MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem3 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem3 16827
Description: Lemma 3 for pmtrdifel 16829. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem3  |-  ( Q  e.  T  ->  A. x  e.  ( N  \  { K } ) ( Q `
 x )  =  ( S `  x
) )
Distinct variable groups:    x, Q    x, T
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    K( x)    N( x)

Proof of Theorem pmtrdifellem3
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . . . . 7  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
2 pmtrdifel.r . . . . . . 7  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
3 pmtrdifel.0 . . . . . . 7  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
41, 2, 3pmtrdifellem2 16826 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
54adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  dom  ( S 
\  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
65eleq2d 2472 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( x  e.  dom  ( S  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
74difeq1d 3560 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
87unieqd 4201 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
98adantr 463 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
106, 9ifbieq1d 3908 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if (
x  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x )  =  if ( x  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) ,  x ) )
111, 2, 3pmtrdifellem1 16825 . . . 4  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
12 eldifi 3565 . . . 4  |-  ( x  e.  ( N  \  { K } )  ->  x  e.  N )
13 eqid 2402 . . . . 5  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
14 eqid 2402 . . . . 5  |-  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( S  \  _I  )
1513, 2, 14pmtrffv 16808 . . . 4  |-  ( ( S  e.  R  /\  x  e.  N )  ->  ( S `  x
)  =  if ( x  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
1611, 12, 15syl2an 475 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( S `  x )  =  if ( x  e.  dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
17 eqid 2402 . . . 4  |-  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )  =  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )
18 eqid 2402 . . . 4  |-  dom  ( Q  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  )
1917, 1, 18pmtrffv 16808 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
2010, 16, 193eqtr4rd 2454 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Q `  x )  =  ( S `  x ) )
2120ralrimiva 2818 1  |-  ( Q  e.  T  ->  A. x  e.  ( N  \  { K } ) ( Q `
 x )  =  ( S `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    \ cdif 3411   ifcif 3885   {csn 3972   U.cuni 4191    _I cid 4733   dom cdm 4823   ran crn 4824   ` cfv 5569  pmTrspcpmtr 16790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-1o 7167  df-2o 7168  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pmtr 16791
This theorem is referenced by:  pmtrdifel  16829  pmtrdifwrdellem3  16832
  Copyright terms: Public domain W3C validator