MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem3 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifwrdellem3 15980
Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 15982. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifwrdel.0  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem3  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, T    x, R    x, W    T, i, n    i, W, n    x, i
Allowed substitution hints:    R( i, n)    U( x, i, n)    K( x, i, n)    N( i, n)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 12238 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  i
)  e.  T )
2 pmtrdifel.t . . . . 5  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
3 pmtrdifel.r . . . . 5  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
52, 3, 4pmtrdifellem3 15975 . . . 4  |-  ( ( W `  i )  e.  T  ->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) ) `
 n ) )
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) ) ) )
9 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( W `  x )  =  ( W `  i ) )
109difeq1d 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( W `  x
)  \  _I  )  =  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
1110dmeqd 5037 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  dom  ( ( W `  x )  \  _I  )  =  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )
1211fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) )  /\  x  =  i )  ->  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  x ) 
\  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
14 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
15 fvex 5696 . . . . . . . 8  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )  e.  _V )
178, 13, 14, 16fvmptd 5774 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( U `  i
)  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
1817fveq1d 5688 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( U `  i ) `  n
)  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) `  n
) )
1918eqeq2d 2449 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  <->  ( ( W `  i
) `  n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) ) )
2019ralbidv 2730 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
)  <->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  n
) ) )
216, 20mpbird 232 . 2  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
)
2221ralrimiva 2794 1  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967    \ cdif 3320   {csn 3872    e. cmpt 4345    _I cid 4626   dom cdm 4835   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213  pmTrspcpmtr 15938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-pmtr 15939
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  15982  pmtrdifwrdel2  15983
  Copyright terms: Public domain W3C validator