MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfinv Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfinv 15967
Description: A transposition function is an involution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
Assertion
Ref Expression
pmtrfinv  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  =  (  _I  |`  D ) )

Proof of Theorem pmtrfinv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . . . 7  |-  R  =  ran  T
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
41, 2, 3pmtrfrn 15964 . . . . . 6  |-  ( F  e.  R  ->  (
( D  e.  _V  /\ 
dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  /\  F  =  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) ) )
54simpld 459 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  ( D  e.  _V  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o ) )
61pmtrf 15961 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  ->  ( T `  dom  ( F 
\  _I  ) ) : D --> D )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  ( T `  dom  ( F 
\  _I  ) ) : D --> D )
84simprd 463 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  F  =  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) )
98feq1d 5546 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  ( F : D --> D  <->  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) : D --> D ) )
107, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  F : D --> D )
11 fco 5568 . . . 4  |-  ( ( F : D --> D  /\  F : D --> D )  ->  ( F  o.  F ) : D --> D )
1211anidms 645 . . 3  |-  ( F : D --> D  -> 
( F  o.  F
) : D --> D )
13 ffn 5559 . . 3  |-  ( ( F  o.  F ) : D --> D  -> 
( F  o.  F
)  Fn  D )
1410, 12, 133syl 20 . 2  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  Fn  D )
15 fnresi 5528 . . 3  |-  (  _I  |`  D )  Fn  D
1615a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  R  ->  (  _I  |`  D )  Fn  D )
171, 2, 3pmtrffv 15965 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( F `  x
)  =  if ( x  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
18 iftrue 3797 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( F 
\  _I  )  ->  if ( x  e.  dom  ( F  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ,  x )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
1917, 18sylan9eq 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
2019fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
21 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  F  e.  R )
225simp2d 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
24 1onn 7078 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  1o  e.  om )
265simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
27 df-2o 6921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
2826, 27syl6breq 4331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
30 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )
31 dif1en 7545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
3225, 29, 30, 31syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  ~~  1o )
33 en1uniel 7381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )
3534eldifad 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) )
3623, 35sseldd 3357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  D )
371, 2, 3pmtrffv 15965 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  U. ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } )  e.  D )  -> 
( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  =  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
3821, 36, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )  =  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
39 iftrue 3797 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) )
4035, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F 
\  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) )
4126adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
42 en2other2 8176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  ->  U. ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } )  =  x )
4342ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } )  =  x )
4441, 43sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) } )  =  x )
4540, 44eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F 
\  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  =  x )
4638, 45eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )  =  x )
4720, 46eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
48 ffn 5559 . . . . . . . . 9  |-  ( F : D --> D  ->  F  Fn  D )
4910, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  R  ->  F  Fn  D )
50 fnelnfp 5908 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  D  /\  x  e.  D )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
5149, 50sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
5251necon2bbid 2669 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  )
) )
5352biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
54 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
55 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  x )  =  x )
5654, 55eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
5753, 56syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
5847, 57pm2.61dan 789 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( F `  ( F `  x )
)  =  x )
59 fvco2 5766 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  D  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( F `
 ( F `  x ) ) )
6049, 59sylan 471 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( F `
 ( F `  x ) ) )
61 fvresi 5904 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
(  _I  |`  D ) `
 x )  =  x )
6261adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( (  _I  |`  D ) `
 x )  =  x )
6358, 60, 623eqtr4d 2485 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  D ) `  x ) )
6414, 16, 63eqfnfvd 5800 1  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  =  (  _I  |`  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    _I cid 4631   suc csuc 4721   dom cdm 4840   ran crn 4841    |` cres 4842    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418   omcom 6476   1oc1o 6913   2oc2o 6914    ~~ cen 7307  pmTrspcpmtr 15947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-1o 6920  df-2o 6921  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pmtr 15948
This theorem is referenced by:  pmtrff1o  15969  pmtrfcnv  15970  symggen  15976  psgnunilem1  15999
  Copyright terms: Public domain W3C validator