MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem3 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem3 15982
Description: Lemma 3 for pmtrdifel 15984. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem3  |-  ( Q  e.  T  ->  A. x  e.  ( N  \  { K } ) ( Q `
 x )  =  ( S `  x
) )
Distinct variable groups:    x, Q    x, T
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    K( x)    N( x)

Proof of Theorem pmtrdifellem3
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . . . . 7  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
2 pmtrdifel.r . . . . . . 7  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
3 pmtrdifel.0 . . . . . . 7  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
41, 2, 3pmtrdifellem2 15981 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  dom  ( S 
\  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
65eleq2d 2508 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( x  e.  dom  ( S  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
74difeq1d 3471 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  T  ->  ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
87unieqd 4099 . . . . 5  |-  ( Q  e.  T  ->  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x }
)  =  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) )
106, 9ifbieq1d 3810 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if (
x  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x )  =  if ( x  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x }
) ,  x ) )
111, 2, 3pmtrdifellem1 15980 . . . 4  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
12 eldifi 3476 . . . 4  |-  ( x  e.  ( N  \  { K } )  ->  x  e.  N )
13 eqid 2441 . . . . 5  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
14 eqid 2441 . . . . 5  |-  dom  ( S  \  _I  )  =  dom  ( S  \  _I  )
1513, 2, 14pmtrffv 15963 . . . 4  |-  ( ( S  e.  R  /\  x  e.  N )  ->  ( S `  x
)  =  if ( x  e.  dom  ( S  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
1611, 12, 15syl2an 477 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( S `  x )  =  if ( x  e.  dom  ( S  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( S  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
17 eqid 2441 . . . 4  |-  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )  =  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )
18 eqid 2441 . . . 4  |-  dom  ( Q  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  )
1917, 1, 18pmtrffv 15963 . . 3  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( Q  \  _I  )  \  { x } ) ,  x ) )
2010, 16, 193eqtr4rd 2484 . 2  |-  ( ( Q  e.  T  /\  x  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Q `  x )  =  ( S `  x ) )
2120ralrimiva 2797 1  |-  ( Q  e.  T  ->  A. x  e.  ( N  \  { K } ) ( Q `
 x )  =  ( S `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713    \ cdif 3323   ifcif 3789   {csn 3875   U.cuni 4089    _I cid 4629   dom cdm 4838   ran crn 4839   ` cfv 5416  pmTrspcpmtr 15945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-om 6475  df-1o 6918  df-2o 6919  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pmtr 15946
This theorem is referenced by:  pmtrdifel  15984  pmtrdifwrdellem3  15987
  Copyright terms: Public domain W3C validator