Theorem pmtrdifellem4 16718

Description: Lemma 4 for pmtrdifel 16719. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	|- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
pmtrdifel.r	|- R = ran (pmTrsp ` N )
pmtrdifel.0	|- S = ( (pmTrsp ` N ) ` dom ( Q \ _I ) )

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem4	|- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = K )

Proof of Theorem pmtrdifellem4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 |- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
2		pmtrdifel.r	. . . 4 |- R = ran (pmTrsp ` N )
3		pmtrdifel.0	. . . 4 |- S = ( (pmTrsp ` N ) ` dom ( Q \ _I ) )
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 16715	. . 3 |- ( Q e. T -> S e. R )
5		eqid 2400	. . . 4 |- (pmTrsp ` N ) = (pmTrsp ` N )
6		eqid 2400	. . . 4 |- dom ( S \ _I ) = dom ( S \ _I )
7	5, 2, 6	pmtrffv 16698	. . 3 |- ( ( S e. R /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) )
8	4, 7	sylan 469	. 2 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) )
9		eqid 2400	. . . . . . . 8 |- ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
10		eqid 2400	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
11	1, 9, 10	symgtrf 16708	. . . . . . 7 |- T C_ ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
12	11	sseli 3435	. . . . . 6 |- ( Q e. T -> Q e. ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) )
13	9, 10	symgbasf 16623	. . . . . 6 |- ( Q e. ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) -> Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) )
14		ffn 5668	. . . . . . 7 |- ( Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) -> Q Fn ( N \ { K } ) )
15		fndifnfp 6034	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( N \ { K } ) -> dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } )
16		ssrab2 3521	. . . . . . . . . 10 |- { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } )
17		ssel2 3434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } ) /\ K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) -> K e. ( N \ { K } ) )
18		eldif 3421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( N \ { K } ) <-> ( K e. N /\ -. K e. { K } ) )
19		elsncg 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. N -> ( K e. { K } <-> K = K ) )
20	19	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. N -> ( -. K e. { K } <-> -. K = K ) )
21		eqid 2400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = K
22	21	pm2.24i 144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. K = K -> -. K e. N )
23	20, 22	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. N -> ( -. K e. { K } -> -. K e. N ) )
24	23	imp 427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. N /\ -. K e. { K } ) -> -. K e. N )
25	18, 24	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( N \ { K } ) -> -. K e. N )
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } ) /\ K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) -> -. K e. N )
27	16, 26	mpan 668	. . . . . . . . 9 |- ( K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> -. K e. N )
28	27	con2i 120	. . . . . . . 8 |- ( K e. N -> -. K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } )
29		eleq2 2473	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( K e. dom ( Q \ _I ) <-> K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) )
30	29	notbid 292	. . . . . . . 8 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( -. K e. dom ( Q \ _I ) <-> -. K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) )
31	28, 30	syl5ibr 221	. . . . . . 7 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
32	14, 15, 31	3syl 20	. . . . . 6 |- ( Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
33	12, 13, 32	3syl 20	. . . . 5 |- ( Q e. T -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
34	33	imp 427	. . . 4 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> -. K e. dom ( Q \ _I ) )
35	1, 2, 3	pmtrdifellem2 16716	. . . . . 6 |- ( Q e. T -> dom ( S \ _I ) = dom ( Q \ _I ) )
36	35	eleq2d 2470	. . . . 5 |- ( Q e. T -> ( K e. dom ( S \ _I ) <-> K e. dom ( Q \ _I ) ) )
37	36	adantr 463	. . . 4 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( K e. dom ( S \ _I ) <-> K e. dom ( Q \ _I ) ) )
38	34, 37	mtbird 299	. . 3 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> -. K e. dom ( S \ _I ) )
39	38	iffalsed 3893	. 2 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) = K )
40	8, 39	eqtrd 2441	1 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1403   e. wcel 1840   =/= wne 2596   {crab 2755   \ cdif 3408   C_ wss 3411   ifcif 3882   {csn 3969   U.cuni 4188   _I cid 4730   dom cdm 4940   ran crn 4941   Fn wfn 5518   -->wf 5519   ` cfv 5523   Basecbs 14731   SymGrpcsymg 16616  pmTrspcpmtr 16680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-tset 14818  df-symg 16617  df-pmtr 16681

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  16723