Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfrn Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfrn 16610
 Description: A transposition (as a kind of function) is the function transposing the two points it moves. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t pmTrsp
pmtrrn.r
pmtrfrn.p
Assertion
Ref Expression
pmtrfrn

Proof of Theorem pmtrfrn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3797 . . . 4
2 pmtrrn.r . . . . . 6
3 pmtrrn.t . . . . . . . . 9 pmTrsp
4 fvprc 5866 . . . . . . . . 9 pmTrsp
53, 4syl5eq 2510 . . . . . . . 8
65rneqd 5240 . . . . . . 7
7 rn0 5264 . . . . . . 7
86, 7syl6eq 2514 . . . . . 6
92, 8syl5eq 2510 . . . . 5
109eleq2d 2527 . . . 4
111, 10mtbiri 303 . . 3
1211con4i 130 . 2
13 mptexg 6143 . . . . . . . 8
1413ralrimivw 2872 . . . . . . 7
15 eqid 2457 . . . . . . . 8
1615fnmpt 5713 . . . . . . 7
1714, 16syl 16 . . . . . 6
183pmtrfval 16602 . . . . . . 7
1918fneq1d 5677 . . . . . 6
2017, 19mpbird 232 . . . . 5
21 fvelrnb 5920 . . . . 5
2220, 21syl 16 . . . 4
232eleq2i 2535 . . . 4
24 breq1 4459 . . . . . 6
2524rexrab 3263 . . . . 5
2625bicomi 202 . . . 4
2722, 23, 263bitr4g 288 . . 3
28 elpwi 4024 . . . . 5
29 simp1 996 . . . . . . . . . 10
303pmtrmvd 16608 . . . . . . . . . . 11
31 simp2 997 . . . . . . . . . . 11
3230, 31eqsstrd 3533 . . . . . . . . . 10
33 simp3 998 . . . . . . . . . . 11
3430, 33eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . 10
3529, 32, 343jca 1176 . . . . . . . . 9
3630eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
3736fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
3835, 37jca 532 . . . . . . . 8
39 difeq1 3611 . . . . . . . . . . 11
4039dmeqd 5215 . . . . . . . . . 10
41 pmtrfrn.p . . . . . . . . . 10
4240, 41syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9
43 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . 12
44 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12
4543, 443anbi23d 1302 . . . . . . . . . . 11
4645adantl 466 . . . . . . . . . 10
47 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
48 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5047, 49eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
5146, 50anbi12d 710 . . . . . . . . 9
5242, 51mpdan 668 . . . . . . . 8
5338, 52syl5ibcom 220 . . . . . . 7
54533exp 1195 . . . . . 6
5554imp4a 589 . . . . 5
5628, 55syl5 32 . . . 4
5756rexlimdv 2947 . . 3
5827, 57sylbid 215 . 2
5912, 58mpcom 36 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468   wss 3471  c0 3793  cif 3944  cpw 4015  csn 4032  cuni 4251   class class class wbr 4456   cmpt 4515   cid 4799   cdm 5008   crn 5009   wfn 5589  cfv 5594  c2o 7142   cen 7532  pmTrspcpmtr 16593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-1o 7148  df-2o 7149  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-pmtr 16594 This theorem is referenced by:  pmtrffv  16611  pmtrrn2  16612  pmtrfinv  16613  pmtrfmvdn0  16614  pmtrff1o  16615  pmtrfcnv  16616  pmtrfb  16617
 Copyright terms: Public domain W3C validator