MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrffv Structured version   Unicode version

Theorem pmtrffv 16076
Description: Mapping of a point under a transposition function. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
pmtrfrn.p  |-  P  =  dom  ( F  \  _I  )
Assertion
Ref Expression
pmtrffv  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )

Proof of Theorem pmtrffv
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . 6  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  T
3 pmtrfrn.p . . . . . 6  |-  P  =  dom  ( F  \  _I  )
41, 2, 3pmtrfrn 16075 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  (
( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  F  =  ( T `  P ) ) )
54simprd 463 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  F  =  ( T `  P ) )
65fveq1d 5794 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  ( F `  Z )  =  ( ( T `
 P ) `  Z ) )
76adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  ( ( T `  P ) `
 Z ) )
84simpld 459 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  ( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o ) )
91pmtrfv 16069 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  Z  e.  D )  ->  ( ( T `  P ) `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
108, 9sylan 471 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( ( T `  P ) `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
117, 10eqtrd 2492 1  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    C_ wss 3429   ifcif 3892   {csn 3978   U.cuni 4192   class class class wbr 4393    _I cid 4732   dom cdm 4941   ran crn 4942   ` cfv 5519   2oc2o 7017    ~~ cen 7410  pmTrspcpmtr 16058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-1o 7023  df-2o 7024  df-er 7204  df-en 7414  df-fin 7417  df-pmtr 16059
This theorem is referenced by:  pmtrfinv  16078  pmtrdifellem3  16095  pmtrdifellem4  16096  psgnunilem1  16110
  Copyright terms: Public domain W3C validator