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Theorem pmodl42N 33493
Description: Lemma derived from modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodl42.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pmodl42.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmodl42N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )

Proof of Theorem pmodl42N
StepHypRef Expression
1 incom 3542 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W ) )  =  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
2 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  e.  S )
4 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 pmodl42.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
64, 5psubssat 33396 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K )
)
8 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  e.  S )
94, 5psubssat 33396 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
102, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( Atoms `  K )
)
11 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Z  e.  S )
124, 5psubssat 33396 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  e.  S )  ->  Z  C_  ( Atoms `  K ) )
132, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Z  C_  ( Atoms `  K )
)
14 pmodl42.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +P `  K
)
154, 14paddssat 33456 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K ) )
162, 10, 13, 15syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )
)
17 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  W  e.  S )
185, 14paddclN 33484 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S  /\  W  e.  S )  ->  ( Y  .+  W
)  e.  S )
192, 3, 17, 18syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  W )  e.  S )
204, 5psubssat 33396 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  S )  ->  W  C_  ( Atoms `  K ) )
212, 17, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  W  C_  ( Atoms `  K )
)
224, 14sspadd1 33457 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  ( Atoms `  K
)  /\  W  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  Y  C_  ( Y  .+  W ) )
232, 7, 21, 22syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  Y  C_  ( Y  .+  W
) )
244, 5, 14pmod1i 33490 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W
)  e.  S ) )  ->  ( Y  C_  ( Y  .+  W
)  ->  ( ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W
) )  =  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) ) )
25243impia 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( X  .+  Z )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W
)  e.  S )  /\  Y  C_  ( Y  .+  W ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W
) )  =  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
262, 7, 16, 19, 23, 25syl131anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( Y  .+  W ) )  =  ( Y  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
271, 26syl5reqr 2489 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  ( ( X 
.+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) )  =  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) )
2827oveq2d 6106 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
29 ssinss1 3577 . . . 4  |-  ( ( X  .+  Z ) 
C_  ( Atoms `  K
)  ->  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) )  C_  ( Atoms `  K ) )
3016, 29syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
314, 14paddass 33480 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) ) )
322, 10, 7, 30, 31syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( X  .+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( X 
.+  Z )  i^i  ( Y  .+  W
) ) ) ) )
334, 14paddass 33480 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
342, 10, 7, 13, 33syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
354, 14padd12N 33481 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) ) )
362, 10, 7, 13, 35syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
3734, 36eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
384, 14paddass 33480 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )  /\  W  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  W )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  W ) ) )
392, 10, 7, 21, 38syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  W )  =  ( X  .+  ( Y  .+  W ) ) )
4037, 39ineq12d 3552 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  i^i  ( X 
.+  ( Y  .+  W ) ) ) )
41 incom 3542 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  i^i  ( X  .+  ( Y  .+  W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
4240, 41syl6eq 2490 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y 
.+  ( X  .+  Z ) ) ) )
434, 5psubssat 33396 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  .+  W )  e.  S )  -> 
( Y  .+  W
)  C_  ( Atoms `  K ) )
442, 19, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )
)
455, 14paddclN 33484 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Z  e.  S )  ->  ( X  .+  Z
)  e.  S )
462, 8, 11, 45syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  e.  S )
475, 14paddclN 33484 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S  /\  ( X  .+  Z )  e.  S )  -> 
( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )
482, 3, 46, 47syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )
494, 14sspadd1 33457 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Z  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  X  C_  ( X  .+  Z ) )
502, 10, 13, 49syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( X  .+  Z
) )
514, 14sspadd2 33458 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Z ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
522, 16, 7, 51syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  ( X  .+  Z )  C_  ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) ) )
5350, 52sstrd 3365 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  X  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )
544, 5, 14pmod1i 33490 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S ) )  ->  ( X  C_  ( Y  .+  ( X 
.+  Z ) )  ->  ( ( X 
.+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X 
.+  ( ( Y 
.+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) ) )
55543impia 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  W )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) )  e.  S )  /\  X  C_  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
562, 10, 44, 48, 53, 55syl131anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( X  .+  ( Y  .+  W ) )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( ( Y  .+  W )  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z ) ) ) ) )
5742, 56eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( X  .+  (
( Y  .+  W
)  i^i  ( Y  .+  ( X  .+  Z
) ) ) ) )
5828, 32, 573eqtr4rd 2485 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( Z  e.  S  /\  W  e.  S
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  i^i  ( ( X  .+  Y )  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( X  .+  Z
)  i^i  ( Y  .+  W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3326    C_ wss 3327   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Atomscatm 32906   HLchlt 32993   PSubSpcpsubsp 33138   +Pcpadd 33437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-poset 15115  df-plt 15127  df-lub 15143  df-glb 15144  df-join 15145  df-meet 15146  df-p0 15208  df-lat 15215  df-clat 15277  df-oposet 32819  df-ol 32821  df-oml 32822  df-covers 32909  df-ats 32910  df-atl 32941  df-cvlat 32965  df-hlat 32994  df-psubsp 33145  df-padd 33438
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  33624
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