MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv Structured version   Unicode version

Theorem pmtrprfv 16347
Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem pmtrprfv
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  D  e.  V )
2 simpr1 1001 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  e.  D )
3 simpr2 1002 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  D )
4 prssi 4167 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  { X ,  Y }  C_  D )
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { X ,  Y }  C_  D
)
6 pr2nelem 8380 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y )  ->  { X ,  Y }  ~~  2o )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { X ,  Y }  ~~  2o )
8 pmtrfval.t . . . 4  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
98pmtrfv 16346 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  { X ,  Y }  C_  D  /\  { X ,  Y }  ~~  2o )  /\  X  e.  D )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  if ( X  e. 
{ X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) ,  X ) )
101, 5, 7, 2, 9syl31anc 1230 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  if ( X  e. 
{ X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) ,  X ) )
11 prid1g 4117 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  { X ,  Y } )
122, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  e.  { X ,  Y } )
1312iftrued 3930 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  U. ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
14 difprsnss 4146 . . . . . . 7  |-  ( { X ,  Y }  \  { X } ) 
C_  { Y }
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } ) 
C_  { Y }
)
16 prid2g 4118 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
173, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
18 simpr3 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  X  =/=  Y )
1918necomd 2712 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  =/=  X )
20 eldifsn 4136 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( { X ,  Y }  \  { X } )  <->  ( Y  e.  { X ,  Y }  /\  Y  =/=  X
) )
2117, 19, 20sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  Y  e.  ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
2221snssd 4156 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  { Y }  C_  ( { X ,  Y }  \  { X } ) )
2315, 22eqssd 3503 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  { Y }
)
2423unieqd 4240 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  U. { Y } )
25 unisng 4246 . . . . 5  |-  ( Y  e.  D  ->  U. { Y }  =  Y
)
263, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. { Y }  =  Y
)
2724, 26eqtrd 2482 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  U. ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  Y )
2813, 27eqtrd 2482 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  if ( X  e.  { X ,  Y } ,  U. ( { X ,  Y }  \  { X }
) ,  X )  =  Y )
2910, 28eqtrd 2482 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  X  =/=  Y
) )  ->  (
( T `  { X ,  Y }
) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    \ cdif 3455    C_ wss 3458   ifcif 3922   {csn 4010   {cpr 4012   U.cuni 4230   class class class wbr 4433   ` cfv 5574   2oc2o 7122    ~~ cen 7511  pmTrspcpmtr 16335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-om 6682  df-1o 7128  df-2o 7129  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pmtr 16336
This theorem is referenced by:  symggen  16364  pmtr3ncomlem1  16367  mdetralt  18977  mdetunilem7  18987
  Copyright terms: Public domain W3C validator