MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem1 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem1 16372
Description: Lemma 1 for pmtrdifel 16376. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem1  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )

Proof of Theorem pmtrdifellem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )  =  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )
2 pmtrdifel.t . . 3  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
31, 2pmtrfb 16361 . 2  |-  ( Q  e.  T  <->  ( ( N  \  { K }
)  e.  _V  /\  Q : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  /\  dom  ( Q 
\  _I  )  ~~  2o ) )
4 difsnexi 6603 . . 3  |-  ( ( N  \  { K } )  e.  _V  ->  N  e.  _V )
5 f1of 5822 . . . 4  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  ->  Q :
( N  \  { K } ) --> ( N 
\  { K }
) )
6 fdm 5741 . . . 4  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  dom  Q  =  ( N  \  { K } ) )
7 difssd 3637 . . . . . 6  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  ( Q  \  _I  )  C_  Q
)
8 dmss 5208 . . . . . 6  |-  ( ( Q  \  _I  )  C_  Q  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  dom  Q )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  dom  Q )
10 difssd 3637 . . . . . 6  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  ( N  \  { K } ) 
C_  N )
11 sseq1 3530 . . . . . 6  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  ( dom  Q 
C_  N  <->  ( N  \  { K } ) 
C_  N ) )
1210, 11mpbird 232 . . . . 5  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  dom  Q  C_  N )
139, 12sstrd 3519 . . . 4  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  N )
145, 6, 133syl 20 . . 3  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  N )
15 id 22 . . 3  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o  ->  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )
16 pmtrdifel.0 . . . 4  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
18 pmtrdifel.r . . . . 5  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
1917, 18pmtrrn 16353 . . . 4  |-  ( ( N  e.  _V  /\  dom  ( Q  \  _I  )  C_  N  /\  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( Q  \  _I  ) )  e.  R
)
2016, 19syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ( N  e.  _V  /\  dom  ( Q  \  _I  )  C_  N  /\  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )  ->  S  e.  R )
214, 14, 15, 20syl3an 1270 . 2  |-  ( ( ( N  \  { K } )  e.  _V  /\  Q : ( N 
\  { K }
)
-1-1-onto-> ( N  \  { K } )  /\  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )  ->  S  e.  R )
223, 21sylbi 195 1  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   class class class wbr 4453    _I cid 4796   dom cdm 5005   ran crn 5006   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   2oc2o 7136    ~~ cen 7525  pmTrspcpmtr 16337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-1o 7142  df-2o 7143  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pmtr 16338
This theorem is referenced by:  pmtrdifellem3  16374  pmtrdifellem4  16375  pmtrdifel  16376  pmtrdifwrdellem1  16377  pmtrdifwrdellem2  16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator