Theorem pmatcollpw3fi1lem1 19372

Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 19374. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw.p	|- P = (Poly1 ` R )
pmatcollpw.c	|- C = ( N Mat P )
pmatcollpw.b	|- B = ( Base ` C )
pmatcollpw.m	|- .* = ( .s ` C )
pmatcollpw.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
pmatcollpw.x	|- X = (var1 ` R )
pmatcollpw.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
pmatcollpw3.a	|- A = ( N Mat R )
pmatcollpw3.d	|- D = ( Base ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.0	|- .0. = ( 0g ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.h	|- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw3fi1lem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   R, n   n, X   .^ , n   C, n   B, l   M, l   N, l   R, l   D, l, n   A, l   G, l, n

Allowed substitution hints:   A( n)   C( l)   P( l)   T( n, l)   .^ ( l)   H( n, l)   .* ( n, l)   X( l)   .0. ( n, l)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
2		pmatcollpw.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = (Poly1 ` R )
3		pmatcollpw.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( N Mat P )
4	2, 3	pmatring 19279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
5		ringmnd 17320	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Ring -> C e. Mnd )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Mnd )
7	6	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. Mnd )
8		pmatcollpw.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` C )
9		ringcmn 17342	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Ring -> C e. CMnd )
10	4, 9	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. CMnd )
11	10	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. CMnd )
12		snfi 7515	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } e. Fin )
14		simplll 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> N e. Fin )
15		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> R e. Ring )
16		elmapi 7359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> G : { 0 } --> D )
17	16	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> G : { 0 } --> D )
18	17	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
19		elsni 3969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 0 } -> n = 0 )
20		0nn0 10727	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
21	19, 20	syl6eqel 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. { 0 } -> n e. NN0 )
22	21	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. NN0 )
23		pmatcollpw3.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( N Mat R )
24		pmatcollpw3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( Base ` A )
25		pmatcollpw.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( N matToPolyMat R )
26		pmatcollpw.m	. . . . . . . . . . . 12 |- .* = ( .s ` C )
27		pmatcollpw.e	. . . . . . . . . . . 12 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
28		pmatcollpw.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = (var1 ` R )
29	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 19326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( G ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
30	14, 15, 18, 22, 29	syl22anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
31	30	ralrimiva 2796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> A. n e. { 0 } ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
32	8, 11, 13, 31	gsummptcl 17108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B )
33		eqid 2382	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
34		eqid 2382	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
35	8, 33, 34	mndrid 16059	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Mnd /\ ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
36	7, 32, 35	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
37		0z 10792	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
38		fzsn 11647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
40	39	eqcomi 2395	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0 )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } = ( 0 ... 0 ) )
42		pmatcollpw3fi1lem1.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
44		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = n )
45	19	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> n = 0 )
46	44, 45	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = 0 )
47	46	iftrued 3865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` 0 ) )
48		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> ( G ` n ) = ( G ` 0 ) )
49	48	eqcomd 2390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
50	19, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. { 0 } -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
51	50	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
52	47, 51	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` n ) )
53		1nn0 10728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> 1 e. NN0 )
55		nn0uz 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
56	54, 55	syl6eleq 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57		eluzfz1 11614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
59		eleq1 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 0 e. ( 0 ... 1 ) ) )
60	58, 59	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
61	19, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. { 0 } -> n e. ( 0 ... 1 ) )
62	61	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
63		ffvelrn 5931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : { 0 } --> D /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
64	63	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : { 0 } --> D -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
65	16, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
66	65	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
67	66	imp 427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
68	43, 52, 62, 67	fvmptd 5862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( H ` n ) = ( G ` n ) )
69	68	eqcomd 2390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) = ( H ` n ) )
70	69	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( T ` ( G ` n ) ) = ( T ` ( H ` n ) ) )
71	70	oveq2d 6212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
72	41, 71	mpteq12dva 4444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
73	72	oveq2d 6212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
74		ovex 6224	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) e. _V
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0 + 1 ) e. _V )
76	8, 34	mndidcl 16055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. Mnd -> ( 0g ` C ) e. B )
77	6, 76	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` C ) e. B )
78	77	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) e. B )
79	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
80		0p1e1 10564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 + 1 ) = 1
81	80	eqeq2i 2400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( 0 + 1 ) <-> n = 1 )
82		ax-1ne0 9472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 =/= 0
83	82	neii 2581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -. 1 = 0
84		eqeq1 2386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 1 -> ( n = 0 <-> 1 = 0 ) )
85	83, 84	mtbiri 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> -. n = 0 )
86	81, 85	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> -. n = 0 )
87	86	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. n = 0 )
88		eqeq1 2386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = n -> ( l = 0 <-> n = 0 ) )
89	88	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = n -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
90	89	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
91	87, 90	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. l = 0 )
92	91	iffalsed 3868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = .0. )
93		pmatcollpw3fi1lem1.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` A )
94	92, 93	syl6eq 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( 0g ` A ) )
95	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> 1 e. NN0 )
96	95, 55	syl6eleq 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 1 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
97		eluzfz2 11615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
98	96, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
99		eleq1 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 1 e. ( 0 ... 1 ) ) )
100	98, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
101	81, 100	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
102	101	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
103		fvex 5784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) e. _V
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V )
105	79, 94, 102, 104	fvmptd 5862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( H ` n ) = ( 0g ` A ) )
106	105	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( T ` ( 0g ` A ) ) )
107	23	fveq2i 5777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` ( N Mat R ) )
108	3	fveq2i 5777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` ( N Mat P ) )
109	25, 2, 107, 108	0mat2pmat 19322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
110	109	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
111	110	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
112	106, 111	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( 0g ` C ) )
113	112	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) )
114	2, 3	pmatlmod 19280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. LMod )
115	114	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> C e. LMod )
116		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> R e. Ring )
117		eleq1 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( n e. NN0 <-> 1 e. NN0 ) )
118	95, 117	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> n e. NN0 )
119	81, 118	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. NN0 )
120	119	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
121		eqid 2382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
122		eqid 2382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
123	2, 28, 121, 27, 122	ply1moncl 18425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
124	116, 120, 123	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
125	2	ply1ring 18402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
126	3	matsca2 19007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
127	125, 126	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
128	127	eqcomd 2390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (Scalar ` C ) = P )
129	128	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` P ) )
130	129	eleq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
131	130	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
132	124, 131	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
133		eqid 2382	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
134		eqid 2382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
135	133, 26, 134, 34	lmodvs0 17659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. LMod /\ ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
136	115, 132, 135	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
137	113, 136	eqtrd 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) )
138	8, 7, 75, 78, 137	gsumsnd 17093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( 0g ` C ) )
139	138	eqcomd 2390	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) = ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
140	73, 139	oveq12d 6214	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
141	36, 140	eqtr3d 2425	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
142	141	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
143	1, 142	eqtrd 2423	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
144	143	3impa 1189	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
145	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> 0 e. NN0 )
146		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> N e. Fin )
147		simpllr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> R e. Ring )
148		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> G : { 0 } --> D )
149		c0ex 9501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
150	149	snid 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. { 0 }
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> 0 e. { 0 } )
152	148, 151	ffvelrnd 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : { 0 } --> D -> ( G ` 0 ) e. D )
153	16, 152	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( G ` 0 ) e. D )
154	153	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( G ` 0 ) e. D )
155	23	matring 19030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
156	24, 93	ring0cl 17333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Ring -> .0. e. D )
157	155, 156	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. D )
158	157	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> .0. e. D )
159	154, 158	ifcld 3900	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) e. D )
160	159, 42	fmptd 5957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
161	80	oveq2i 6207	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
162	161	feq2i 5632	. . . . . . . 8 |- ( H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D <-> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
163	160, 162	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D )
164	163	ffvelrnda 5933	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( H ` n ) e. D )
165		elfznn0 11693	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
166	165	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
167	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 19326	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( H ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
168	146, 147, 164, 166, 167	syl22anc 1227	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
169	8, 33, 11, 145, 168	gsummptfzsplit 17068	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
170	169	3adant3 1014	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
171	144, 170	eqtr4d 2426	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
172		mpteq1 4447	. . . 4 |- ( ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 ) -> ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
173	161, 172	ax-mp 5	. . 3 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
174	173	oveq2i 6207	. 2 |- ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
175	171, 174	syl6eq 2439	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   _Vcvv 3034   ifcif 3857   {csn 3944   |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ^m cmap 7338   Fincfn 7435   0cc0 9403   1c1 9404   + caddc 9406   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593   Basecbs 14634   +g cplusg 14702  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847   gsum_g cgsu 14848   Mndcmnd 16036  ._gcmg 16173  CMndccmn 16915  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311   LModclmod 17625  var₁cv1 18328  Poly₁cpl1 18329   Mat cmat 18994   matToPolyMat cmat2pmat 19290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-ascl 18076  df-psr 18118  df-mvr 18119  df-mpl 18120  df-opsr 18122  df-psr1 18332  df-vr1 18333  df-ply1 18334  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mamu 18971  df-mat 18995  df-mat2pmat 19293

This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  19373