MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfv 15978
Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem pmtrprfv
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  D  e.  V )
2 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  e.  D )
3 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  D )
4 prssi 4048 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  { X ,  Y }  C_  D )
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { X ,  Y }  C_  D
)
6 pr2nelem 8190 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y )  ->  { X ,  Y }  ~~  2o )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { X ,  Y }  ~~  2o )
8 pmtrfval.t . . . 4  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
98pmtrfv 15977 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  { X ,  Y }  C_  D  /\  { X ,  Y }  ~~  2o )  /\  X  e.  D )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  if ( X  e. 
{ X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) ,  X ) )
101, 5, 7, 2, 9syl31anc 1221 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  if ( X  e. 
{ X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) ,  X ) )
11 prid1g 4000 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  { X ,  Y } )
122, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  e.  { X ,  Y } )
13 iftrue 3816 . . . 4  |-  ( X  e.  { X ,  Y }  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
15 difprsnss 4028 . . . . . . 7  |-  ( { X ,  Y }  \  { X } ) 
C_  { Y }
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } ) 
C_  { Y }
)
17 prid2g 4001 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
183, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
19 simpr3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  =/=  Y )
2019necomd 2636 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  =/=  X )
21 eldifsn 4019 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( { X ,  Y }  \  { X } )  <->  ( Y  e.  { X ,  Y }  /\  Y  =/=  X
) )
2218, 20, 21sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
2322snssd 4037 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { Y }  C_  ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
2416, 23eqssd 3392 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  { Y }
)
2524unieqd 4120 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  U. { Y } )
26 unisng 4126 . . . . 5  |-  ( Y  e.  D  ->  U. { Y }  =  Y
)
273, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. { Y }  =  Y
)
2825, 27eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  Y )
2914, 28eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  Y )
3010, 29eqtrd 2475 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    \ cdif 3344    C_ wss 3347   ifcif 3810   {csn 3896   {cpr 3898   U.cuni 4110   class class class wbr 4311   ` cfv 5437   2oc2o 6933    ~~ cen 7326  pmTrspcpmtr 15966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-om 6496  df-1o 6939  df-2o 6940  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pmtr 15967
This theorem is referenced by:  symggen  15995  pmtr3ncomlem1  15998  mdetralt  18433  mdetunilem7  18443
  Copyright terms: Public domain W3C validator