspcpmtr 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-pmtr 17161
This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  17207
  Copyright terms: Public domain W3C validator