Theorem pmtrdifellem4 16107

Description: Lemma 4 for pmtrdifel 16108. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	|- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
pmtrdifel.r	|- R = ran (pmTrsp ` N )
pmtrdifel.0	|- S = ( (pmTrsp ` N ) ` dom ( Q \ _I ) )

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem4	|- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = K )

Proof of Theorem pmtrdifellem4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 |- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
2		pmtrdifel.r	. . . 4 |- R = ran (pmTrsp ` N )
3		pmtrdifel.0	. . . 4 |- S = ( (pmTrsp ` N ) ` dom ( Q \ _I ) )
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 16104	. . 3 |- ( Q e. T -> S e. R )
5		eqid 2454	. . . 4 |- (pmTrsp ` N ) = (pmTrsp ` N )
6		eqid 2454	. . . 4 |- dom ( S \ _I ) = dom ( S \ _I )
7	5, 2, 6	pmtrffv 16087	. . 3 |- ( ( S e. R /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) )
8	4, 7	sylan 471	. 2 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) )
9		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
10		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
11	1, 9, 10	symgtrf 16097	. . . . . . 7 |- T C_ ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
12	11	sseli 3463	. . . . . 6 |- ( Q e. T -> Q e. ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) )
13	9, 10	symgbasf 16011	. . . . . 6 |- ( Q e. ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) -> Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) )
14		ffn 5670	. . . . . . 7 |- ( Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) -> Q Fn ( N \ { K } ) )
15		fndifnfp 6019	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( N \ { K } ) -> dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } )
16		ssrab2 3548	. . . . . . . . . 10 |- { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } )
17		ssel2 3462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } ) /\ K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) -> K e. ( N \ { K } ) )
18		eldif 3449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( N \ { K } ) <-> ( K e. N /\ -. K e. { K } ) )
19		elsncg 4011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. N -> ( K e. { K } <-> K = K ) )
20	19	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. N -> ( -. K e. { K } <-> -. K = K ) )
21		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = K
22	21	pm2.24i 144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. K = K -> -. K e. N )
23	20, 22	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. N -> ( -. K e. { K } -> -. K e. N ) )
24	23	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. N /\ -. K e. { K } ) -> -. K e. N )
25	18, 24	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( N \ { K } ) -> -. K e. N )
26	17, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } ) /\ K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) -> -. K e. N )
27	16, 26	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> -. K e. N )
28	27	con2i 120	. . . . . . . 8 |- ( K e. N -> -. K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } )
29		eleq2 2527	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( K e. dom ( Q \ _I ) <-> K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) )
30	29	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( -. K e. dom ( Q \ _I ) <-> -. K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) )
31	28, 30	syl5ibr 221	. . . . . . 7 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
32	14, 15, 31	3syl 20	. . . . . 6 |- ( Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
33	12, 13, 32	3syl 20	. . . . 5 |- ( Q e. T -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
34	33	imp 429	. . . 4 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> -. K e. dom ( Q \ _I ) )
35	1, 2, 3	pmtrdifellem2 16105	. . . . . 6 |- ( Q e. T -> dom ( S \ _I ) = dom ( Q \ _I ) )
36	35	eleq2d 2524	. . . . 5 |- ( Q e. T -> ( K e. dom ( S \ _I ) <-> K e. dom ( Q \ _I ) ) )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( K e. dom ( S \ _I ) <-> K e. dom ( Q \ _I ) ) )
38	34, 37	mtbird 301	. . 3 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> -. K e. dom ( S \ _I ) )
39		iffalse 3910	. . 3 |- ( -. K e. dom ( S \ _I ) -> if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) = K )
40	38, 39	syl 16	. 2 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) = K )
41	8, 40	eqtrd 2495	1 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   {crab 2803   \ cdif 3436   C_ wss 3439   ifcif 3902   {csn 3988   U.cuni 4202   _I cid 4742   dom cdm 4951   ran crn 4952   Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529   Basecbs 14295   SymGrpcsymg 16004  pmTrspcpmtr 16069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-tset 14379  df-symg 16005  df-pmtr 16070

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  16112