Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pmodlem1 33457
Description: Lemma for pmod1i 33459. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pmodlem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pmodlem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pmodlem.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pmodlem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmodlem1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q 
.\/  r ) ) )  ->  p  e.  ( X  .+  ( Y  i^i  Z ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, A    .\/ , q, r    K, p, q, r    .<_ , q, r    .+ , p, q, r    S, p, q, r    X, p, q, r    Y, p, q, r    Z, p, q, r
Allowed substitution hints:    .\/ ( p)    .<_ ( p)

Proof of Theorem pmodlem1
StepHypRef Expression
1 simpl11 1089 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  K  e.  HL )
2 simpl12 1090 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  X  C_  A )
3 simpl13 1091 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  Y  C_  A )
4 ssinss1 3672 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  A  ->  ( Y  i^i  Z )  C_  A )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  ( Y  i^i  Z
)  C_  A )
6 pmodlem.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 pmodlem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +P `  K
)
86, 7sspadd1 33426 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  ( Y  i^i  Z )  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  ( Y  i^i  Z ) ) )
91, 2, 5, 8syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  X  C_  ( X  .+  ( Y  i^i  Z
) ) )
10 simpr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  p  =  q )
11 simpl31 1095 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  q  e.  X )
1210, 11eqeltrd 2540 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  p  e.  X )
139, 12sseldd 3445 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =  q )  ->  p  e.  ( X 
.+  ( Y  i^i  Z ) ) )
14 simpl11 1089 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  K  e.  HL )
15 hllat 32975 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  K  e.  Lat )
17 simpl12 1090 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  X  C_  A )
18 simpl13 1091 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  Y  C_  A )
1918, 4syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
( Y  i^i  Z
)  C_  A )
20 simpl31 1095 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
q  e.  X )
21 simpl32 1096 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  e.  Y )
22 simpl21 1092 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  Z  e.  S )
23 simpl22 1093 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  X  C_  Z )
24 simpl23 1094 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  Z )
25 pmodlem.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
266, 25psubssat 33365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  e.  S )  ->  Z  C_  A )
2714, 22, 26syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  Z  C_  A )
2827, 24sseldd 3445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  A )
2918, 21sseldd 3445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  e.  A )
3017, 20sseldd 3445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
q  e.  A )
3128, 29, 303jca 1194 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  q  e.  A
) )
32 simpr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  =/=  q )
33 simpl33 1097 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  .<_  ( q  .\/  r ) )
34 pmodlem.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
35 pmodlem.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
3634, 35, 6hlatexch1 33006 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  r  .<_  ( q  .\/  p
) ) )
3736imp 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) )  ->  r  .<_  ( q  .\/  p
) )
3814, 31, 32, 33, 37syl31anc 1279 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  .<_  ( q  .\/  p ) )
39 simp31 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  q  e.  X )
4039snssd 4130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { q }  C_  X )
41 simp22 1048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  X  C_  Z
)
4240, 41sstrd 3454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { q }  C_  Z )
43 simp23 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  p  e.  Z )
4443snssd 4130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { p }  C_  Z )
45 simp11 1044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  K  e.  HL )
46 simp12 1045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  X  C_  A
)
4746, 39sseldd 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  q  e.  A )
4847snssd 4130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { q }  C_  A )
49 simp21 1047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  Z  e.  S )
5045, 49, 26syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  Z  C_  A
)
5150, 43sseldd 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  p  e.  A )
5251snssd 4130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  { p }  C_  A )
536, 25, 7paddss 33456 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( { q }  C_  A  /\  { p }  C_  A  /\  Z  e.  S ) )  -> 
( ( { q }  C_  Z  /\  { p }  C_  Z
)  <->  ( { q }  .+  { p } )  C_  Z
) )
5445, 48, 52, 49, 53syl13anc 1278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  ( ( { q }  C_  Z  /\  { p }  C_  Z )  <->  ( {
q }  .+  {
p } )  C_  Z ) )
5542, 44, 54mpbi2and 937 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  ( {
q }  .+  {
p } )  C_  Z )
56 simp33 1052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  .<_  ( q  .\/  p ) )
5745, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  K  e.  Lat )
58 simp13 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  Y  C_  A
)
59 simp32 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  e.  Y )
6058, 59sseldd 3445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  e.  A )
6134, 35, 6, 7elpadd2at2 33418 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( q  e.  A  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  ->  (
r  e.  ( { q }  .+  {
p } )  <->  r  .<_  ( q  .\/  p ) ) )
6257, 47, 51, 60, 61syl13anc 1278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  ( r  e.  ( { q } 
.+  { p }
)  <->  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )
6356, 62mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  e.  ( { q }  .+  { p } ) )
6455, 63sseldd 3445 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  r  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )  ->  r  e.  Z )
6514, 17, 18, 22, 23, 24, 20, 21, 38, 64syl333anc 1308 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  e.  Z )
6621, 65elind 3630 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  -> 
r  e.  ( Y  i^i  Z ) )
6734, 35, 6, 7elpaddri 33413 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  ( Y  i^i  Z ) 
C_  A )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  ( Y  i^i  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )  ->  p  e.  ( X  .+  ( Y  i^i  Z ) ) )
6816, 17, 19, 20, 66, 28, 33, 67syl322anc 1304 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A
)  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z
)  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q  .\/  r
) ) )  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  ( X  .+  ( Y  i^i  Z
) ) )
6913, 68pm2.61dane 2723 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( Z  e.  S  /\  X  C_  Z  /\  p  e.  Z )  /\  ( q  e.  X  /\  r  e.  Y  /\  p  .<_  ( q 
.\/  r ) ) )  ->  p  e.  ( X  .+  ( Y  i^i  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633    i^i cin 3415    C_ wss 3416   {csn 3980   class class class wbr 4418   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   lecple 15252   joincjn 16244   Latclat 16346   Atomscatm 32875   HLchlt 32962   PSubSpcpsubsp 33107   +Pcpadd 33406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-preset 16228  df-poset 16246  df-plt 16259  df-lub 16275  df-glb 16276  df-join 16277  df-meet 16278  df-p0 16340  df-lat 16347  df-covers 32878  df-ats 32879  df-atl 32910  df-cvlat 32934  df-hlat 32963  df-psubsp 33114  df-padd 33407
This theorem is referenced by:  pmodlem2  33458
  Copyright terms: Public domain W3C validator