MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem3 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifwrdellem3 16832
Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 16834. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifwrdel.0  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem3  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, T    x, R    x, W    T, i, n    i, W, n    x, i
Allowed substitution hints:    R( i, n)    U( x, i, n)    K( x, i, n)    N( i, n)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 12611 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  i
)  e.  T )
2 pmtrdifel.t . . . . 5  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
3 pmtrdifel.r . . . . 5  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
52, 3, 4pmtrdifellem3 16827 . . . 4  |-  ( ( W `  i )  e.  T  ->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) )
61, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) ) `
 n ) )
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) ) ) )
9 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( W `  x )  =  ( W `  i ) )
109difeq1d 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( W `  x
)  \  _I  )  =  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
1110dmeqd 5026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  dom  ( ( W `  x )  \  _I  )  =  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )
1211fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) )
1312adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) )  /\  x  =  i )  ->  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  x ) 
\  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
14 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
15 fvex 5859 . . . . . . . 8  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )  e.  _V )
178, 13, 14, 16fvmptd 5938 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( U `  i
)  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
1817fveq1d 5851 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( U `  i ) `  n
)  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) `  n
) )
1918eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  <->  ( ( W `  i
) `  n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) ) )
2019ralbidv 2843 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
)  <->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) ) )
216, 20mpbird 232 . 2  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
)
2221ralrimiva 2818 1  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    \ cdif 3411   {csn 3972    |-> cmpt 4453    _I cid 4733   dom cdm 4823   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522  ..^cfzo 11854   #chash 12452  Word cword 12583  pmTrspcpmtr 16790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-pmtr 16791
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  16834  pmtrdifwrdel2  16835
  Copyright terms: Public domain W3C validator