MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem4 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem4 15976
Description: Lemma 4 for pmtrdifel 15977. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  K )

Proof of Theorem pmtrdifellem4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
2 pmtrdifel.r . . . 4  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
3 pmtrdifel.0 . . . 4  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
41, 2, 3pmtrdifellem1 15973 . . 3  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
6 eqid 2438 . . . 4  |-  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( S  \  _I  )
75, 2, 6pmtrffv 15956 . . 3  |-  ( ( S  e.  R  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K ) )
84, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K ) )
9 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
10 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
111, 9, 10symgtrf 15966 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
1211sseli 3347 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  Q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) ) )
139, 10symgbasf 15880 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  ->  Q :
( N  \  { K } ) --> ( N 
\  { K }
) )
14 ffn 5554 . . . . . . 7  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  Q  Fn  ( N  \  { K } ) )
15 fndifnfp 5902 . . . . . . 7  |-  ( Q  Fn  ( N  \  { K } )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
16 ssrab2 3432 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )
17 ssel2 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )  /\  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )  ->  K  e.  ( N  \  { K } ) )
18 eldif 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( N  \  { K } )  <->  ( K  e.  N  /\  -.  K  e.  { K } ) )
19 elsncg 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  N  ->  ( K  e.  { K } 
<->  K  =  K ) )
2019notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  N  ->  ( -.  K  e.  { K } 
<->  -.  K  =  K ) )
21 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  K
2221pm2.24i 144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  K  =  K  ->  -.  K  e.  N
)
2320, 22syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  ( -.  K  e.  { K }  ->  -.  K  e.  N ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  N  /\  -.  K  e.  { K } )  ->  -.  K  e.  N )
2518, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  K  e.  N
)
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )  /\  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )  ->  -.  K  e.  N )
2716, 26mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  -.  K  e.  N )
2827con2i 120 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
29 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( K  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  K  e.  { x  e.  ( N 
\  { K }
)  |  ( Q `
 x )  =/=  x } ) )
3029notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  -.  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } ) )
3128, 30syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
3214, 15, 313syl 20 . . . . . 6  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3312, 13, 323syl 20 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3433imp 429 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )
)
351, 2, 3pmtrdifellem2 15974 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
3635eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  ( K  e.  dom  ( S 
\  _I  )  <->  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( K  e.  dom  ( S  \  _I  )  <->  K  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
3834, 37mtbird 301 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  -.  K  e.  dom  ( S  \  _I  )
)
39 iffalse 3794 . . 3  |-  ( -.  K  e.  dom  ( S  \  _I  )  ->  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K )  =  K )
4038, 39syl 16 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  if ( K  e. 
dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K }
) ,  K )  =  K )
418, 40eqtrd 2470 1  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   {crab 2714    \ cdif 3320    C_ wss 3323   ifcif 3786   {csn 3872   U.cuni 4086    _I cid 4626   dom cdm 4835   ran crn 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   Basecbs 14166   SymGrpcsymg 15873  pmTrspcpmtr 15938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-tset 14249  df-symg 15874  df-pmtr 15939
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  15981
  Copyright terms: Public domain W3C validator