MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem4 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem4 16718
Description: Lemma 4 for pmtrdifel 16719. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  K )

Proof of Theorem pmtrdifellem4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
2 pmtrdifel.r . . . 4  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
3 pmtrdifel.0 . . . 4  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
41, 2, 3pmtrdifellem1 16715 . . 3  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
5 eqid 2400 . . . 4  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
6 eqid 2400 . . . 4  |-  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( S  \  _I  )
75, 2, 6pmtrffv 16698 . . 3  |-  ( ( S  e.  R  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K ) )
84, 7sylan 469 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  if ( K  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K } ) ,  K ) )
9 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
10 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
111, 9, 10symgtrf 16708 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
1211sseli 3435 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  Q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) ) )
139, 10symgbasf 16623 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  ->  Q :
( N  \  { K } ) --> ( N 
\  { K }
) )
14 ffn 5668 . . . . . . 7  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  Q  Fn  ( N  \  { K } ) )
15 fndifnfp 6034 . . . . . . 7  |-  ( Q  Fn  ( N  \  { K } )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
16 ssrab2 3521 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )
17 ssel2 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )  /\  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )  ->  K  e.  ( N  \  { K } ) )
18 eldif 3421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( N  \  { K } )  <->  ( K  e.  N  /\  -.  K  e.  { K } ) )
19 elsncg 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  N  ->  ( K  e.  { K } 
<->  K  =  K ) )
2019notbid 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  N  ->  ( -.  K  e.  { K } 
<->  -.  K  =  K ) )
21 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  K
2221pm2.24i 144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  K  =  K  ->  -.  K  e.  N
)
2320, 22syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  ( -.  K  e.  { K }  ->  -.  K  e.  N ) )
2423imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  N  /\  -.  K  e.  { K } )  ->  -.  K  e.  N )
2518, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  K  e.  N
)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  C_  ( N  \  { K } )  /\  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )  ->  -.  K  e.  N )
2716, 26mpan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  -.  K  e.  N )
2827con2i 120 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
29 eleq2 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( K  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  K  e.  { x  e.  ( N 
\  { K }
)  |  ( Q `
 x )  =/=  x } ) )
3029notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  -.  K  e.  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x } ) )
3128, 30syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  ( N  \  { K } )  |  ( Q `  x )  =/=  x }  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
3214, 15, 313syl 20 . . . . . 6  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3312, 13, 323syl 20 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  ( K  e.  N  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3433imp 427 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  -.  K  e.  dom  ( Q  \  _I  )
)
351, 2, 3pmtrdifellem2 16716 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
3635eleq2d 2470 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  ( K  e.  dom  ( S 
\  _I  )  <->  K  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
3736adantr 463 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( K  e.  dom  ( S  \  _I  )  <->  K  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
3834, 37mtbird 299 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  -.  K  e.  dom  ( S  \  _I  )
)
3938iffalsed 3893 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  if ( K  e. 
dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { K }
) ,  K )  =  K )
408, 39eqtrd 2441 1  |-  ( ( Q  e.  T  /\  K  e.  N )  ->  ( S `  K
)  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   {crab 2755    \ cdif 3408    C_ wss 3411   ifcif 3882   {csn 3969   U.cuni 4188    _I cid 4730   dom cdm 4940   ran crn 4941    Fn wfn 5518   -->wf 5519   ` cfv 5523   Basecbs 14731   SymGrpcsymg 16616  pmTrspcpmtr 16680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-tset 14818  df-symg 16617  df-pmtr 16681
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  16723
  Copyright terms: Public domain W3C validator