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Theorem pmatcollpw3fi1lem1 19372
Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 19374. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.m  |-  .*  =  ( .s `  C )
pmatcollpw.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
pmatcollpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
pmatcollpw.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
pmatcollpw3.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
pmatcollpw3.d  |-  D  =  ( Base `  A
)
pmatcollpw3fi1lem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
pmatcollpw3fi1lem1.h  |-  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1lem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    R, n    n, X    .^ , n    C, n    B, l    M, l    N, l    R, l    D, l, n    A, l    G, l, n
Allowed substitution hints:    A( n)    C( l)    P( l)    T( n, l)    .^ ( l)    H( n, l)    .* ( n, l)    X( l)    .0. ( n, l)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )
2 pmatcollpw.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 pmatcollpw.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( N Mat  P )
42, 3pmatring 19279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
5 ringmnd 17320 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Mnd )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Mnd )
76adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  C  e.  Mnd )
8 pmatcollpw.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  C
)
9 ringcmn 17342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. CMnd
)
104, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e. CMnd )
1110adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  C  e. CMnd )
12 snfi 7515 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  { 0 }  e.  Fin )
14 simplll 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  N  e.  Fin )
15 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  R  e.  Ring )
16 elmapi 7359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  ->  G : { 0 } --> D )
1716adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  G : { 0 } --> D )
1817ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  e.  D )
19 elsni 3969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  =  0 )
20 0nn0 10727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
2119, 20syl6eqel 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  e.  NN0 )
2221adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  n  e.  NN0 )
23 pmatcollpw3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( N Mat  R )
24 pmatcollpw3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( Base `  A
)
25 pmatcollpw.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
26 pmatcollpw.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .*  =  ( .s `  C )
27 pmatcollpw.e . . . . . . . . . . . 12  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
28 pmatcollpw.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  (var1 `  R )
2923, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 19326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( G `  n )  e.  D  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( G `  n ) ) )  e.  B )
3014, 15, 18, 22, 29syl22anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) )  e.  B )
3130ralrimiva 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  A. n  e.  { 0 }  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( G `  n ) ) )  e.  B )
328, 11, 13, 31gsummptcl 17108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  e.  B )
33 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
34 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
358, 33, 34mndrid 16059 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Mnd  /\  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  e.  B )  -> 
( ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( 0g
`  C ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) ) ) ) )
367, 32, 35syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( 0g `  C ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )
37 0z 10792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
38 fzsn 11647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
4039eqcomi 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0 ... 0 )
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  { 0 }  =  ( 0 ... 0 ) )
42 pmatcollpw3fi1lem1.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1
)  |->  if ( l  =  0 ,  ( G `  0 ) ,  .0.  ) ) )
44 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  l  =  n )
4519ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  n  =  0 )
4644, 45eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  l  =  0 )
4746iftrued 3865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  )  =  ( G `  0 ) )
48 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
0 ) )
4948eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  0 )  =  ( G `  n ) )
5019, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  ( G ` 
0 )  =  ( G `  n ) )
5150ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  ( G `  0
)  =  ( G `
 n ) )
5247, 51eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  )  =  ( G `  n ) )
53 1nn0 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  NN0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  0  ->  1  e.  NN0 )
55 nn0uz 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5654, 55syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
57 eluzfz1 11614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 1
) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  0  e.  ( 0 ... 1
) )
59 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
n  e.  ( 0 ... 1 )  <->  0  e.  ( 0 ... 1
) ) )
6058, 59mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
6119, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  e.  ( 0 ... 1 ) )
6261adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  n  e.  ( 0 ... 1 ) )
63 ffvelrn 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : { 0 } --> D  /\  n  e.  { 0 } )  ->  ( G `  n )  e.  D
)
6463ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  ( n  e.  { 0 }  ->  ( G `  n )  e.  D ) )
6516, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  -> 
( n  e.  {
0 }  ->  ( G `  n )  e.  D ) )
6665adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
n  e.  { 0 }  ->  ( G `  n )  e.  D
) )
6766imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  e.  D )
6843, 52, 62, 67fvmptd 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( H `  n
)  =  ( G `
 n ) )
6968eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  =  ( H `
 n ) )
7069fveq2d 5778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( T `  ( G `  n )
)  =  ( T `
 ( H `  n ) ) )
7170oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) )  =  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) )
7241, 71mpteq12dva 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
n  e.  { 0 }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )
7372oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) )
74 ovex 6224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  e. 
_V
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
0  +  1 )  e.  _V )
768, 34mndidcl 16055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  Mnd  ->  ( 0g `  C )  e.  B )
776, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  C
)  e.  B )
7877adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( 0g `  C )  e.  B )
7942a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) ) )
80 0p1e1 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8180eqeq2i 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  <->  n  = 
1 )
82 ax-1ne0 9472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =/=  0
8382neii 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  1  =  0
84 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  0  <->  1  =  0 ) )
8583, 84mtbiri 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  =  0 )
8681, 85sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  -.  n  =  0 )
8786ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  -.  n  =  0 )
88 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  n  ->  (
l  =  0  <->  n  =  0 ) )
8988notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  n  ->  ( -.  l  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
9089adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  ( -.  l  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
9187, 90mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  -.  l  =  0 )
9291iffalsed 3868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G ` 
0 ) ,  .0.  )  =  .0.  )
93 pmatcollpw3fi1lem1.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
9492, 93syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G ` 
0 ) ,  .0.  )  =  ( 0g `  A ) )
9553a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  NN0 )
9695, 55syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
97 eluzfz2 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  1  e.  ( 0 ... 1
) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ( 0 ... 1
) )
99 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  ( 0 ... 1 )  <->  1  e.  ( 0 ... 1
) ) )
10098, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
10181, 100sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
102101adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
103 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( 0g `  A )  e.  _V )
10579, 94, 102, 104fvmptd 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( H `  n )  =  ( 0g `  A ) )
106105fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( H `  n
) )  =  ( T `  ( 0g
`  A ) ) )
10723fveq2i 5777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  ( N Mat  R ) )
1083fveq2i 5777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  ( N Mat  P ) )
10925, 2, 107, 1080mat2pmat 19322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( T `  ( 0g `  A ) )  =  ( 0g `  C
) )
110109ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( T `  ( 0g `  A ) )  =  ( 0g `  C ) )
111110ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( 0g `  A
) )  =  ( 0g `  C ) )
112106, 111eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( H `  n
) )  =  ( 0g `  C ) )
113112oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  =  ( ( n  .^  X
)  .*  ( 0g
`  C ) ) )
1142, 3pmatlmod 19280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  LMod )
115114ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  C  e.  LMod )
116 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  R  e.  Ring )
117 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  NN0  <->  1  e.  NN0 ) )
11895, 117mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  NN0 )
11981, 118sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  n  e.  NN0 )
120119adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
121 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
122 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1232, 28, 121, 27, 122ply1moncl 18425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
124116, 120, 123syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
1252ply1ring 18402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
1263matsca2 19007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  P  =  (Scalar `  C
) )
127125, 126sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  P  =  (Scalar `  C
) )
128127eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  C )  =  P )
129128fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  (Scalar `  C
) )  =  (
Base `  P )
)
130129eleq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( n  .^  X )  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) )  <->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
) )
131130ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) )  <->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
) )
132124, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) )
133 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
134 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
135133, 26, 134, 34lmodvs0 17659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
n  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )  ->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( 0g `  C
) )  =  ( 0g `  C ) )
136115, 132, 135syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( 0g `  C
) )  =  ( 0g `  C ) )
137113, 136eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  =  ( 0g `  C ) )
1388, 7, 75, 78, 137gsumsnd 17093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
139138eqcomd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( 0g `  C )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) )
14073, 139oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( 0g `  C ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
14136, 140eqtr3d 2425 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
142141adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
1431, 142eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
1441433impa 1189 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
14520a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  0  e.  NN0 )
146 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  N  e.  Fin )
147 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  R  e.  Ring )
148 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  G : { 0 } --> D )
149 c0ex 9501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
150149snid 3972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  { 0 }
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  0  e.  { 0 } )
152148, 151ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  ( G `  0 )  e.  D )
15316, 152syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  -> 
( G `  0
)  e.  D )
154153ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  ( G `  0 )  e.  D )
15523matring 19030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
15624, 93ring0cl 17333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Ring  ->  .0.  e.  D )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .0.  e.  D )
158157ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  .0.  e.  D )
159154, 158ifcld 3900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  if (
l  =  0 ,  ( G `  0
) ,  .0.  )  e.  D )
160159, 42fmptd 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  H : ( 0 ... 1 ) --> D )
16180oveq2i 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
162161feq2i 5632 . . . . . . . 8  |-  ( H : ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) --> D  <->  H :
( 0 ... 1
) --> D )
163160, 162sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  H : ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) --> D )
164163ffvelrnda 5933 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( H `  n )  e.  D
)
165 elfznn0 11693 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
166165adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
16723, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 19326 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( H `  n )  e.  D  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) )  e.  B )
168146, 147, 164, 166, 167syl22anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  e.  B
)
1698, 33, 11, 145, 168gsummptfzsplit 17068 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
1701693adant3 1014 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
171144, 170eqtr4d 2426 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
172 mpteq1 4447 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 1 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) )
173161, 172ax-mp 5 . . 3  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) )
174173oveq2i 6207 . 2  |-  ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )
175171, 174syl6eq 2439 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   ifcif 3857   {csn 3944    |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593   Basecbs 14634   +g cplusg 14702  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036  .gcmg 16173  CMndccmn 16915  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311   LModclmod 17625  var1cv1 18328  Poly1cpl1 18329   Mat cmat 18994   matToPolyMat cmat2pmat 19290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-ascl 18076  df-psr 18118  df-mvr 18119  df-mpl 18120  df-opsr 18122  df-psr1 18332  df-vr1 18333  df-ply1 18334  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mamu 18971  df-mat 18995  df-mat2pmat 19293
This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  19373
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