Theorem pmtrprfval 15992

Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfval	|- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Distinct variable group:   z, p

Proof of Theorem pmtrprfval

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4533	. . 3 |- { 1 , 2 } e. _V
2		eqid 2442	. . . 4 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = (pmTrsp ` { 1 , 2 } )
3	2	pmtrfval 15955	. . 3 |- ( { 1 , 2 } e. _V -> (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		1ex 9380	. . . . 5 |- 1 e. _V
6		2nn0 10595	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		1ne2 10533	. . . . 5 |- 1 =/= 2
8		pr2pwpr 12182	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN0 /\ 1 =/= 2 ) -> { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } } )
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1314	. . . 4 |- { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } }
10		eqid 2442	. . . 4 |- ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) )
11	9, 10	mpteq12i 4375	. . 3 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
12		elsni 3901	. . . . . 6 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> p = { 1 , 2 } )
13		eleq2 2503	. . . . . . . . 9 |- ( p = { 1 , 2 } -> ( z e. p <-> z e. { 1 , 2 } ) )
14	13	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> z e. p )
15		iftrue 3796	. . . . . . . 8 |- ( z e. p -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = U. ( p \ { z } ) )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = U. ( p \ { z } ) )
17		elpri 3896	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( z = 1 \/ z = 2 ) )
18		2nn 10478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
19	18	elexi 2981	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. _V
20	19	unisn 4105	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 2 } = 2
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
22		sneq 3886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 1 -> { z } = { 1 } )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 1 } )
24	21, 23	difeq12d 3474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) )
25		difprsn1 4009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 } )
26	7, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 }
27	24, 26	syl6eq 2490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 2 } )
28	27	unieqd 4100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 2 } )
29		iftrue 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 1 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
31	20, 28, 30	3eqtr4a 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
32	31	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
33	5	unisn 4105	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 1 } = 1
34		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
35		sneq 3886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 2 -> { z } = { 2 } )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 2 } )
37	34, 36	difeq12d 3474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) )
38		difprsn2 4010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 } )
39	7, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 }
40	37, 39	syl6eq 2490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 1 } )
41	40	unieqd 4100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 1 } )
42	7	nesymi 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 2 = 1
43		eqeq1 2448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = 2 -> ( z = 1 <-> 2 = 1 ) )
44	42, 43	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = 2 -> -. z = 1 )
45		iffalse 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. z = 1 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 2 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
48	33, 41, 47	3eqtr4a 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
49	48	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 2 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
50	32, 49	jaoi 379	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = 1 \/ z = 2 ) -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
51	17, 50	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
52	51	impcom 430	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
53	16, 52	eqtrd 2474	. . . . . 6 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
54	12, 53	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( p e. { { 1 , 2 } } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
55	54	mpteq2dva 4377	. . . 4 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
56	55	mpteq2ia 4373	. . 3 |- ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
57	11, 56	eqtri 2462	. 2 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
58	4, 57	eqtri 2462	1 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2605   {crab 2718   _Vcvv 2971   \ cdif 3324   ifcif 3790   ~Pcpw 3859   {csn 3876   {cpr 3878   U.cuni 4090   class class class wbr 4291   e. cmpt 4349   ` cfv 5417   2oc2o 6913   ~~ cen 7306   1c1 9282   NNcn 10321   2c2 10370   NN0cn0 10578  pmTrspcpmtr 15946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-hash 12103  df-pmtr 15947

This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  15993