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Theorem pmattomply1f1 31264
Description: The transformation of matrices over polynomials into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping matrices over polynomials to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmattomply1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmattomply1.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmattomply1.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmattomply1.f  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
pmattomply1.m  |-  .*  =  ( .s `  Q )
pmattomply1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
pmattomply1.x  |-  X  =  (var1 `  A )
pmattomply1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
pmattomply1.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
pmattomply1.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
pmattomply1.t  |-  T  =  ( m  e.  B  |->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( m F k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pmattomply1f1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T : B -1-1-> L )
Distinct variable groups:    B, k, m, i, j    i, N, j, k    R, i, j, k    m, F    Q, m    m, X    .* , m    .^ , m    A, i, j, k    C, i, j, k, m   
i, F, j, k   
k, L    m, N    P, k    .* , k    R, m    Q, k    .^ , k
Allowed substitution hints:    A( m)    P( i, j, m)    Q( i,
j)    T( i, j, k, m)    .^ ( i, j)    .* ( i,
j)    L( i, j, m)    X( i, j, k)

Proof of Theorem pmattomply1f1
Dummy variables  b  n  a  u  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmattomply1.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 pmattomply1.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
3 pmattomply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
4 pmattomply1.f . . . 4  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
5 pmattomply1.m . . . 4  |-  .*  =  ( .s `  Q )
6 pmattomply1.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
7 pmattomply1.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  A )
8 pmattomply1.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
9 pmattomply1.q . . . 4  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
10 pmattomply1.l . . . 4  |-  L  =  ( Base `  Q
)
11 pmattomply1.t . . . 4  |-  T  =  ( m  e.  B  |->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( m F k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pmattomply1f 31255 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T : B --> L )
138matrng 18437 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  A  e.  Ring )
15 df-3an 967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  u  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  u  e.  B ) )
1615bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  u  e.  B
)  <->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  u  e.  B
) )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pmattomply1rn 31254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  u  e.  B )  ->  ( T `  u )  e.  L )
1816, 17sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  u  e.  B
)  ->  ( T `  u )  e.  L
)
1918a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  u  e.  B
)  ->  ( w  e.  B  ->  ( T `
 u )  e.  L ) )
2019ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( u  e.  B  ->  ( w  e.  B  ->  ( T `  u
)  e.  L ) ) )
2120impd 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( T `  u )  e.  L ) )
2221imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( T `  u )  e.  L )
23 df-3an 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  w  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  w  e.  B ) )
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pmattomply1rn 31254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  w  e.  B )  ->  ( T `  w )  e.  L )
2523, 24sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  w  e.  B
)  ->  ( T `  w )  e.  L
)
2625ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( w  e.  B  ->  ( T `  w
)  e.  L ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( u  e.  B  ->  ( w  e.  B  ->  ( T `  w
)  e.  L ) ) )
2827impd 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( T `  w )  e.  L ) )
2928imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( T `  w )  e.  L )
3014, 22, 293jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Ring  /\  ( T `  u )  e.  L  /\  ( T `  w )  e.  L ) )
31 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (coe1 `  ( T `  u )
)  =  (coe1 `  ( T `  u )
)
32 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (coe1 `  ( T `  w )
)  =  (coe1 `  ( T `  w )
)
339, 10, 31, 32ply1coe1eq 30975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  ( T `  u )  e.  L  /\  ( T `  w )  e.  L )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  <->  ( T `  u )  =  ( T `  w ) ) )
3433bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  ( T `  u )  e.  L  /\  ( T `  w )  e.  L )  ->  (
( T `  u
)  =  ( T `
 w )  <->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
) )
3530, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( T `  u
)  =  ( T `
 w )  <->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pmattomply1 31253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  e.  B  ->  ( T `  u )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( T `  u
)  =  ( Q 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( T `  u )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N
) )  ->  ( T `  u )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( T `  u
)  =  ( Q 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
4140fveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
(coe1 `  ( T `  u ) )  =  (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
4241fveq1d 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
) )
43 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  u  e.  B )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  u  e.  B )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N
) )  ->  u  e.  B )
4948anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( u  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )
5045, 49jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) ) )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pmattomply1f1lem 31252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
(coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
)  =  ( u F n ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( u F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
)  =  ( u F n ) )
5342, 52eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( u F n ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pmattomply1 31253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  B  ->  ( T `  w )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) )
5554fveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  B  ->  (coe1 `  ( T `  w ) )  =  (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) )
5655fveq1d 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  B  ->  (
(coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
) )
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
) )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
(coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N
) )  ->  (
(coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  B )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  w  e.  B )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N
) )  ->  w  e.  B )
6463anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( w  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )
6545, 64jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( w  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) ) )
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pmattomply1f1lem 31252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( w  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
(coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
)  =  ( w F n ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( w F k )  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  n
)  =  ( w F n ) )
6860, 67eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  =  ( w F n ) )
6953, 68eqeq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )  <->  ( u F n )  =  ( w F n ) ) )
70 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  N  e.  Fin )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  Fin )
7347adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  u  e.  B )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
7572, 73, 743jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  Fin  /\  u  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )
761, 2, 3, 4pmatcollpw1lem1 31220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  u  e.  B  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( u F n )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( u F n )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) )
7862adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  w  e.  B )
7972, 78, 743jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  Fin  /\  w  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )
801, 2, 3, 4pmatcollpw1lem1 31220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  w  e.  B  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( w F n )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( w F n )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) )
8277, 81eqeq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( u F n )  =  ( w F n )  <-> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) ) )
83 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
84 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
85 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  R  e.  Ring )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
88 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
89 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
903eleq2i 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( u  e.  B  <->  u  e.  ( Base `  C )
)
9190biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( u  e.  B  ->  u  e.  ( Base `  C
) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  u  e.  ( Base `  C ) )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  u  e.  ( Base `  C
) )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  u  e.  ( Base `  C ) )
95943ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  u  e.  ( Base `  C
) )
9688, 89, 953jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  u  e.  ( Base `  C ) ) )
97 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
982, 97matecl 18432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  u  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( i u j )  e.  ( Base `  P ) )
9996, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i u j )  e.  ( Base `  P
) )
100743ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  n  e.  NN0 )
10199, 100jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( i u j )  e.  ( Base `  P )  /\  n  e.  NN0 ) )
102 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (coe1 `  (
i u j ) )  =  (coe1 `  (
i u j ) )
103102, 97, 1, 83coe1fvalcl 30969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( i u j )  e.  ( Base `  P )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( i u j ) ) `  n )  e.  (
Base `  R )
)
104101, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i u j ) ) `  n )  e.  (
Base `  R )
)
1058, 83, 84, 72, 87, 104matbas2d 18430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) )  e.  ( Base `  A
) )
1063eleq2i 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( w  e.  B  <->  w  e.  ( Base `  C )
)
107106biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( Base `  C
) )
108107adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  ( Base `  C ) )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  w  e.  ( Base `  C
) )
110109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  w  e.  ( Base `  C ) )
1111103ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  w  e.  ( Base `  C
) )
11288, 89, 1113jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  w  e.  ( Base `  C ) ) )
1132, 97matecl 18432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  w  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( i w j )  e.  ( Base `  P ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i w j )  e.  ( Base `  P
) )
115114, 100jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( i w j )  e.  ( Base `  P )  /\  n  e.  NN0 ) )
116 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (coe1 `  (
i w j ) )  =  (coe1 `  (
i w j ) )
117116, 97, 1, 83coe1fvalcl 30969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( i w j )  e.  ( Base `  P )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( i w j ) ) `  n )  e.  (
Base `  R )
)
118115, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i w j ) ) `  n )  e.  (
Base `  R )
)
1198, 83, 84, 72, 87, 118matbas2d 18430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) )  e.  ( Base `  A
) )
120105, 119jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) )  e.  ( Base `  A )  /\  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) )  e.  ( Base `  A
) ) )
1218, 84eqmat 31000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i w j ) ) `  n ) )  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) )
123 biidd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) y )  =  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) )
124122, 123bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) )
12582, 124bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( u F n )  =  ( w F n )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) y )  =  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) )
126125ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( ( u F n )  =  ( w F n )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) ) )
127126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N
) )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( ( u F n )  =  ( w F n )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) ) )
128127imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( u F n )  =  ( w F n )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) y )  =  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) )
129 oveq1 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  a  ->  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) y ) )
130 oveq1 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  a  ->  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i w j ) ) `  n ) ) y )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) y ) )
131129, 130eqeq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) y )  =  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y )  <->  ( a ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) ) )
132 oveq2 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  b  ->  (
a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) b ) )
133 oveq2 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  b  ->  (
a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i w j ) ) `  n ) ) y )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) b ) )
134132, 133eqeq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  b  ->  (
( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) y )  =  ( a ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y )  <->  ( a ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) b ) ) )
135131, 134rspc2va 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) )  ->  (
a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) ) b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) b ) )
136 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) )
137 oveq12 6196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( i u j )  =  ( a u b ) )
138137fveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  (coe1 `  ( i u j ) )  =  (coe1 `  ( a u b ) ) )
139138fveq1d 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n ) )
140139adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( i  =  a  /\  j  =  b ) )  ->  (
(coe1 `  ( i u j ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n ) )
141 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  N )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  /\  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  a  e.  N )
143142adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
a  e.  N )
144 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  b  e.  N )
145144adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  /\  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  b  e.  N )
146145adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
b  e.  N )
147 fvex 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n
)  e.  _V
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  /\  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
(coe1 `  ( a u b ) ) `  n )  e.  _V )
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n )  e.  _V )
150136, 140, 143, 146, 149ovmpt2d 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) b )  =  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n ) )
151 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) )
152 oveq12 6196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( i w j )  =  ( a w b ) )
153152fveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  (coe1 `  ( i w j ) )  =  (coe1 `  ( a w b ) ) )
154153fveq1d 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n ) )
155154adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( i  =  a  /\  j  =  b ) )  ->  (
(coe1 `  ( i w j ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n ) )
156 fvex 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n
)  e.  _V
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n )  e.  _V )
158151, 155, 143, 146, 157ovmpt2d 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) b )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) )
159150, 158eqeq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) b )  <->  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) )
160159biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  /\  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) b )  ->  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n
)  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n
) ) )
161160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  /\  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) b )  =  ( a ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) b )  ->  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n
)  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n
) ) ) )
162161ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) ) b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) b )  ->  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) ) ) )
163162com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) ) b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) b )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n
)  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n
) ) ) ) )
164135, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y ) )  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n ) ) ) ) )
165164ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y )  ->  ( (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n
)  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n
) ) ) ) ) )
166165com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y )  ->  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n
)  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n
) ) ) ) ) )
167166pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n
) ) y )  ->  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) ) ) )
168167impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N
) )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n
) ) y )  =  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y )  ->  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n
)  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n
) ) ) )
169168imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  n ) ) y )  =  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  n ) ) y )  ->  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n
)  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n
) ) )
170128, 169sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( u F n )  =  ( w F n )  ->  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) )
17169, 170sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )  ->  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n ) ) )
172171ralimdva 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N
) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  ->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) )
173172ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u
) ) `  n
)  =  ( (coe1 `  ( T `  w
) ) `  n
)  ->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) ) )
174173com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  ->  (
( a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) ) )
175174imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
(coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n ) )  -> 
( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) )
176175imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n ) )
17786adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
(coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n ) )  ->  R  e.  Ring )
178177adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
179141adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
a  e.  N )
180144adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
b  e.  N )
18193adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
(coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n ) )  ->  u  e.  ( Base `  C ) )
182181adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  ->  u  e.  ( Base `  C ) )
183179, 180, 1823jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a  e.  N  /\  b  e.  N  /\  u  e.  ( Base `  C ) ) )
1842, 97matecl 18432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N  /\  u  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( a u b )  e.  ( Base `  P ) )
185183, 184syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a u b )  e.  ( Base `  P ) )
186107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( w  e.  B  ->  w  e.  ( Base `  C ) ) )
187186a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( u  e.  B  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( Base `  C ) ) ) )
188187impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  ( Base `  C
) ) )
189188imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  w  e.  ( Base `  C
) )
190189adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
(coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n ) )  ->  w  e.  ( Base `  C ) )
191190adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  ->  w  e.  ( Base `  C ) )
192179, 180, 1913jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a  e.  N  /\  b  e.  N  /\  w  e.  ( Base `  C ) ) )
1932, 97matecl 18432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N  /\  w  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( a w b )  e.  ( Base `  P ) )
194192, 193syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a w b )  e.  ( Base `  P ) )
195178, 185, 1943jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  ( a u b )  e.  ( Base `  P )  /\  (
a w b )  e.  ( Base `  P
) ) )
196 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  (coe1 `  (
a u b ) )  =  (coe1 `  (
a u b ) )
197 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  (coe1 `  (
a w b ) )  =  (coe1 `  (
a w b ) )
1981, 97, 196, 197ply1coe1eq 30975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
a u b )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( a
w b )  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n )  <->  ( a
u b )  =  ( a w b ) ) )
199198bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
a u b )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( a
w b )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( a u b )  =  ( a w b )  <->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  (
a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  (
a w b ) ) `  n ) ) )
200195, 199syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( ( a u b )  =  ( a w b )  <->  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( a u b ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( a w b ) ) `  n ) ) )
201176, 200mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
u  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u )
) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w )
) `  n )
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a u b )  =  ( a w b ) )
202201ralrimivva 2901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
(coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n ) )  ->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a u b )  =  ( a w b ) )
2032, 3eqmat 31000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( u  =  w  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a u b )  =  ( a w b ) ) )
204203adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
u  =  w  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a
u b )  =  ( a w b ) ) )
205204adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
(coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n ) )  -> 
( u  =  w  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a u b )  =  ( a w b ) ) )
206202, 205mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
(coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n ) )  ->  u  =  w )
207206ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( (coe1 `  ( T `  u ) ) `  n )  =  ( (coe1 `  ( T `  w ) ) `  n )  ->  u  =  w ) )
20835, 207sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( T `  u
)  =  ( T `
 w )  ->  u  =  w )
)
209208ralrimivva 2901 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. u  e.  B  A. w  e.  B  ( ( T `  u )  =  ( T `  w )  ->  u  =  w ) )
21012, 209jca 532 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( T : B --> L  /\  A. u  e.  B  A. w  e.  B  ( ( T `
 u )  =  ( T `  w
)  ->  u  =  w ) ) )
211 dff13 6067 . 2  |-  ( T : B -1-1-> L  <->  ( T : B --> L  /\  A. u  e.  B  A. w  e.  B  (
( T `  u
)  =  ( T `
 w )  ->  u  =  w )
) )
212210, 211sylibr 212 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T : B -1-1-> L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793   _Vcvv 3065    |-> cmpt 4445   -->wf 5509   -1-1->wf1 5510   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    |-> cmpt2 6189   Fincfn 7407   NN0cn0 10677   Basecbs 14273   .scvsca 14341    gsumg cgsu 14478  .gcmg 15513  mulGrpcmgp 16693   Ringcrg 16748  var1cv1 17736  Poly1cpl1 17737  coe1cco1 17738   Mat cmat 18386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-ofr 6418  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-hom 14361  df-cco 14362  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-prds 14485  df-pws 14487  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mulg 15647  df-subg 15777  df-ghm 15844  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-srg 16710  df-rng 16750  df-subrg 16966  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-sra 17356  df-rgmod 17357  df-psr 17526  df-mvr 17527  df-mpl 17528  df-opsr 17530  df-psr1 17740  df-vr1 17741  df-ply1 17742  df-coe1 17743  df-dsmm 18263  df-frlm 18278  df-mamu 18387  df-mat 18388
This theorem is referenced by:  pmattomply1f1o  31266
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