Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpc Structured version   Unicode version

Theorem pmltpc 22387
 Description: Any function on the reals is either increasing, decreasing, or has a triple of points in a vee formation. (This theorem was created on demand by Mario Carneiro for the 6PCM conference in Bialystok, 1-Jul-2014.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
pmltpc
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,

Proof of Theorem pmltpc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexanali 2878 . . . . . . . 8
21rexbii 2927 . . . . . . 7
3 rexnal 2873 . . . . . . 7
42, 3bitri 252 . . . . . 6
5 rexanali 2878 . . . . . . . 8
65rexbii 2927 . . . . . . 7
7 rexnal 2873 . . . . . . . 8
8 breq1 4423 . . . . . . . . . 10
9 fveq2 5877 . . . . . . . . . . 11
109breq2d 4432 . . . . . . . . . 10
118, 10imbi12d 321 . . . . . . . . 9
12 breq2 4424 . . . . . . . . . 10
13 fveq2 5877 . . . . . . . . . . 11
1413breq1d 4430 . . . . . . . . . 10
1512, 14imbi12d 321 . . . . . . . . 9
1611, 15cbvral2v 3063 . . . . . . . 8
177, 16xchbinx 311 . . . . . . 7
186, 17bitri 252 . . . . . 6
194, 18anbi12i 701 . . . . 5
20 reeanv 2996 . . . . 5
21 ioran 492 . . . . 5
2219, 20, 213bitr4i 280 . . . 4
23 reeanv 2996 . . . . . 6
24 simplll 766 . . . . . . . . . 10
2524simpld 460 . . . . . . . . 9
2624simprd 464 . . . . . . . . 9
27 simpllr 767 . . . . . . . . . 10
2827simpld 460 . . . . . . . . 9
29 simplrl 768 . . . . . . . . 9
3027simprd 464 . . . . . . . . 9
31 simplrr 769 . . . . . . . . 9
32 simprll 770 . . . . . . . . 9
33 simprrl 772 . . . . . . . . 9
34 simprlr 771 . . . . . . . . 9
35 simprrr 773 . . . . . . . . 9
3625, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35pmltpclem2 22386 . . . . . . . 8
3736ex 435 . . . . . . 7
3837rexlimdvva 2924 . . . . . 6
3923, 38syl5bir 221 . . . . 5
4039rexlimdvva 2924 . . . 4
4122, 40syl5bir 221 . . 3
4241orrd 379 . 2
43 df-3or 983 . 2
4442, 43sylibr 215 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 369   wa 370   w3o 981   w3a 982   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776   wss 3436   class class class wbr 4420   cdm 4849  cfv 5597  (class class class)co 6301   cpm 7477  cr 9538   clt 9675   cle 9676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-er 7367  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator