MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfval 16799
Description: The function generating transpositions on a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrfval  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, p, z, D    T, p, y, z    z, V
Allowed substitution hints:    V( y, p)

Proof of Theorem pmtrfval
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . 2  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 elex 3068 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
3 pweq 3958 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ~P d  =  ~P D
)
4 rabeq 3053 . . . . . 6  |-  ( ~P d  =  ~P D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o } )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o } )
6 mpteq1 4475 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
75, 6mpteq12dv 4473 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  {
y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
8 df-pmtr 16791 . . . 4  |- pmTrsp  =  ( d  e.  _V  |->  ( p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
9 vex 3062 . . . . . 6  |-  d  e. 
_V
109pwex 4577 . . . . 5  |-  ~P d  e.  _V
1110mptrabex 6125 . . . 4  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P d  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  e.  _V
127, 8, 11fvmpt3i 5937 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
132, 12syl 17 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
141, 13syl5eq 2455 1  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   _Vcvv 3059    \ cdif 3411   ifcif 3885   ~Pcpw 3955   {csn 3972   U.cuni 4191   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569   2oc2o 7161    ~~ cen 7551  pmTrspcpmtr 16790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-pmtr 16791
This theorem is referenced by:  pmtrval  16800  pmtrrn  16806  pmtrfrn  16807  pmtrprfval  16836  pmtrsn  16868
  Copyright terms: Public domain W3C validator