Theorem pmtrdifellem4 17175

Description: Lemma 4 for pmtrdifel 17176. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	|- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
pmtrdifel.r	|- R = ran (pmTrsp ` N )
pmtrdifel.0	|- S = ( (pmTrsp ` N ) ` dom ( Q \ _I ) )

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem4	|- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = K )

Proof of Theorem pmtrdifellem4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 |- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
2		pmtrdifel.r	. . . 4 |- R = ran (pmTrsp ` N )
3		pmtrdifel.0	. . . 4 |- S = ( (pmTrsp ` N ) ` dom ( Q \ _I ) )
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 17172	. . 3 |- ( Q e. T -> S e. R )
5		eqid 2462	. . . 4 |- (pmTrsp ` N ) = (pmTrsp ` N )
6		eqid 2462	. . . 4 |- dom ( S \ _I ) = dom ( S \ _I )
7	5, 2, 6	pmtrffv 17155	. . 3 |- ( ( S e. R /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) )
8	4, 7	sylan 478	. 2 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) )
9		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
10		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
11	1, 9, 10	symgtrf 17165	. . . . . . 7 |- T C_ ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
12	11	sseli 3440	. . . . . 6 |- ( Q e. T -> Q e. ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) )
13	9, 10	symgbasf 17080	. . . . . 6 |- ( Q e. ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) -> Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) )
14		ffn 5755	. . . . . . 7 |- ( Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) -> Q Fn ( N \ { K } ) )
15		fndifnfp 6122	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( N \ { K } ) -> dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } )
16		ssrab2 3526	. . . . . . . . . 10 |- { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } )
17		ssel2 3439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } ) /\ K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) -> K e. ( N \ { K } ) )
18		eldif 3426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( N \ { K } ) <-> ( K e. N /\ -. K e. { K } ) )
19		elsncg 4003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. N -> ( K e. { K } <-> K = K ) )
20	19	notbid 300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. N -> ( -. K e. { K } <-> -. K = K ) )
21		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = K
22	21	pm2.24i 138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. K = K -> -. K e. N )
23	20, 22	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. N -> ( -. K e. { K } -> -. K e. N ) )
24	23	imp 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. N /\ -. K e. { K } ) -> -. K e. N )
25	18, 24	sylbi 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( N \ { K } ) -> -. K e. N )
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } C_ ( N \ { K } ) /\ K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) -> -. K e. N )
27	16, 26	mpan 681	. . . . . . . . 9 |- ( K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> -. K e. N )
28	27	con2i 125	. . . . . . . 8 |- ( K e. N -> -. K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } )
29		eleq2 2529	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( K e. dom ( Q \ _I ) <-> K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) )
30	29	notbid 300	. . . . . . . 8 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( -. K e. dom ( Q \ _I ) <-> -. K e. { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } ) )
31	28, 30	syl5ibr 229	. . . . . . 7 |- ( dom ( Q \ _I ) = { x e. ( N \ { K } ) | ( Q ` x ) =/= x } -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
32	14, 15, 31	3syl 18	. . . . . 6 |- ( Q : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
33	12, 13, 32	3syl 18	. . . . 5 |- ( Q e. T -> ( K e. N -> -. K e. dom ( Q \ _I ) ) )
34	33	imp 435	. . . 4 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> -. K e. dom ( Q \ _I ) )
35	1, 2, 3	pmtrdifellem2 17173	. . . . . 6 |- ( Q e. T -> dom ( S \ _I ) = dom ( Q \ _I ) )
36	35	eleq2d 2525	. . . . 5 |- ( Q e. T -> ( K e. dom ( S \ _I ) <-> K e. dom ( Q \ _I ) ) )
37	36	adantr 471	. . . 4 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( K e. dom ( S \ _I ) <-> K e. dom ( Q \ _I ) ) )
38	34, 37	mtbird 307	. . 3 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> -. K e. dom ( S \ _I ) )
39	38	iffalsed 3904	. 2 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> if ( K e. dom ( S \ _I ) , U. ( dom ( S \ _I ) \ { K } ) , K ) = K )
40	8, 39	eqtrd 2496	1 |- ( ( Q e. T /\ K e. N ) -> ( S ` K ) = K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   {crab 2753   \ cdif 3413   C_ wss 3416   ifcif 3893   {csn 3980   U.cuni 4212   _I cid 4766   dom cdm 4856   ran crn 4857   Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605   Basecbs 15176   SymGrpcsymg 17073  pmTrspcpmtr 17137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-plusg 15258  df-tset 15264  df-symg 17074  df-pmtr 17138

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  17180