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Theorem pmtrfinv 16465
Description: A transposition function is an involution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
Assertion
Ref Expression
pmtrfinv  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  =  (  _I  |`  D ) )

Proof of Theorem pmtrfinv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . . . 7  |-  R  =  ran  T
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
41, 2, 3pmtrfrn 16462 . . . . . 6  |-  ( F  e.  R  ->  (
( D  e.  _V  /\ 
dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  /\  F  =  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) ) )
54simpld 459 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  ( D  e.  _V  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o ) )
61pmtrf 16459 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  ->  ( T `  dom  ( F 
\  _I  ) ) : D --> D )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  ( T `  dom  ( F 
\  _I  ) ) : D --> D )
84simprd 463 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  F  =  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) )
98feq1d 5707 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  ( F : D --> D  <->  ( T `  dom  ( F  \  _I  ) ) : D --> D ) )
107, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  F : D --> D )
11 fco 5731 . . . 4  |-  ( ( F : D --> D  /\  F : D --> D )  ->  ( F  o.  F ) : D --> D )
1211anidms 645 . . 3  |-  ( F : D --> D  -> 
( F  o.  F
) : D --> D )
13 ffn 5721 . . 3  |-  ( ( F  o.  F ) : D --> D  -> 
( F  o.  F
)  Fn  D )
1410, 12, 133syl 20 . 2  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  Fn  D )
15 fnresi 5688 . . 3  |-  (  _I  |`  D )  Fn  D
1615a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  R  ->  (  _I  |`  D )  Fn  D )
171, 2, 3pmtrffv 16463 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( F `  x
)  =  if ( x  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
18 iftrue 3932 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( F 
\  _I  )  ->  if ( x  e.  dom  ( F  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ,  x )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
1917, 18sylan9eq 2504 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
2019fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
21 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  F  e.  R )
225simp2d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
24 1onn 7290 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  1o  e.  om )
265simp3d 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
27 df-2o 7133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
2826, 27syl6breq 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
30 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )
31 dif1en 7755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
3225, 29, 30, 31syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  ~~  1o )
33 en1uniel 7589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )
3534eldifad 3473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) )
3623, 35sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  D )
371, 2, 3pmtrffv 16463 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  U. ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } )  e.  D )  -> 
( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  =  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
3821, 36, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )  =  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
39 iftrue 3932 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
)  e.  dom  ( F  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) )
4035, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F 
\  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  = 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) )
4126adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
42 en2other2 8390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  /\  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )  ->  U. ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } )  =  x )
4342ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } )  =  x )
4441, 43sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) } )  =  x )
4540, 44eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  if ( U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } )  e.  dom  ( F 
\  _I  ) , 
U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) } ) ,  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )  =  x )
4638, 45eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  U. ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) )  =  x )
4720, 46eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
48 ffn 5721 . . . . . . . . 9  |-  ( F : D --> D  ->  F  Fn  D )
4910, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  R  ->  F  Fn  D )
50 fnelnfp 6086 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  D  /\  x  e.  D )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
5149, 50sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
5251necon2bbid 2699 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  )
) )
5352biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
54 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
55 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  x )  =  x )
5654, 55eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
5753, 56syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  e.  dom  ( F  \  _I  ) )  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )
5847, 57pm2.61dan 791 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( F `  ( F `  x )
)  =  x )
59 fvco2 5933 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  D  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( F `
 ( F `  x ) ) )
6049, 59sylan 471 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( F `
 ( F `  x ) ) )
61 fvresi 6082 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
(  _I  |`  D ) `
 x )  =  x )
6261adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( (  _I  |`  D ) `
 x )  =  x )
6358, 60, 623eqtr4d 2494 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  x  e.  D )  ->  ( ( F  o.  F ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  D ) `  x ) )
6414, 16, 63eqfnfvd 5969 1  |-  ( F  e.  R  ->  ( F  o.  F )  =  (  _I  |`  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3926   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    _I cid 4780   suc csuc 4870   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991    o. ccom 4993    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578   omcom 6685   1oc1o 7125   2oc2o 7126    ~~ cen 7515  pmTrspcpmtr 16445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-1o 7132  df-2o 7133  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pmtr 16446
This theorem is referenced by:  pmtrff1o  16467  pmtrfcnv  16468  symggen  16474  psgnunilem1  16497
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