Theorem pmtr3ncom 17171

Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	|- T = (pmTrsp ` D )

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncom	|- ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. f e. ran T E. g e. ran T ( g o. f ) =/= ( f o. g ) )

Distinct variable groups:   D, f, g   T, f, g

Allowed substitution hints:   V( f, g)

Proof of Theorem pmtr3ncom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge3el3dif 12681	. 2 |- ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) )
2		simprl 769	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> D e. V )
3		prssi 4141	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> { x , y } C_ D )
4	3	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) -> { x , y } C_ D )
5	4	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> { x , y } C_ D )
6		simplll 773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) -> x e. D )
7		simplr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) -> y e. D )
8	7	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) -> y e. D )
9		simpr1 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) -> x =/= y )
10		pr2nelem 8466	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. D /\ y e. D /\ x =/= y ) -> { x , y } ~~ 2o )
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
12	11	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
13		pmtr3ncom.t	. . . . . . . 8 |- T = (pmTrsp ` D )
14		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ran T = ran T
15	13, 14	pmtrrn 17153	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ { x , y } C_ D /\ { x , y } ~~ 2o ) -> ( T ` { x , y } ) e. ran T )
16	2, 5, 12, 15	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( T ` { x , y } ) e. ran T )
17		prssi 4141	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. D /\ z e. D ) -> { y , z } C_ D )
18	17	adantll 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) -> { y , z } C_ D )
19	18	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> { y , z } C_ D )
20		simplr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) -> z e. D )
21		simpr3 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) -> y =/= z )
22		pr2nelem 8466	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. D /\ z e. D /\ y =/= z ) -> { y , z } ~~ 2o )
23	8, 20, 21, 22	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) -> { y , z } ~~ 2o )
24	23	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> { y , z } ~~ 2o )
25	13, 14	pmtrrn 17153	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ { y , z } C_ D /\ { y , z } ~~ 2o ) -> ( T ` { y , z } ) e. ran T )
26	2, 19, 24, 25	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( T ` { y , z } ) e. ran T )
27		df-3an 993	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. D /\ y e. D /\ z e. D ) <-> ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) )
28	27	biimpri 211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) -> ( x e. D /\ y e. D /\ z e. D ) )
29	28	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( x e. D /\ y e. D /\ z e. D ) )
30		simplr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) )
31		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( T ` { x , y } ) = ( T ` { x , y } )
32		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( T ` { y , z } ) = ( T ` { y , z } )
33	13, 31, 32	pmtr3ncomlem2 17170	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( x e. D /\ y e. D /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) -> ( ( T ` { y , z } ) o. ( T ` { x , y } ) ) =/= ( ( T ` { x , y } ) o. ( T ` { y , z } ) ) )
34	2, 29, 30, 33	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( T ` { y , z } ) o. ( T ` { x , y } ) ) =/= ( ( T ` { x , y } ) o. ( T ` { y , z } ) ) )
35		coeq2 5015	. . . . . . . 8 |- ( f = ( T ` { x , y } ) -> ( g o. f ) = ( g o. ( T ` { x , y } ) ) )
36		coeq1 5014	. . . . . . . 8 |- ( f = ( T ` { x , y } ) -> ( f o. g ) = ( ( T ` { x , y } ) o. g ) )
37	35, 36	neeq12d 2697	. . . . . . 7 |- ( f = ( T ` { x , y } ) -> ( ( g o. f ) =/= ( f o. g ) <-> ( g o. ( T ` { x , y } ) ) =/= ( ( T ` { x , y } ) o. g ) ) )
38		coeq1 5014	. . . . . . . 8 |- ( g = ( T ` { y , z } ) -> ( g o. ( T ` { x , y } ) ) = ( ( T ` { y , z } ) o. ( T ` { x , y } ) ) )
39		coeq2 5015	. . . . . . . 8 |- ( g = ( T ` { y , z } ) -> ( ( T ` { x , y } ) o. g ) = ( ( T ` { x , y } ) o. ( T ` { y , z } ) ) )
40	38, 39	neeq12d 2697	. . . . . . 7 |- ( g = ( T ` { y , z } ) -> ( ( g o. ( T ` { x , y } ) ) =/= ( ( T ` { x , y } ) o. g ) <-> ( ( T ` { y , z } ) o. ( T ` { x , y } ) ) =/= ( ( T ` { x , y } ) o. ( T ` { y , z } ) ) ) )
41	37, 40	rspc2ev 3173	. . . . . 6 |- ( ( ( T ` { x , y } ) e. ran T /\ ( T ` { y , z } ) e. ran T /\ ( ( T ` { y , z } ) o. ( T ` { x , y } ) ) =/= ( ( T ` { x , y } ) o. ( T ` { y , z } ) ) ) -> E. f e. ran T E. g e. ran T ( g o. f ) =/= ( f o. g ) )
42	16, 26, 34, 41	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) /\ ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) /\ ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) ) -> E. f e. ran T E. g e. ran T ( g o. f ) =/= ( f o. g ) )
43	42	exp31 613	. . . 4 |- ( ( ( x e. D /\ y e. D ) /\ z e. D ) -> ( ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) -> ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. f e. ran T E. g e. ran T ( g o. f ) =/= ( f o. g ) ) ) )
44	43	rexlimdva 2891	. . 3 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) -> ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. f e. ran T E. g e. ran T ( g o. f ) =/= ( f o. g ) ) ) )
45	44	rexlimivv 2896	. 2 |- ( E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) -> ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. f e. ran T E. g e. ran T ( g o. f ) =/= ( f o. g ) ) )
46	1, 45	mpcom 37	1 |- ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. f e. ran T E. g e. ran T ( g o. f ) =/= ( f o. g ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   E.wrex 2750   C_ wss 3416   {cpr 3982   class class class wbr 4418   ran crn 4857   o. ccom 4860   ` cfv 5605   2oc2o 7207   ~~ cen 7597   <_ cle 9707   3c3 10693   #chash 12553  pmTrspcpmtr 17137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-hash 12554  df-pmtr 17138

This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  40520