MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrffv Structured version   Unicode version

Theorem pmtrffv 16683
Description: Mapping of a point under a transposition function. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
pmtrfrn.p  |-  P  =  dom  ( F  \  _I  )
Assertion
Ref Expression
pmtrffv  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )

Proof of Theorem pmtrffv
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . 6  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  T
3 pmtrfrn.p . . . . . 6  |-  P  =  dom  ( F  \  _I  )
41, 2, 3pmtrfrn 16682 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  (
( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  F  =  ( T `  P ) ) )
54simprd 461 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  F  =  ( T `  P ) )
65fveq1d 5850 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  ( F `  Z )  =  ( ( T `
 P ) `  Z ) )
76adantr 463 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  ( ( T `  P ) `
 Z ) )
84simpld 457 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  ( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o ) )
91pmtrfv 16676 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  Z  e.  D )  ->  ( ( T `  P ) `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
108, 9sylan 469 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( ( T `  P ) `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
117, 10eqtrd 2495 1  |-  ( ( F  e.  R  /\  Z  e.  D )  ->  ( F `  Z
)  =  if ( Z  e.  P ,  U. ( P  \  { Z } ) ,  Z
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3929   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    _I cid 4779   dom cdm 4988   ran crn 4989   ` cfv 5570   2oc2o 7116    ~~ cen 7506  pmTrspcpmtr 16665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-1o 7122  df-2o 7123  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-pmtr 16666
This theorem is referenced by:  pmtrfinv  16685  pmtrdifellem3  16702  pmtrdifellem4  16703  psgnunilem1  16717
  Copyright terms: Public domain W3C validator