MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfval 15936
Description: The function generating transpositions on a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrfval  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, p, z, D    T, p, y, z    z, V
Allowed substitution hints:    V( y, p)

Proof of Theorem pmtrfval
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . 2  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 elex 2971 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
3 pweq 3851 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ~P d  =  ~P D
)
4 rabeq 2956 . . . . . 6  |-  ( ~P d  =  ~P D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o } )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o } )
6 mpteq1 4360 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
75, 6mpteq12dv 4358 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  {
y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
8 df-pmtr 15928 . . . 4  |- pmTrsp  =  ( d  e.  _V  |->  ( p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
9 vex 2965 . . . . . . 7  |-  d  e. 
_V
109pwex 4463 . . . . . 6  |-  ~P d  e.  _V
1110rabex 4431 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  e.  _V
1211mptex 5935 . . . 4  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P d  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  e.  _V
137, 8, 12fvmpt3i 5766 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
142, 13syl 16 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
151, 14syl5eq 2477 1  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313   ifcif 3779   ~Pcpw 3848   {csn 3865   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406   2oc2o 6902    ~~ cen 7295  pmTrspcpmtr 15927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-pmtr 15928
This theorem is referenced by:  pmtrval  15937  pmtrrn  15943  pmtrfrn  15944  pmtrprfval  15973  pmtrsn  30601
  Copyright terms: Public domain W3C validator