MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem3 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifwrdellem3 16297
Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 16299. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifwrdel.0  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem3  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, T    x, R    x, W    T, i, n    i, W, n    x, i
Allowed substitution hints:    R( i, n)    U( x, i, n)    K( x, i, n)    N( i, n)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 12512 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  i
)  e.  T )
2 pmtrdifel.t . . . . 5  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
3 pmtrdifel.r . . . . 5  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
4 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
52, 3, 4pmtrdifellem3 16292 . . . 4  |-  ( ( W `  i )  e.  T  ->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) ) `
 n ) )
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) ) ) )
9 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( W `  x )  =  ( W `  i ) )
109difeq1d 3614 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( W `  x
)  \  _I  )  =  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
1110dmeqd 5196 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  dom  ( ( W `  x )  \  _I  )  =  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )
1211fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) )  /\  x  =  i )  ->  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  x ) 
\  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
14 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
15 fvex 5867 . . . . . . . 8  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )  e.  _V )
178, 13, 14, 16fvmptd 5946 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( U `  i
)  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
1817fveq1d 5859 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( U `  i ) `  n
)  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) `  n
) )
1918eqeq2d 2474 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  <->  ( ( W `  i
) `  n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) ) )
2019ralbidv 2896 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
)  <->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) ) )
216, 20mpbird 232 . 2  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
)
2221ralrimiva 2871 1  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    \ cdif 3466   {csn 4020    |-> cmpt 4498    _I cid 4783   dom cdm 4992   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487  pmTrspcpmtr 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-pmtr 16256
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  16299  pmtrdifwrdel2  16300
  Copyright terms: Public domain W3C validator