MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem3 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifwrdellem3 16100
Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 16102. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifwrdel.0  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem3  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, T    x, R    x, W    T, i, n    i, W, n    x, i
Allowed substitution hints:    R( i, n)    U( x, i, n)    K( x, i, n)    N( i, n)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 12357 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  i
)  e.  T )
2 pmtrdifel.t . . . . 5  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
3 pmtrdifel.r . . . . 5  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
52, 3, 4pmtrdifellem3 16095 . . . 4  |-  ( ( W `  i )  e.  T  ->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) ) `
 n ) )
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) ) ) )
9 fveq2 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( W `  x )  =  ( W `  i ) )
109difeq1d 3574 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( W `  x
)  \  _I  )  =  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
1110dmeqd 5143 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  dom  ( ( W `  x )  \  _I  )  =  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )
1211fveq2d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) )  /\  x  =  i )  ->  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  x ) 
\  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
14 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
15 fvex 5802 . . . . . . . 8  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )  e.  _V )
178, 13, 14, 16fvmptd 5881 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( U `  i
)  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
1817fveq1d 5794 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( U `  i ) `  n
)  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) `  n
) )
1918eqeq2d 2465 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  <->  ( ( W `  i
) `  n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) ) )
2019ralbidv 2841 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
)  <->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) ) )
216, 20mpbird 232 . 2  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
)
2221ralrimiva 2825 1  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3071    \ cdif 3426   {csn 3978    |-> cmpt 4451    _I cid 4732   dom cdm 4941   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   0cc0 9386  ..^cfzo 11658   #chash 12213  Word cword 12332  pmTrspcpmtr 16058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-hash 12214  df-word 12340  df-pmtr 16059
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  16102  pmtrdifwrdel2  16103
  Copyright terms: Public domain W3C validator