MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem3 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem3 16292
Description: Lemma 3 for pmtrdifel 16294. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem3  |-  ( Q  e.  T  ->  A. x  e.  ( N  \  { K } ) ( Q `
 x )  =  ( S `  x
) )
Distinct variable groups:    x, Q    x, T
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    K( x)    N( x)

Proof of Theorem pmtrdifellem3
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . . . . 7  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
2 pmtrdifel.r . . . . . . 7  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
3 pmtrdifel.0 . . . . . . 7  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
41, 2, 3pmtrdifellem2 16291 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  dom  ( S 
\  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
65eleq2d 2530 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( x  e.  dom  ( S  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
74difeq1d 3614 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
87unieqd 4248 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
106, 9ifbieq1d 3955 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if (
x  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x )  =  if ( x  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) ,  x ) )
111, 2, 3pmtrdifellem1 16290 . . . 4  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
12 eldifi 3619 . . . 4  |-  ( x  e.  ( N  \  { K } )  ->  x  e.  N )
13 eqid 2460 . . . . 5  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
14 eqid 2460 . . . . 5  |-  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( S  \  _I  )
1513, 2, 14pmtrffv 16273 . . . 4  |-  ( ( S  e.  R  /\  x  e.  N )  ->  ( S `  x
)  =  if ( x  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
1611, 12, 15syl2an 477 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( S `  x )  =  if ( x  e.  dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
17 eqid 2460 . . . 4  |-  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )  =  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )
18 eqid 2460 . . . 4  |-  dom  ( Q  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  )
1917, 1, 18pmtrffv 16273 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
2010, 16, 193eqtr4rd 2512 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Q `  x )  =  ( S `  x ) )
2120ralrimiva 2871 1  |-  ( Q  e.  T  ->  A. x  e.  ( N  \  { K } ) ( Q `
 x )  =  ( S `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    \ cdif 3466   ifcif 3932   {csn 4020   U.cuni 4238    _I cid 4783   dom cdm 4992   ran crn 4993   ` cfv 5579  pmTrspcpmtr 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-1o 7120  df-2o 7121  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pmtr 16256
This theorem is referenced by:  pmtrdifel  16294  pmtrdifwrdellem3  16297
  Copyright terms: Public domain W3C validator