MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem4 17175
Description: Lemma 4 for pmtrdifel 17176. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  K )

Proof of Theorem pmtrdifellem4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
2 pmtrdifel.r . . . 4  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
3 pmtrdifel.0 . . . 4  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
41, 2, 3pmtrdifellem1 17172 . . 3  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
5 eqid 2462 . . . 4  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
6 eqid 2462 . . . 4  |-  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( S  \  _I  )
75, 2, 6pmtrffv 17155 . . 3  |-  ( ( S  e.  R  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K ) )
84, 7sylan 478 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K ) )
9 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
10 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
111, 9, 10symgtrf 17165 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
1211sseli 3440 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  Q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) ) )
139, 10symgbasf 17080 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  ->  Q :
( N  \  { K } ) --> ( N 
\  { K }
) )
14 ffn 5755 . . . . . . 7  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  Q  Fn  ( N  \  { K } ) )
15 fndifnfp 6122 . . . . . . 7  |-  ( Q  Fn  ( N  \  { K } )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
16 ssrab2 3526 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )
17 ssel2 3439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )  /\  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )  ->  K  e.  ( N  \  { K } ) )
18 eldif 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( N  \  { K } )  <->  ( K  e.  N  /\  -.  K  e.  { K } ) )
19 elsncg 4003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  N  ->  ( K  e.  { K } 
<->  K  =  K ) )
2019notbid 300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  N  ->  ( -.  K  e.  { K } 
<->  -.  K  =  K ) )
21 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  K
2221pm2.24i 138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  K  =  K  ->  -.  K  e.  N
)
2320, 22syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  ( -.  K  e.  { K }  ->  -.  K  e.  N ) )
2423imp 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  N  /\  -.  K  e.  { K } )  ->  -.  K  e.  N )
2518, 24sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  K  e.  N
)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )  /\  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )  ->  -.  K  e.  N )
2716, 26mpan 681 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  -.  K  e.  N )
2827con2i 125 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
29 eleq2 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( K  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  K  e.  { x  e.  ( N 
\  { K }
)  |  ( Q `
 x )  =/=  x } ) )
3029notbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  -.  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } ) )
3128, 30syl5ibr 229 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
3214, 15, 313syl 18 . . . . . 6  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3312, 13, 323syl 18 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3433imp 435 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )
)
351, 2, 3pmtrdifellem2 17173 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
3635eleq2d 2525 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  ( K  e.  dom  ( S 
\  _I  )  <->  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3736adantr 471 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( K  e.  dom  ( S  \  _I  )  <->  K  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
3834, 37mtbird 307 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  -.  K  e.  dom  ( S  \  _I  )
)
3938iffalsed 3904 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  if ( K  e. 
dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K }
) ,  K )  =  K )
408, 39eqtrd 2496 1  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   {crab 2753    \ cdif 3413    C_ wss 3416   ifcif 3893   {csn 3980   U.cuni 4212    _I cid 4766   dom cdm 4856   ran crn 4857    Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605   Basecbs 15176   SymGrpcsymg 17073  pmTrspcpmtr 17137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-plusg 15258  df-tset 15264  df-symg 17074  df-pmtr 17138
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  17180
  Copyright terms: Public domain W3C validator