MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfval 16264
Description: The function generating transpositions on a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrfval  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, p, z, D    T, p, y, z    z, V
Allowed substitution hints:    V( y, p)

Proof of Theorem pmtrfval
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . 2  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 elex 3115 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
3 pweq 4006 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ~P d  =  ~P D
)
4 rabeq 3100 . . . . . 6  |-  ( ~P d  =  ~P D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o } )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o } )
6 mpteq1 4520 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
75, 6mpteq12dv 4518 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  {
y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
8 df-pmtr 16256 . . . 4  |- pmTrsp  =  ( d  e.  _V  |->  ( p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
9 vex 3109 . . . . . . 7  |-  d  e. 
_V
109pwex 4623 . . . . . 6  |-  ~P d  e.  _V
1110rabex 4591 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  e.  _V
1211mptex 6122 . . . 4  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P d  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  e.  _V
137, 8, 12fvmpt3i 5945 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
142, 13syl 16 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
151, 14syl5eq 2513 1  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106    \ cdif 3466   ifcif 3932   ~Pcpw 4003   {csn 4020   U.cuni 4238   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579   2oc2o 7114    ~~ cen 7503  pmTrspcpmtr 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-pmtr 16256
This theorem is referenced by:  pmtrval  16265  pmtrrn  16271  pmtrfrn  16272  pmtrprfval  16301  pmtrsn  16333
  Copyright terms: Public domain W3C validator