Theorem pmatcollpw3fi1lem1 19887

Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 19889. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw.p	|- P = (Poly1 ` R )
pmatcollpw.c	|- C = ( N Mat P )
pmatcollpw.b	|- B = ( Base ` C )
pmatcollpw.m	|- .* = ( .s ` C )
pmatcollpw.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
pmatcollpw.x	|- X = (var1 ` R )
pmatcollpw.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
pmatcollpw3.a	|- A = ( N Mat R )
pmatcollpw3.d	|- D = ( Base ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.0	|- .0. = ( 0g ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.h	|- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw3fi1lem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   R, n   n, X   .^ , n   C, n   B, l   M, l   N, l   R, l   D, l, n   A, l   G, l, n

Allowed substitution hints:   A( n)   C( l)   P( l)   T( n, l)   .^ ( l)   H( n, l)   .* ( n, l)   X( l)   .0. ( n, l)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
2		pmatcollpw.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = (Poly1 ` R )
3		pmatcollpw.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( N Mat P )
4	2, 3	pmatring 19794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
5		ringmnd 17867	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Ring -> C e. Mnd )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Mnd )
7	6	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. Mnd )
8		pmatcollpw.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` C )
9		ringcmn 17889	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Ring -> C e. CMnd )
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. CMnd )
11	10	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. CMnd )
12		snfi 7668	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } e. Fin )
14		simplll 776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> N e. Fin )
15		simpllr 777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> R e. Ring )
16		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> G : { 0 } --> D )
17	16	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> G : { 0 } --> D )
18	17	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
19		elsni 3985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 0 } -> n = 0 )
20		0nn0 10908	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
21	19, 20	syl6eqel 2557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. { 0 } -> n e. NN0 )
22	21	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. NN0 )
23		pmatcollpw3.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( N Mat R )
24		pmatcollpw3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( Base ` A )
25		pmatcollpw.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( N matToPolyMat R )
26		pmatcollpw.m	. . . . . . . . . . . 12 |- .* = ( .s ` C )
27		pmatcollpw.e	. . . . . . . . . . . 12 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
28		pmatcollpw.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = (var1 ` R )
29	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 19841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( G ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
30	14, 15, 18, 22, 29	syl22anc 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
31	30	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> A. n e. { 0 } ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
32	8, 11, 13, 31	gsummptcl 17677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B )
33		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
34		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
35	8, 33, 34	mndrid 16636	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Mnd /\ ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
36	7, 32, 35	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
37		0z 10972	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
38		fzsn 11866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
40	39	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0 )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } = ( 0 ... 0 ) )
42		pmatcollpw3fi1lem1.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
44		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = n )
45	19	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> n = 0 )
46	44, 45	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = 0 )
47	46	iftrued 3880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` 0 ) )
48		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> ( G ` n ) = ( G ` 0 ) )
49	48	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
50	19, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. { 0 } -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
51	50	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
52	47, 51	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` n ) )
53		1nn0 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> 1 e. NN0 )
55		nn0uz 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
56	54, 55	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57		eluzfz1 11832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
59		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 0 e. ( 0 ... 1 ) ) )
60	58, 59	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
61	19, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. { 0 } -> n e. ( 0 ... 1 ) )
62	61	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
63		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : { 0 } --> D /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
64	63	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : { 0 } --> D -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
65	16, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
66	65	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
67	66	imp 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
68	43, 52, 62, 67	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( H ` n ) = ( G ` n ) )
69	68	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) = ( H ` n ) )
70	69	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( T ` ( G ` n ) ) = ( T ` ( H ` n ) ) )
71	70	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
72	41, 71	mpteq12dva 4473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
73	72	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
74		ovex 6336	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) e. _V
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0 + 1 ) e. _V )
76	8, 34	mndidcl 16632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. Mnd -> ( 0g ` C ) e. B )
77	6, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` C ) e. B )
78	77	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) e. B )
79	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
80		0p1e1 10743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 + 1 ) = 1
81	80	eqeq2i 2483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( 0 + 1 ) <-> n = 1 )
82		ax-1ne0 9626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 =/= 0
83	82	neii 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -. 1 = 0
84		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 1 -> ( n = 0 <-> 1 = 0 ) )
85	83, 84	mtbiri 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> -. n = 0 )
86	81, 85	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> -. n = 0 )
87	86	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. n = 0 )
88		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = n -> ( l = 0 <-> n = 0 ) )
89	88	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = n -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
90	89	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
91	87, 90	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. l = 0 )
92	91	iffalsed 3883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = .0. )
93		pmatcollpw3fi1lem1.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` A )
94	92, 93	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( 0g ` A ) )
95	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> 1 e. NN0 )
96	95, 55	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 1 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
97		eluzfz2 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
99		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 1 e. ( 0 ... 1 ) ) )
100	98, 99	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
101	81, 100	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
102	101	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
103		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) e. _V
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V )
105	79, 94, 102, 104	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( H ` n ) = ( 0g ` A ) )
106	105	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( T ` ( 0g ` A ) ) )
107	23	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` ( N Mat R ) )
108	3	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` ( N Mat P ) )
109	25, 2, 107, 108	0mat2pmat 19837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
110	109	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
111	110	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
112	106, 111	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( 0g ` C ) )
113	112	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) )
114	2, 3	pmatlmod 19795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. LMod )
115	114	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> C e. LMod )
116		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> R e. Ring )
117		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( n e. NN0 <-> 1 e. NN0 ) )
118	95, 117	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> n e. NN0 )
119	81, 118	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. NN0 )
120	119	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
121		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
122		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
123	2, 28, 121, 27, 122	ply1moncl 18941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
124	116, 120, 123	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
125	2	ply1ring 18918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
126	3	matsca2 19522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
127	125, 126	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
128	127	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (Scalar ` C ) = P )
129	128	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` P ) )
130	129	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
131	130	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
132	124, 131	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
133		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
134		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
135	133, 26, 134, 34	lmodvs0 18203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. LMod /\ ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
136	115, 132, 135	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
137	113, 136	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) )
138	8, 7, 75, 78, 137	gsumsnd 17663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( 0g ` C ) )
139	138	eqcomd 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) = ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
140	73, 139	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
141	36, 140	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
142	141	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
143	1, 142	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
144	143	3impa 1226	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
145	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> 0 e. NN0 )
146		simplll 776	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> N e. Fin )
147		simpllr 777	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> R e. Ring )
148		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> G : { 0 } --> D )
149		c0ex 9655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
150	149	snid 3988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. { 0 }
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> 0 e. { 0 } )
152	148, 151	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : { 0 } --> D -> ( G ` 0 ) e. D )
153	16, 152	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( G ` 0 ) e. D )
154	153	ad2antlr 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( G ` 0 ) e. D )
155	23	matring 19545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
156	24, 93	ring0cl 17880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Ring -> .0. e. D )
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. D )
158	157	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> .0. e. D )
159	154, 158	ifcld 3915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) e. D )
160	159, 42	fmptd 6061	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
161	80	oveq2i 6319	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
162	161	feq2i 5731	. . . . . . . 8 |- ( H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D <-> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
163	160, 162	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D )
164	163	ffvelrnda 6037	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( H ` n ) e. D )
165		elfznn0 11913	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
166	165	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
167	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 19841	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( H ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
168	146, 147, 164, 166, 167	syl22anc 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
169	8, 33, 11, 145, 168	gsummptfzsplit 17643	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
170	169	3adant3 1050	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
171	144, 170	eqtr4d 2508	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
172		mpteq1 4476	. . . 4 |- ( ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 ) -> ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
173	161, 172	ax-mp 5	. . 3 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
174	173	oveq2i 6319	. 2 |- ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
175	171, 174	syl6eq 2521	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   ifcif 3872   {csn 3959   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416   gsum_g cgsu 15417   Mndcmnd 16613  ._gcmg 16750  CMndccmn 17508  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858   LModclmod 18169  var₁cv1 18846  Poly₁cpl1 18847   Mat cmat 19509   matToPolyMat cmat2pmat 19805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mamu 19486  df-mat 19510  df-mat2pmat 19808

This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  19888