MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdel2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifwrdel2lem1 17077
Description: Lemma 1 for pmtrdifwrdel2 17079. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifwrdel.0  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdel2lem1  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K )
Distinct variable groups:    x, N    x, T    x, R    x, W    T, i    i, W, x    i, K    i, N
Allowed substitution hints:    R( i)    U( x, i)    K( x)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel2lem1
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
2 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  e.  _V
3 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  ( W `  x )  =  ( W `  i ) )
43difeq1d 3579 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( W `  x
)  \  _I  )  =  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
54dmeqd 5048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  dom  ( ( W `  x )  \  _I  )  =  dom  ( ( W `  i ) 
\  _I  ) )
65fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  i  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 x )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) )
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  x )  \  _I  ) ) )
86, 7fvmptg 5953 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )  e.  _V )  ->  ( U `  i )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) )
91, 2, 8sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( U `  i
)  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) )
109fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( U `  i ) `  K
)  =  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) ) `  K
) )
11 wrdsymbcl 12660 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  i
)  e.  T )
1211adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  i
)  e.  T )
13 simplr 760 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  N )
14 pmtrdifel.t . . . . 5  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
15 pmtrdifel.r . . . . 5  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
16 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) )  =  ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `
 i )  \  _I  ) )
1714, 15, 16pmtrdifellem4 17072 . . . 4  |-  ( ( ( W `  i
)  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  K
)  =  K )
1812, 13, 17syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( (pmTrsp `  N ) `  dom  ( ( W `  i )  \  _I  ) ) `  K
)  =  K )
1910, 18eqtrd 2461 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N
)  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( U `  i ) `  K
)  =  K )
2019ralrimiva 2837 1  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  K  e.  N )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078    \ cdif 3430   {csn 3993    |-> cmpt 4475    _I cid 4755   dom cdm 4845   ran crn 4846   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   0cc0 9528  ..^cfzo 11902   #chash 12501  Word cword 12632  pmTrspcpmtr 17034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-hash 12502  df-word 12640  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-plusg 15163  df-tset 15169  df-symg 16971  df-pmtr 17035
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2  17079
  Copyright terms: Public domain W3C validator