MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem2 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifwrdellem2 17075
Description: Lemma 2 for pmtrdifwrdel 17078. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifwrdel.0  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem2  |-  ( W  e. Word  T  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  U
) )
Distinct variable groups:    x, N    x, T    x, R    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    K( x)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem2
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 12660 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  x
)  e.  T )
2 pmtrdifel.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
3 pmtrdifel.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
4 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )
52, 3, 4pmtrdifellem1 17069 . . . . 5  |-  ( ( W `  x )  e.  T  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )  e.  R
)
61, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( ( W `  x ) 
\  _I  ) )  e.  R )
76ralrimiva 2837 . . 3  |-  ( W  e. Word  T  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )  e.  R
)
8 pmtrdifwrdel.0 . . . 4  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
98fnmpt 5713 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) )  e.  R  ->  U  Fn  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
10 hashfn 12540 . . 3  |-  ( U  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  U
)  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )
117, 9, 103syl 18 . 2  |-  ( W  e. Word  T  ->  ( # `
 U )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
12 lencl 12663 . . 3  |-  ( W  e. Word  T  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
13 hashfzo0 12586 . . 3  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  W
) ) )  =  ( # `  W
) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( W  e. Word  T  ->  ( # `
 ( 0..^ (
# `  W )
) )  =  (
# `  W )
)
1511, 14eqtr2d 2462 1  |-  ( W  e. Word  T  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773    \ cdif 3430   {csn 3993    |-> cmpt 4475    _I cid 4755   dom cdm 4845   ran crn 4846    Fn wfn 5587   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   0cc0 9528   NN0cn0 10858  ..^cfzo 11902   #chash 12501  Word cword 12632  pmTrspcpmtr 17034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-hash 12502  df-word 12640  df-pmtr 17035
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  17078  pmtrdifwrdel2  17079
  Copyright terms: Public domain W3C validator