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Theorem pmltpc 20939
Description: Any function on the reals is either increasing, decreasing, or has a triple of points in a vee formation. (This theorem was created on demand by Mario Carneiro for the 6PCM conference in Bialystok, 1-Jul-2014.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
pmltpc  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
)  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, x, y, A    F, a, b, c, x, y

Proof of Theorem pmltpc
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexanali 2766 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
21rexbii 2745 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
3 rexnal 2731 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
42, 3bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
5 rexanali 2766 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
65rexbii 2745 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
7 rexnal 2731 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )
8 breq1 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <_  w  <->  x  <_  w ) )
9 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
109breq2d 4309 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  w
)  <_  ( F `  z )  <->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
118, 10imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  <_  w  ->  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  ( x  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) ) )
12 breq2 4301 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
x  <_  w  <->  x  <_  y ) )
13 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  w )  =  ( F `  y ) )
1413breq1d 4307 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( F `  w
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
1512, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  <_  w  ->  ( F `  w
)  <_  ( F `  x ) )  <->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
1611, 15cbvral2v 2960 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
177, 16xchbinx 310 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  -.  A. w  e.  A  ( z  <_  w  ->  ( F `  w )  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
186, 17bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) )  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
194, 18anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <-> 
( -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
20 reeanv 2893 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <-> 
( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )
21 ioran 490 . . . . 5  |-  ( -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )  <->  ( -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  /\  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) ) )
2219, 20, 213bitr4i 277 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  <->  -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) ) )
23 reeanv 2893 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  /\  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z
) ) )  <->  ( E. y  e.  A  (
x  <_  y  /\  -.  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  /\  E. w  e.  A  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )
24 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F ) )
2524simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  F  e.  ( RR  ^pm  RR ) )
2624simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  A  C_  dom  F )
27 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )
2827simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  x  e.  A )
29 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  y  e.  A )
3027simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  z  e.  A )
31 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  w  e.  A )
32 simprll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  x  <_  y )
33 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  z  <_  w )
34 simprlr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )
35 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z
) )
3625, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35pmltpclem2 20938 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  (
x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )
3736ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F )  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( x  <_ 
y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
3837rexlimdvva 2853 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F
)  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  /\  ( z  <_  w  /\  -.  ( F `  w )  <_  ( F `  z )
) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
3923, 38syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  A  C_  dom  F
)  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4039rexlimdvva 2853 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( E. x  e.  A  E. z  e.  A  ( E. y  e.  A  ( x  <_  y  /\  -.  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) )  /\  E. w  e.  A  (
z  <_  w  /\  -.  ( F `  w
)  <_  ( F `  z ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4122, 40syl5bir 218 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( -.  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4241orrd 378 . 2  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  (
a  <  b  /\  b  <  c  /\  (
( ( F `  a )  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c
)  <  ( F `  b ) )  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b
)  <  ( F `  c ) ) ) ) ) )
43 df-3or 966 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) )  \/ 
E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `
 a )  < 
( F `  b
)  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b )
)  \/  ( ( F `  b )  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) )  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )  \/ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  < 
b  /\  b  <  c  /\  ( ( ( F `  a )  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
4442, 43sylibr 212 1  |-  ( ( F  e.  ( RR 
^pm  RR )  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
)  \/  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
)  \/  E. a  e.  A  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( a  <  b  /\  b  < 
c  /\  ( (
( F `  a
)  <  ( F `  b )  /\  ( F `  c )  <  ( F `  b
) )  \/  (
( F `  b
)  <  ( F `  a )  /\  ( F `  b )  <  ( F `  c
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^pm cpm 7220   RRcr 9286    < clt 9423    <_ cle 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429
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