MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdel2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifwrdel2lem1 16324
Description: Lemma 1 for pmtrdifwrdel2 16326. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifwrdel.0  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdel2lem1  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K )
Distinct variable groups:    x, N    x, T    x, R    x, W    T, i    i, W, x    i, K    i, N
Allowed substitution hints:    R( i)    U( x, i)    K( x)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel2lem1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
2 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  e.  _V
3 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  ( W `  x )  =  ( W `  i ) )
43difeq1d 3621 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( W `  x
)  \  _I  )  =  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
54dmeqd 5205 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  dom  ( ( W `  x )  \  _I  )  =  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )
65fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( x  =  i  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) )
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
86, 7fvmptg 5949 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )  e.  _V )  ->  ( U `  i )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) )
91, 2, 8sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( U `  i
)  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
109fveq1d 5868 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( U `  i ) `  K
)  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) `  K
) )
11 wrdsymbcl 12526 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  i
)  e.  T )
1211adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  i
)  e.  T )
13 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  N )
14 pmtrdifel.t . . . . 5  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
15 pmtrdifel.r . . . . 5  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
16 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
1714, 15, 16pmtrdifellem4 16319 . . . 4  |-  ( ( ( W `  i
)  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  K
)  =  K )
1812, 13, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  K
)  =  K )
1910, 18eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( U `  i ) `  K
)  =  K )
2019ralrimiva 2878 1  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493  ..^cfzo 11793   #chash 12374  Word cword 12501  pmTrspcpmtr 16281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-tset 14577  df-symg 16217  df-pmtr 16282
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2  16326
  Copyright terms: Public domain W3C validator