MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrf Structured version   Unicode version

Theorem pmtrf 16072
Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
Assertion
Ref Expression
pmtrf  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P ) : D --> D )

Proof of Theorem pmtrf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  z  e.  P )  ->  P  C_  D )
2 1onn 7181 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  z  e.  P )  ->  1o  e.  om )
4 simpll3 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  z  e.  P )  ->  P  ~~  2o )
5 df-2o 7024 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
64, 5syl6breq 4432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  z  e.  P )  ->  P  ~~  suc  1o )
7 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  z  e.  P )  ->  z  e.  P )
8 dif1en 7649 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  P  ~~  suc  1o  /\  z  e.  P )  ->  ( P  \  {
z } )  ~~  1o )
93, 6, 7, 8syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  z  e.  P )  ->  ( P  \  { z } )  ~~  1o )
10 en1uniel 7484 . . . . . 6  |-  ( ( P  \  { z } )  ~~  1o  ->  U. ( P  \  { z } )  e.  ( P  \  { z } ) )
11 eldifi 3579 . . . . . 6  |-  ( U. ( P  \  { z } )  e.  ( P  \  { z } )  ->  U. ( P  \  { z } )  e.  P )
129, 10, 113syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  z  e.  P )  ->  U. ( P  \  { z } )  e.  P )
131, 12sseldd 3458 . . . 4  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  z  e.  P )  ->  U. ( P  \  { z } )  e.  D )
14 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D
)  /\  -.  z  e.  P )  ->  z  e.  D )
1513, 14ifclda 3922 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  /\  z  e.  D )  ->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z )  e.  D )
16 eqid 2451 . . 3  |-  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  {
z } ) ,  z ) )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) )
1715, 16fmptd 5969 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  (
z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) : D --> D )
18 pmtrfval.t . . . 4  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
1918pmtrval 16068 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P )  =  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  { z } ) ,  z ) ) )
2019feq1d 5647 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  (
( T `  P
) : D --> D  <->  ( z  e.  D  |->  if ( z  e.  P ,  U. ( P  \  {
z } ) ,  z ) ) : D --> D ) )
2117, 20mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  P  C_  D  /\  P  ~~  2o )  ->  ( T `  P ) : D --> D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3426    C_ wss 3429   ifcif 3892   {csn 3978   U.cuni 4192   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   suc csuc 4822   -->wf 5515   ` cfv 5519   omcom 6579   1oc1o 7016   2oc2o 7017    ~~ cen 7410  pmTrspcpmtr 16058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-1o 7023  df-2o 7024  df-er 7204  df-en 7414  df-fin 7417  df-pmtr 16059
This theorem is referenced by:  pmtrmvd  16073  pmtrfinv  16078  pmtrff1o  16080  pmtrfcnv  16081  pmtr3ncomlem1  16090  mdetralt  18539  mdetunilem7  18549
  Copyright terms: Public domain W3C validator