MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem4 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem4 16107
Description: Lemma 4 for pmtrdifel 16108. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  K )

Proof of Theorem pmtrdifellem4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
2 pmtrdifel.r . . . 4  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
3 pmtrdifel.0 . . . 4  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
41, 2, 3pmtrdifellem1 16104 . . 3  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( S  \  _I  )
75, 2, 6pmtrffv 16087 . . 3  |-  ( ( S  e.  R  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K ) )
84, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K ) )
9 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
10 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
111, 9, 10symgtrf 16097 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
1211sseli 3463 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  Q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) ) )
139, 10symgbasf 16011 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  ->  Q :
( N  \  { K } ) --> ( N 
\  { K }
) )
14 ffn 5670 . . . . . . 7  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  Q  Fn  ( N  \  { K } ) )
15 fndifnfp 6019 . . . . . . 7  |-  ( Q  Fn  ( N  \  { K } )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
16 ssrab2 3548 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )
17 ssel2 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )  /\  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )  ->  K  e.  ( N  \  { K } ) )
18 eldif 3449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( N  \  { K } )  <->  ( K  e.  N  /\  -.  K  e.  { K } ) )
19 elsncg 4011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  N  ->  ( K  e.  { K } 
<->  K  =  K ) )
2019notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  N  ->  ( -.  K  e.  { K } 
<->  -.  K  =  K ) )
21 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  K
2221pm2.24i 144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  K  =  K  ->  -.  K  e.  N
)
2320, 22syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  ( -.  K  e.  { K }  ->  -.  K  e.  N ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  N  /\  -.  K  e.  { K } )  ->  -.  K  e.  N )
2518, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  K  e.  N
)
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )  /\  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )  ->  -.  K  e.  N )
2716, 26mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  -.  K  e.  N )
2827con2i 120 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
29 eleq2 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( K  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  K  e.  { x  e.  ( N 
\  { K }
)  |  ( Q `
 x )  =/=  x } ) )
3029notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  -.  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } ) )
3128, 30syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
3214, 15, 313syl 20 . . . . . 6  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3312, 13, 323syl 20 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3433imp 429 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )
)
351, 2, 3pmtrdifellem2 16105 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
3635eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  ( K  e.  dom  ( S 
\  _I  )  <->  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( K  e.  dom  ( S  \  _I  )  <->  K  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
3834, 37mtbird 301 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  -.  K  e.  dom  ( S  \  _I  )
)
39 iffalse 3910 . . 3  |-  ( -.  K  e.  dom  ( S  \  _I  )  ->  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K )  =  K )
4038, 39syl 16 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  if ( K  e. 
dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K }
) ,  K )  =  K )
418, 40eqtrd 2495 1  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   {crab 2803    \ cdif 3436    C_ wss 3439   ifcif 3902   {csn 3988   U.cuni 4202    _I cid 4742   dom cdm 4951   ran crn 4952    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529   Basecbs 14295   SymGrpcsymg 16004  pmTrspcpmtr 16069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-tset 14379  df-symg 16005  df-pmtr 16070
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  16112
  Copyright terms: Public domain W3C validator