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Theorem pmatcollpw3fi1lem1 19156
Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 19158. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.m  |-  .*  =  ( .s `  C )
pmatcollpw.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
pmatcollpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
pmatcollpw.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
pmatcollpw3.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
pmatcollpw3.d  |-  D  =  ( Base `  A
)
pmatcollpw3fi1lem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
pmatcollpw3fi1lem1.h  |-  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1lem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    R, n    n, X    .^ , n    C, n    B, l    M, l    N, l    R, l    D, l, n    A, l    G, l, n
Allowed substitution hints:    A( n)    C( l)    P( l)    T( n, l)    .^ ( l)    H( n, l)    .* ( n, l)    X( l)    .0. ( n, l)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )
2 pmatcollpw.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 pmatcollpw.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( N Mat  P )
42, 3pmatring 19063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
5 ringmnd 17079 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Mnd )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Mnd )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  C  e.  Mnd )
8 pmatcollpw.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  C
)
9 ringcmn 17101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. CMnd
)
104, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e. CMnd )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  C  e. CMnd )
12 snfi 7608 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  { 0 }  e.  Fin )
14 simplll 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  N  e.  Fin )
15 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  R  e.  Ring )
16 elmapi 7452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  ->  G : { 0 } --> D )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  G : { 0 } --> D )
1817ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  e.  D )
19 elsni 4058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  =  0 )
20 0nn0 10822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
2119, 20syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  e.  NN0 )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  n  e.  NN0 )
23 pmatcollpw3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( N Mat  R )
24 pmatcollpw3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( Base `  A
)
25 pmatcollpw.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
26 pmatcollpw.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .*  =  ( .s `  C )
27 pmatcollpw.e . . . . . . . . . . . 12  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
28 pmatcollpw.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  (var1 `  R )
2923, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 19110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( G `  n )  e.  D  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( G `  n ) ) )  e.  B )
3014, 15, 18, 22, 29syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) )  e.  B )
3130ralrimiva 2881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  A. n  e.  { 0 }  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( G `  n ) ) )  e.  B )
328, 11, 13, 31gsummptcl 16867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  e.  B )
33 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
34 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
358, 33, 34mndrid 15815 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Mnd  /\  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  e.  B )  -> 
( ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( 0g
`  C ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) ) ) ) )
367, 32, 35syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( 0g `  C ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )
37 0z 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
38 fzsn 11737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
4039eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0 ... 0 )
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  { 0 }  =  ( 0 ... 0 ) )
42 pmatcollpw3fi1lem1.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1
)  |->  if ( l  =  0 ,  ( G `  0 ) ,  .0.  ) ) )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  l  =  n )
4519ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  n  =  0 )
4644, 45eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  l  =  0 )
47 iftrue 3951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  0  ->  if ( l  =  0 ,  ( G ` 
0 ) ,  .0.  )  =  ( G `  0 ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  )  =  ( G `  0 ) )
49 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
0 ) )
5049eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  0 )  =  ( G `  n ) )
5119, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  ( G ` 
0 )  =  ( G `  n ) )
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  ( G `  0
)  =  ( G `
 n ) )
5348, 52eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  )  =  ( G `  n ) )
54 1nn0 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  NN0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  0  ->  1  e.  NN0 )
56 nn0uz 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5755, 56syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
58 eluzfz1 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 1
) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  0  e.  ( 0 ... 1
) )
60 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
n  e.  ( 0 ... 1 )  <->  0  e.  ( 0 ... 1
) ) )
6159, 60mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
6219, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  e.  ( 0 ... 1 ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  n  e.  ( 0 ... 1 ) )
64 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : { 0 } --> D  /\  n  e.  { 0 } )  ->  ( G `  n )  e.  D
)
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  ( n  e.  { 0 }  ->  ( G `  n )  e.  D ) )
6616, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  -> 
( n  e.  {
0 }  ->  ( G `  n )  e.  D ) )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
n  e.  { 0 }  ->  ( G `  n )  e.  D
) )
6867imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  e.  D )
6943, 53, 63, 68fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( H `  n
)  =  ( G `
 n ) )
7069eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  =  ( H `
 n ) )
7170fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( T `  ( G `  n )
)  =  ( T `
 ( H `  n ) ) )
7271oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) )  =  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) )
7341, 72mpteq12dva 4530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
n  e.  { 0 }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )
7473oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) )
75 ovex 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  e. 
_V
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
0  +  1 )  e.  _V )
778, 34mndidcl 15811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  Mnd  ->  ( 0g `  C )  e.  B )
786, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  C
)  e.  B )
7978adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( 0g `  C )  e.  B )
8042a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) ) )
81 0p1e1 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8281eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  <->  n  = 
1 )
83 ax-1ne0 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =/=  0
8483neii 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  1  =  0
85 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  0  <->  1  =  0 ) )
8684, 85mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  =  0 )
8782, 86sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  -.  n  =  0 )
8887ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  -.  n  =  0 )
89 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  n  ->  (
l  =  0  <->  n  =  0 ) )
9089notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  n  ->  ( -.  l  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  ( -.  l  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
9288, 91mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  -.  l  =  0 )
93 iffalse 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  l  =  0  ->  if ( l  =  0 ,  ( G ` 
0 ) ,  .0.  )  =  .0.  )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G ` 
0 ) ,  .0.  )  =  .0.  )
95 pmatcollpw3fi1lem1.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
9694, 95syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G ` 
0 ) ,  .0.  )  =  ( 0g `  A ) )
9754a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  NN0 )
9897, 56syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
99 eluzfz2 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  1  e.  ( 0 ... 1
) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ( 0 ... 1
) )
101 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  ( 0 ... 1 )  <->  1  e.  ( 0 ... 1
) ) )
102100, 101mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
10382, 102sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
105 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( 0g `  A )  e.  _V )
10780, 96, 104, 106fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( H `  n )  =  ( 0g `  A ) )
108107fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( H `  n
) )  =  ( T `  ( 0g
`  A ) ) )
10923fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  ( N Mat  R ) )
1103fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  ( N Mat  P ) )
11125, 2, 109, 1100mat2pmat 19106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( T `  ( 0g `  A ) )  =  ( 0g `  C
) )
112111ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( T `  ( 0g `  A ) )  =  ( 0g `  C ) )
113112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( 0g `  A
) )  =  ( 0g `  C ) )
114108, 113eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( H `  n
) )  =  ( 0g `  C ) )
115114oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  =  ( ( n  .^  X
)  .*  ( 0g
`  C ) ) )
1162, 3pmatlmod 19064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  LMod )
117116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  C  e.  LMod )
118 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  R  e.  Ring )
119 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  NN0  <->  1  e.  NN0 ) )
12097, 119mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  NN0 )
12182, 120sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  n  e.  NN0 )
122121adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
123 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
124 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1252, 28, 123, 27, 124ply1moncl 18182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
126118, 122, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
1272ply1ring 18159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
1283matsca2 18791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  P  =  (Scalar `  C
) )
129127, 128sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  P  =  (Scalar `  C
) )
130129eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  C )  =  P )
131130fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  (Scalar `  C
) )  =  (
Base `  P )
)
132131eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( n  .^  X )  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) )  <->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
) )
133132ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) )  <->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
) )
134126, 133mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) )
135 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
136 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
137135, 26, 136, 34lmodvs0 17417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
n  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )  ->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( 0g `  C
) )  =  ( 0g `  C ) )
138117, 134, 137syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( 0g `  C
) )  =  ( 0g `  C ) )
139115, 138eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  =  ( 0g `  C ) )
1408, 7, 76, 79, 139gsumsnd 16852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
141140eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( 0g `  C )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) )
14274, 141oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( 0g `  C ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
14336, 142eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
144143adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
1451, 144eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
1461453impa 1191 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
14720a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  0  e.  NN0 )
148 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  N  e.  Fin )
149 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  R  e.  Ring )
150 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  G : { 0 } --> D )
151 c0ex 9602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
152151snid 4061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  { 0 }
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  0  e.  { 0 } )
154150, 153ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  ( G `  0 )  e.  D )
15516, 154syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  -> 
( G `  0
)  e.  D )
156155ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  ( G `  0 )  e.  D )
15723matring 18814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
15824, 95ring0cl 17092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Ring  ->  .0.  e.  D )
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .0.  e.  D )
160159ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  .0.  e.  D )
161156, 160ifcld 3988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  if (
l  =  0 ,  ( G `  0
) ,  .0.  )  e.  D )
162161, 42fmptd 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  H : ( 0 ... 1 ) --> D )
16381oveq2i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
164163feq2i 5730 . . . . . . . 8  |-  ( H : ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) --> D  <->  H :
( 0 ... 1
) --> D )
165162, 164sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  H : ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) --> D )
166165ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( H `  n )  e.  D
)
167 elfznn0 11782 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
168167adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
16923, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 19110 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( H `  n )  e.  D  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) )  e.  B )
170148, 149, 166, 168, 169syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  e.  B
)
1718, 33, 11, 147, 170gsummptfzsplit 16825 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
1721713adant3 1016 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
173146, 172eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
174 mpteq1 4533 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 1 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) )
175163, 174ax-mp 5 . . 3  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) )
176175oveq2i 6306 . 2  |-  ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )
177173, 176syl6eq 2524 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   ifcif 3945   {csn 4033    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793  .gcmg 15928  CMndccmn 16671  mulGrpcmgp 17013   Ringcrg 17070   LModclmod 17383  var1cv1 18085  Poly1cpl1 18086   Mat cmat 18778   matToPolyMat cmat2pmat 19074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-ascl 17833  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-psr1 18089  df-vr1 18090  df-ply1 18091  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mamu 18755  df-mat 18779  df-mat2pmat 19077
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