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Theorem pmodl42N 35277
Description: Lemma derived from modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodl42.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pmodl42.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmodl42N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )

Proof of Theorem pmodl42N
StepHypRef Expression
1 incom 3673 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W ) )  =  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
2 simpl1 998 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  e.  S )
4 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 pmodl42.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
64, 5psubssat 35180 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K )
)
8 simpl2 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  e.  S )
94, 5psubssat 35180 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
102, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( Atoms `  K )
)
11 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Z  e.  S )
124, 5psubssat 35180 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  e.  S )  ->  Z  C_  ( Atoms `  K ) )
132, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Z  C_  ( Atoms `  K )
)
14 pmodl42.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +P `  K
)
154, 14paddssat 35240 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K ) )
162, 10, 13, 15syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )
)
17 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  W  e.  S )
185, 14paddclN 35268 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S  /\  W  e.  S )  ->  ( Y  .+  W
)  e.  S )
192, 3, 17, 18syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  W )  e.  S )
204, 5psubssat 35180 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  S )  ->  W  C_  ( Atoms `  K ) )
212, 17, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  W  C_  ( Atoms `  K )
)
224, 14sspadd1 35241 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  ( Atoms `  K
)  /\  W  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  Y  C_  ( Y  .+  W ) )
232, 7, 21, 22syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  C_  ( Y  .+  W
) )
244, 5, 14pmod1i 35274 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W
)  e.  S ) )  ->  ( Y  C_  ( Y  .+  W
)  ->  ( ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W
) )  =  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) ) )
25243impia 1192 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W
)  e.  S )  /\  Y  C_  ( Y  .+  W ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W
) )  =  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
262, 7, 16, 19, 23, 25syl131anc 1240 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W ) )  =  ( Y  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
271, 26syl5reqr 2497 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  ( ( X 
.+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) )  =  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) )
2827oveq2d 6293 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
29 ssinss1 3708 . . . 4  |-  ( ( X  .+  Z ) 
C_  ( Atoms `  K
)  ->  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) )  C_  ( Atoms `  K ) )
3016, 29syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
314, 14paddass 35264 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) ) )
322, 10, 7, 30, 31syl13anc 1229 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X 
.+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) ) ) )
334, 14paddass 35264 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
342, 10, 7, 13, 33syl13anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
354, 14padd12N 35265 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) ) )
362, 10, 7, 13, 35syl13anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
3734, 36eqtrd 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
384, 14paddass 35264 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  W  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  W )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  W ) ) )
392, 10, 7, 21, 38syl13anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  W )  =  ( X  .+  ( Y  .+  W ) ) )
4037, 39ineq12d 3683 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( X 
.+  ( Y  .+  W ) ) ) )
41 incom 3673 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  i^i  ( X  .+  ( Y  .+  W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
4240, 41syl6eq 2498 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) ) ) )
434, 5psubssat 35180 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  .+  W )  e.  S )  -> 
( Y  .+  W
)  C_  ( Atoms `  K ) )
442, 19, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )
)
455, 14paddclN 35268 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Z  e.  S )  ->  ( X  .+  Z
)  e.  S )
462, 8, 11, 45syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  e.  S )
475, 14paddclN 35268 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S  /\  ( X  .+  Z )  e.  S )  -> 
( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )
482, 3, 46, 47syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )
494, 14sspadd1 35241 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  X  C_  ( X  .+  Z ) )
502, 10, 13, 49syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( X  .+  Z
) )
514, 14sspadd2 35242 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Z ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
522, 16, 7, 51syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) ) )
5350, 52sstrd 3496 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
544, 5, 14pmod1i 35274 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S ) )  ->  ( X  C_  ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  ->  ( ( X 
.+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X 
.+  ( ( Y 
.+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) ) )
55543impia 1192 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )  /\  X  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
562, 10, 44, 48, 53, 55syl131anc 1240 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
5742, 56eqtrd 2482 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( X  .+  (
( Y  .+  W
)  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z
) ) ) ) )
5828, 32, 573eqtr4rd 2493 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    i^i cin 3457    C_ wss 3458   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Atomscatm 34690   HLchlt 34777   PSubSpcpsubsp 34922   +Pcpadd 35221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-lat 15545  df-clat 15607  df-oposet 34603  df-ol 34605  df-oml 34606  df-covers 34693  df-ats 34694  df-atl 34725  df-cvlat 34749  df-hlat 34778  df-psubsp 34929  df-padd 35222
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  35408
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