MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem1 Structured version   Unicode version

Theorem pmtrdifellem1 15987
Description: Lemma 1 for pmtrdifel 15991. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
pmtrdifel.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
pmtrdifel.0  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem1  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )

Proof of Theorem pmtrdifellem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )  =  (pmTrsp `  ( N  \  { K } ) )
2 pmtrdifel.t . . 3  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
31, 2pmtrfb 15976 . 2  |-  ( Q  e.  T  <->  ( ( N  \  { K }
)  e.  _V  /\  Q : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  /\  dom  ( Q 
\  _I  )  ~~  2o ) )
4 difsnexi 6389 . . 3  |-  ( ( N  \  { K } )  e.  _V  ->  N  e.  _V )
5 f1of 5646 . . . 4  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  ->  Q :
( N  \  { K } ) --> ( N 
\  { K }
) )
6 fdm 5568 . . . 4  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  dom  Q  =  ( N  \  { K } ) )
7 difssd 3489 . . . . . 6  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  ( Q  \  _I  )  C_  Q
)
8 dmss 5044 . . . . . 6  |-  ( ( Q  \  _I  )  C_  Q  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  dom  Q )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  dom  Q )
10 difssd 3489 . . . . . 6  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  ( N  \  { K } ) 
C_  N )
11 sseq1 3382 . . . . . 6  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  ( dom  Q 
C_  N  <->  ( N  \  { K } ) 
C_  N ) )
1210, 11mpbird 232 . . . . 5  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  dom  Q  C_  N )
139, 12sstrd 3371 . . . 4  |-  ( dom 
Q  =  ( N 
\  { K }
)  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  N )
145, 6, 133syl 20 . . 3  |-  ( Q : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  N )
15 id 22 . . 3  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o  ->  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )
16 pmtrdifel.0 . . . 4  |-  S  =  ( (pmTrsp `  N
) `  dom  ( Q 
\  _I  ) )
17 eqid 2443 . . . . 5  |-  (pmTrsp `  N )  =  (pmTrsp `  N )
18 pmtrdifel.r . . . . 5  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
1917, 18pmtrrn 15968 . . . 4  |-  ( ( N  e.  _V  /\  dom  ( Q  \  _I  )  C_  N  /\  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )  ->  (
(pmTrsp `  N ) `  dom  ( Q  \  _I  ) )  e.  R
)
2016, 19syl5eqel 2527 . . 3  |-  ( ( N  e.  _V  /\  dom  ( Q  \  _I  )  C_  N  /\  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )  ->  S  e.  R )
214, 14, 15, 20syl3an 1260 . 2  |-  ( ( ( N  \  { K } )  e.  _V  /\  Q : ( N 
\  { K }
)
-1-1-onto-> ( N  \  { K } )  /\  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )  ->  S  e.  R )
223, 21sylbi 195 1  |-  ( Q  e.  T  ->  S  e.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297    _I cid 4636   dom cdm 4845   ran crn 4846   -->wf 5419   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423   2oc2o 6919    ~~ cen 7312  pmTrspcpmtr 15952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-1o 6925  df-2o 6926  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pmtr 15953
This theorem is referenced by:  pmtrdifellem3  15989  pmtrdifellem4  15990  pmtrdifel  15991  pmtrdifwrdellem1  15992  pmtrdifwrdellem2  15993
  Copyright terms: Public domain W3C validator