Theorem pmatcollpw3fi1lem1 19157

Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 19159. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw.p	|- P = (Poly1 ` R )
pmatcollpw.c	|- C = ( N Mat P )
pmatcollpw.b	|- B = ( Base ` C )
pmatcollpw.m	|- .* = ( .s ` C )
pmatcollpw.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
pmatcollpw.x	|- X = (var1 ` R )
pmatcollpw.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
pmatcollpw3.a	|- A = ( N Mat R )
pmatcollpw3.d	|- D = ( Base ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.0	|- .0. = ( 0g ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.h	|- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw3fi1lem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   R, n   n, X   .^ , n   C, n   B, l   M, l   N, l   R, l   D, l, n   A, l   G, l, n

Allowed substitution hints:   A( n)   C( l)   P( l)   T( n, l)   .^ ( l)   H( n, l)   .* ( n, l)   X( l)   .0. ( n, l)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
2		pmatcollpw.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = (Poly1 ` R )
3		pmatcollpw.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( N Mat P )
4	2, 3	pmatring 19064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
5		ringmnd 17078	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Ring -> C e. Mnd )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Mnd )
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. Mnd )
8		pmatcollpw.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` C )
9		ringcmn 17100	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Ring -> C e. CMnd )
10	4, 9	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. CMnd )
11	10	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. CMnd )
12		snfi 7595	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } e. Fin )
14		simplll 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> N e. Fin )
15		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> R e. Ring )
16		elmapi 7439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> G : { 0 } --> D )
17	16	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> G : { 0 } --> D )
18	17	ffvelrnda 6013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
19		elsni 4036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 0 } -> n = 0 )
20		0nn0 10813	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
21	19, 20	syl6eqel 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. { 0 } -> n e. NN0 )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. NN0 )
23		pmatcollpw3.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( N Mat R )
24		pmatcollpw3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( Base ` A )
25		pmatcollpw.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( N matToPolyMat R )
26		pmatcollpw.m	. . . . . . . . . . . 12 |- .* = ( .s ` C )
27		pmatcollpw.e	. . . . . . . . . . . 12 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
28		pmatcollpw.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = (var1 ` R )
29	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 19111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( G ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
30	14, 15, 18, 22, 29	syl22anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
31	30	ralrimiva 2855	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> A. n e. { 0 } ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
32	8, 11, 13, 31	gsummptcl 16865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B )
33		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
34		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
35	8, 33, 34	mndrid 15813	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Mnd /\ ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
36	7, 32, 35	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
37		0z 10878	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
38		fzsn 11731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
40	39	eqcomi 2454	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0 )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } = ( 0 ... 0 ) )
42		pmatcollpw3fi1lem1.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
44		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = n )
45	19	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> n = 0 )
46	44, 45	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = 0 )
47	46	iftrued 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` 0 ) )
48		fveq2 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> ( G ` n ) = ( G ` 0 ) )
49	48	eqcomd 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
50	19, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. { 0 } -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
51	50	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
52	47, 51	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` n ) )
53		1nn0 10814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> 1 e. NN0 )
55		nn0uz 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
56	54, 55	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57		eluzfz1 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
59		eleq1 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 0 e. ( 0 ... 1 ) ) )
60	58, 59	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
61	19, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. { 0 } -> n e. ( 0 ... 1 ) )
62	61	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
63		ffvelrn 6011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : { 0 } --> D /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
64	63	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : { 0 } --> D -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
65	16, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
66	65	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
67	66	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
68	43, 52, 62, 67	fvmptd 5943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( H ` n ) = ( G ` n ) )
69	68	eqcomd 2449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) = ( H ` n ) )
70	69	fveq2d 5857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( T ` ( G ` n ) ) = ( T ` ( H ` n ) ) )
71	70	oveq2d 6294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
72	41, 71	mpteq12dva 4511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
73	72	oveq2d 6294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
74		ovex 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) e. _V
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0 + 1 ) e. _V )
76	8, 34	mndidcl 15809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. Mnd -> ( 0g ` C ) e. B )
77	6, 76	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` C ) e. B )
78	77	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) e. B )
79	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
80		0p1e1 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 + 1 ) = 1
81	80	eqeq2i 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( 0 + 1 ) <-> n = 1 )
82		ax-1ne0 9561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 =/= 0
83	82	neii 2640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -. 1 = 0
84		eqeq1 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 1 -> ( n = 0 <-> 1 = 0 ) )
85	83, 84	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> -. n = 0 )
86	81, 85	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> -. n = 0 )
87	86	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. n = 0 )
88		eqeq1 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = n -> ( l = 0 <-> n = 0 ) )
89	88	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = n -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
90	89	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
91	87, 90	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. l = 0 )
92	91	iffalsed 3934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = .0. )
93		pmatcollpw3fi1lem1.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` A )
94	92, 93	syl6eq 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( 0g ` A ) )
95	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> 1 e. NN0 )
96	95, 55	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 1 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
97		eluzfz2 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
98	96, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
99		eleq1 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 1 e. ( 0 ... 1 ) ) )
100	98, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
101	81, 100	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
102	101	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
103		fvex 5863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) e. _V
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V )
105	79, 94, 102, 104	fvmptd 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( H ` n ) = ( 0g ` A ) )
106	105	fveq2d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( T ` ( 0g ` A ) ) )
107	23	fveq2i 5856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` ( N Mat R ) )
108	3	fveq2i 5856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` ( N Mat P ) )
109	25, 2, 107, 108	0mat2pmat 19107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
110	109	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
111	110	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
112	106, 111	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( 0g ` C ) )
113	112	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) )
114	2, 3	pmatlmod 19065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. LMod )
115	114	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> C e. LMod )
116		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> R e. Ring )
117		eleq1 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( n e. NN0 <-> 1 e. NN0 ) )
118	95, 117	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> n e. NN0 )
119	81, 118	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. NN0 )
120	119	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
121		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
122		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
123	2, 28, 121, 27, 122	ply1moncl 18183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
124	116, 120, 123	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
125	2	ply1ring 18160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
126	3	matsca2 18792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
127	125, 126	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
128	127	eqcomd 2449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (Scalar ` C ) = P )
129	128	fveq2d 5857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` P ) )
130	129	eleq2d 2511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
131	130	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
132	124, 131	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
133		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
134		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
135	133, 26, 134, 34	lmodvs0 17417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. LMod /\ ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
136	115, 132, 135	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
137	113, 136	eqtrd 2482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) )
138	8, 7, 75, 78, 137	gsumsnd 16850	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( 0g ` C ) )
139	138	eqcomd 2449	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) = ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
140	73, 139	oveq12d 6296	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
141	36, 140	eqtr3d 2484	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
142	141	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
143	1, 142	eqtrd 2482	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
144	143	3impa 1190	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
145	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> 0 e. NN0 )
146		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> N e. Fin )
147		simpllr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> R e. Ring )
148		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> G : { 0 } --> D )
149		c0ex 9590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
150	149	snid 4039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. { 0 }
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> 0 e. { 0 } )
152	148, 151	ffvelrnd 6014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : { 0 } --> D -> ( G ` 0 ) e. D )
153	16, 152	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( G ` 0 ) e. D )
154	153	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( G ` 0 ) e. D )
155	23	matring 18815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
156	24, 93	ring0cl 17091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Ring -> .0. e. D )
157	155, 156	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. D )
158	157	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> .0. e. D )
159	154, 158	ifcld 3966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) e. D )
160	159, 42	fmptd 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
161	80	oveq2i 6289	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
162	161	feq2i 5711	. . . . . . . 8 |- ( H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D <-> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
163	160, 162	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D )
164	163	ffvelrnda 6013	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( H ` n ) e. D )
165		elfznn0 11776	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
166	165	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
167	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 19111	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( H ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
168	146, 147, 164, 166, 167	syl22anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
169	8, 33, 11, 145, 168	gsummptfzsplit 16823	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
170	169	3adant3 1015	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
171	144, 170	eqtr4d 2485	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
172		mpteq1 4514	. . . 4 |- ( ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 ) -> ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
173	161, 172	ax-mp 5	. . 3 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
174	173	oveq2i 6289	. 2 |- ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
175	171, 174	syl6eq 2498	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   _Vcvv 3093   ifcif 3923   {csn 4011   |-> cmpt 4492   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   ^m cmap 7419   Fincfn 7515   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   NN0cn0 10798   ZZcz 10867   ZZ>=cuz 11087   ...cfz 11678   Basecbs 14506   +g cplusg 14571  Scalarcsca 14574   .scvsca 14575   0gc0g 14711   gsum_g cgsu 14712   Mndcmnd 15790  ._gcmg 15927  CMndccmn 16669  mulGrpcmgp 17012   Ringcrg 17069   LModclmod 17383  var₁cv1 18086  Poly₁cpl1 18087   Mat cmat 18779   matToPolyMat cmat2pmat 19075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-ot 4020  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-hash 12382  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-prds 14719  df-pws 14721  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-mhm 15837  df-submnd 15838  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-ascl 17834  df-psr 17876  df-mvr 17877  df-mpl 17878  df-opsr 17880  df-psr1 18090  df-vr1 18091  df-ply1 18092  df-dsmm 18633  df-frlm 18648  df-mamu 18756  df-mat 18780  df-mat2pmat 19078

This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  19158