Theorem pmtrprfv2 28611

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrprfv2.t	|- T = (pmTrsp ` D )

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv2	|- ( ( D e. V /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( T ` { X , Y } ) ` Y ) = X )

Proof of Theorem pmtrprfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4050	. . . 4 |- { Y , X } = { X , Y }
2	1	fveq2i 5868	. . 3 |- ( T ` { Y , X } ) = ( T ` { X , Y } )
3	2	fveq1i 5866	. 2 |- ( ( T ` { Y , X } ) ` Y ) = ( ( T ` { X , Y } ) ` Y )
4		ancom 452	. . . . . . 7 |- ( ( X e. D /\ Y e. D ) <-> ( Y e. D /\ X e. D ) )
5		necom 2677	. . . . . . 7 |- ( X =/= Y <-> Y =/= X )
6	4, 5	anbi12i 703	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. D /\ Y e. D ) /\ X =/= Y ) <-> ( ( Y e. D /\ X e. D ) /\ Y =/= X ) )
7		df-3an 987	. . . . . 6 |- ( ( X e. D /\ Y e. D /\ X =/= Y ) <-> ( ( X e. D /\ Y e. D ) /\ X =/= Y ) )
8		df-3an 987	. . . . . 6 |- ( ( Y e. D /\ X e. D /\ Y =/= X ) <-> ( ( Y e. D /\ X e. D ) /\ Y =/= X ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 281	. . . . 5 |- ( ( X e. D /\ Y e. D /\ X =/= Y ) <-> ( Y e. D /\ X e. D /\ Y =/= X ) )
10	9	biimpi 198	. . . 4 |- ( ( X e. D /\ Y e. D /\ X =/= Y ) -> ( Y e. D /\ X e. D /\ Y =/= X ) )
11	10	anim2i 573	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( D e. V /\ ( Y e. D /\ X e. D /\ Y =/= X ) ) )
12		pmtrprfv2.t	. . . 4 |- T = (pmTrsp ` D )
13	12	pmtrprfv 17094	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( Y e. D /\ X e. D /\ Y =/= X ) ) -> ( ( T ` { Y , X } ) ` Y ) = X )
14	11, 13	syl 17	. 2 |- ( ( D e. V /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( T ` { Y , X } ) ` Y ) = X )
15	3, 14	syl5eqr 2499	1 |- ( ( D e. V /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( T ` { X , Y } ) ` Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   {cpr 3970   ` cfv 5582  pmTrspcpmtr 17082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-2o 7183  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pmtr 17083

This theorem is referenced by:  psgnfzto1stlem  28613