MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfval Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfval 16060
Description: The function generating transpositions on a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrfval  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, p, z, D    T, p, y, z    z, V
Allowed substitution hints:    V( y, p)

Proof of Theorem pmtrfval
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . 2  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 elex 3079 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
3 pweq 3963 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ~P d  =  ~P D
)
4 rabeq 3064 . . . . . 6  |-  ( ~P d  =  ~P D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o } )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  =  { y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o } )
6 mpteq1 4472 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )
75, 6mpteq12dv 4470 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) )  =  ( p  e.  {
y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
8 df-pmtr 16052 . . . 4  |- pmTrsp  =  ( d  e.  _V  |->  ( p  e.  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  d 
|->  if ( z  e.  p ,  U. (
p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
9 vex 3073 . . . . . . 7  |-  d  e. 
_V
109pwex 4575 . . . . . 6  |-  ~P d  e.  _V
1110rabex 4543 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P d  |  y  ~~  2o }  e.  _V
1211mptex 6049 . . . 4  |-  ( p  e.  { y  e. 
~P d  |  y 
~~  2o }  |->  ( z  e.  d  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) )  e.  _V
137, 8, 12fvmpt3i 5879 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
142, 13syl 16 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  (pmTrsp `  D )  =  ( p  e.  { y  e.  ~P D  | 
y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
151, 14syl5eq 2504 1  |-  ( D  e.  V  ->  T  =  ( p  e. 
{ y  e.  ~P D  |  y  ~~  2o }  |->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  p ,  U. ( p  \  { z } ) ,  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3070    \ cdif 3425   ifcif 3891   ~Pcpw 3960   {csn 3977   U.cuni 4191   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518   2oc2o 7016    ~~ cen 7409  pmTrspcpmtr 16051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-pmtr 16052
This theorem is referenced by:  pmtrval  16061  pmtrrn  16067  pmtrfrn  16068  pmtrprfval  16097  pmtrsn  16129
  Copyright terms: Public domain W3C validator