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Theorem pmltpclem2 22151
Description: Lemma for pmltpc 22152. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpc.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RR 
^pm  RR ) )
pmltpc.2  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
pmltpc.3  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
pmltpc.4  |-  ( ph  ->  V  e.  A )
pmltpc.5  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
pmltpc.6  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
pmltpc.7  |-  ( ph  ->  U  <_  V )
pmltpc.8  |-  ( ph  ->  W  <_  X )
pmltpc.9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <_  ( F `  V )
)
pmltpc.10  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  X )  <_  ( F `  W )
)
Assertion
Ref Expression
pmltpclem2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, A    F, a,
b, c    V, b,
c    U, a, b, c    W, a, b, c    X, b, c
Allowed substitution hints:    ph( a, b, c)    V( a)    X( a)

Proof of Theorem pmltpclem2
StepHypRef Expression
1 pmltpc.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
21ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  W  e.  A )
3 pmltpc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
43ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  U  e.  A )
5 pmltpc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  A )
65ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  V  e.  A )
7 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  W  <  U )
8 pmltpc.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RR 
^pm  RR ) )
9 reex 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
109, 9elpm2 7487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  <->  ( F : dom  F --> RR  /\  dom  F 
C_  RR ) )
118, 10sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> RR  /\  dom  F  C_  RR ) )
1211simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> RR )
13 pmltpc.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
1413, 5sseldd 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  dom  F
)
1512, 14ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  V
)  e.  RR )
16 pmltpc.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <_  ( F `  V )
)
1713, 3sseldd 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  F
)
1812, 17ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
1915, 18ltnled 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  V )  <  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <_  ( F `  V ) ) )
2016, 19mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  V
)  <  ( F `  U ) )
2115, 20gtned 9751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  =/=  ( F `
 V ) )
22 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  U  ->  ( F `  V )  =  ( F `  U ) )
2322eqcomd 2410 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  U  ->  ( F `  U )  =  ( F `  V ) )
2423necon3i 2643 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  U )  =/=  ( F `  V )  ->  V  =/=  U )
2521, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =/=  U )
2611simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
2726, 17sseldd 3442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2826, 14sseldd 3442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  RR )
29 pmltpc.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  <_  V )
3027, 28, 29leltned 9769 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  V  <->  V  =/=  U ) )
3125, 30mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  V )
3231ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  U  <  V )
33 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )
3420ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U
) )
3533, 34jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  U
) ) )
3635orcd 390 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  (
( ( F `  W )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  U ) )  \/  ( ( F `  U )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  U
)  <  ( F `  V ) ) ) )
372, 4, 6, 7, 32, 36pmltpclem1 22150 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  W  <  U )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
383ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  e.  A )
391ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  e.  A )
40 pmltpc.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
4140ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  X  e.  A )
4213, 1sseldd 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  dom  F
)
4312, 42ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  RR )
4443ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  e.  RR )
45 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )
4644, 45gtned 9751 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  U )  =/=  ( F `  W
) )
47 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  U  ->  ( F `  W )  =  ( F `  U ) )
4847eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( W  =  U  ->  ( F `  U )  =  ( F `  W ) )
4948necon3i 2643 . . . . . 6  |-  ( ( F `  U )  =/=  ( F `  W )  ->  W  =/=  U )
5046, 49syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  =/=  U )
5127ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  e.  RR )
5226, 42sseldd 3442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5352ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  e.  RR )
54 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  <_  W )
5551, 53, 54leltned 9769 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( U  <  W  <->  W  =/=  U ) )
5650, 55mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  U  <  W )
57 pmltpc.10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  X )  <_  ( F `  W )
)
5813, 40sseldd 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  F
)
5912, 58ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
6043, 59ltnled 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  W )  <  ( F `  X )  <->  -.  ( F `  X
)  <_  ( F `  W ) ) )
6157, 60mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  <  ( F `  X ) )
6243, 61gtned 9751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 W ) )
63 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  W  ->  ( F `  X )  =  ( F `  W ) )
6463necon3i 2643 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  W )  ->  X  =/=  W )
6562, 64syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  W )
6626, 58sseldd 3442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
67 pmltpc.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  <_  X )
6852, 66, 67leltned 9769 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  <  X  <->  X  =/=  W ) )
6965, 68mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  <  X )
7069ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  W  <  X )
7161ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X
) )
7245, 71jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  W )  <  ( F `  X
) ) )
7372olcd 391 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  (
( ( F `  U )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  W ) )  \/  ( ( F `  W )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  W
)  <  ( F `  X ) ) ) )
7438, 39, 41, 56, 70, 73pmltpclem1 22150 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U
) )  /\  U  <_  W )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
7552adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  W  e.  RR )
7627adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  U  e.  RR )
7737, 74, 75, 76ltlecasei 9723 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  W )  <  ( F `  U )
)  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
783ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  U  e.  A )
795ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  V  e.  A )
8040ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  X  e.  A )
8131ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  U  <  V )
82 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  V  <  X )
8320ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U
) )
8415adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  e.  RR )
8518adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  e.  RR )
8659adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  X )  e.  RR )
8720adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  <  ( F `  U )
)
8843adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  W )  e.  RR )
89 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)
9061adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X )
)
9185, 88, 86, 89, 90lelttrd 9773 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  U )  <  ( F `  X )
)
9284, 85, 86, 87, 91lttrd 9776 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X )
)
9392adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X
) )
9483, 93jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  (
( F `  V
)  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  X
) ) )
9594olcd 391 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  (
( ( F `  U )  <  ( F `  V )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  V ) )  \/  ( ( F `  V )  <  ( F `  U )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  X ) ) ) )
9678, 79, 80, 81, 82, 95pmltpclem1 22150 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  V  <  X )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
971ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  W  e.  A )
9840ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  e.  A )
995ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  e.  A )
10069ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  W  <  X )
10115ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  V )  e.  RR )
10292adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  V )  <  ( F `  X
) )
103101, 102gtned 9751 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  X )  =/=  ( F `  V
) )
104 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  X  ->  ( F `  V )  =  ( F `  X ) )
105104eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( V  =  X  ->  ( F `  X )  =  ( F `  V ) )
106105necon3i 2643 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  V )  ->  V  =/=  X )
107103, 106syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  =/=  X )
10866ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  e.  RR )
10928ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  V  e.  RR )
110 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  <_  V )
111108, 109, 110leltned 9769 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( X  <  V  <->  V  =/=  X ) )
112107, 111mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  X  <  V )
11361ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  ( F `  W )  <  ( F `  X
) )
114113, 102jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  (
( F `  W
)  <  ( F `  X )  /\  ( F `  V )  <  ( F `  X
) ) )
115114orcd 390 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  (
( ( F `  W )  <  ( F `  X )  /\  ( F `  V
)  <  ( F `  X ) )  \/  ( ( F `  X )  <  ( F `  W )  /\  ( F `  X
)  <  ( F `  V ) ) ) )
11697, 98, 99, 100, 112, 115pmltpclem1 22150 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W
) )  /\  X  <_  V )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
11728adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  V  e.  RR )
11866adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  X  e.  RR )
11996, 116, 117, 118ltlecasei 9723 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  U )  <_  ( F `  W )
)  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
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) ) ) ) )
12077, 119, 43, 18ltlecasei 9723 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
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)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2754    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   dom cdm 4822   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^pm cpm 7457   RRcr 9520    < clt 9657    <_ cle 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663
This theorem is referenced by:  pmltpc  22152
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