Theorem pmatcollpw3fi1lem1 19156

Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 19158. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw.p	|- P = (Poly1 ` R )
pmatcollpw.c	|- C = ( N Mat P )
pmatcollpw.b	|- B = ( Base ` C )
pmatcollpw.m	|- .* = ( .s ` C )
pmatcollpw.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
pmatcollpw.x	|- X = (var1 ` R )
pmatcollpw.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
pmatcollpw3.a	|- A = ( N Mat R )
pmatcollpw3.d	|- D = ( Base ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.0	|- .0. = ( 0g ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.h	|- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw3fi1lem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   R, n   n, X   .^ , n   C, n   B, l   M, l   N, l   R, l   D, l, n   A, l   G, l, n

Allowed substitution hints:   A( n)   C( l)   P( l)   T( n, l)   .^ ( l)   H( n, l)   .* ( n, l)   X( l)   .0. ( n, l)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
2		pmatcollpw.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = (Poly1 ` R )
3		pmatcollpw.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( N Mat P )
4	2, 3	pmatring 19063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
5		ringmnd 17079	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Ring -> C e. Mnd )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Mnd )
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. Mnd )
8		pmatcollpw.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` C )
9		ringcmn 17101	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Ring -> C e. CMnd )
10	4, 9	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. CMnd )
11	10	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. CMnd )
12		snfi 7608	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } e. Fin )
14		simplll 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> N e. Fin )
15		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> R e. Ring )
16		elmapi 7452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> G : { 0 } --> D )
17	16	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> G : { 0 } --> D )
18	17	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
19		elsni 4058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 0 } -> n = 0 )
20		0nn0 10822	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
21	19, 20	syl6eqel 2563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. { 0 } -> n e. NN0 )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. NN0 )
23		pmatcollpw3.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( N Mat R )
24		pmatcollpw3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( Base ` A )
25		pmatcollpw.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( N matToPolyMat R )
26		pmatcollpw.m	. . . . . . . . . . . 12 |- .* = ( .s ` C )
27		pmatcollpw.e	. . . . . . . . . . . 12 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
28		pmatcollpw.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = (var1 ` R )
29	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 19110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( G ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
30	14, 15, 18, 22, 29	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
31	30	ralrimiva 2881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> A. n e. { 0 } ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
32	8, 11, 13, 31	gsummptcl 16867	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B )
33		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
34		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
35	8, 33, 34	mndrid 15815	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Mnd /\ ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
36	7, 32, 35	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
37		0z 10887	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
38		fzsn 11737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
40	39	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0 )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } = ( 0 ... 0 ) )
42		pmatcollpw3fi1lem1.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
44		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = n )
45	19	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> n = 0 )
46	44, 45	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = 0 )
47		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = 0 -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` 0 ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` 0 ) )
49		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> ( G ` n ) = ( G ` 0 ) )
50	49	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
51	19, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. { 0 } -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
52	51	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
53	48, 52	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` n ) )
54		1nn0 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> 1 e. NN0 )
56		nn0uz 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
57	55, 56	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
58		eluzfz1 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
60		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 0 e. ( 0 ... 1 ) ) )
61	59, 60	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
62	19, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. { 0 } -> n e. ( 0 ... 1 ) )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
64		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : { 0 } --> D /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : { 0 } --> D -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
66	16, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
67	66	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
68	67	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
69	43, 53, 63, 68	fvmptd 5962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( H ` n ) = ( G ` n ) )
70	69	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) = ( H ` n ) )
71	70	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( T ` ( G ` n ) ) = ( T ` ( H ` n ) ) )
72	71	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
73	41, 72	mpteq12dva 4530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
74	73	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
75		ovex 6320	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) e. _V
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0 + 1 ) e. _V )
77	8, 34	mndidcl 15811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. Mnd -> ( 0g ` C ) e. B )
78	6, 77	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` C ) e. B )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) e. B )
80	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
81		0p1e1 10659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 + 1 ) = 1
82	81	eqeq2i 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( 0 + 1 ) <-> n = 1 )
83		ax-1ne0 9573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 =/= 0
84	83	neii 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -. 1 = 0
85		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 1 -> ( n = 0 <-> 1 = 0 ) )
86	84, 85	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> -. n = 0 )
87	82, 86	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> -. n = 0 )
88	87	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. n = 0 )
89		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = n -> ( l = 0 <-> n = 0 ) )
90	89	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = n -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
92	88, 91	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. l = 0 )
93		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. l = 0 -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = .0. )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = .0. )
95		pmatcollpw3fi1lem1.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` A )
96	94, 95	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( 0g ` A ) )
97	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> 1 e. NN0 )
98	97, 56	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 1 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
99		eluzfz2 11706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
100	98, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
101		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 1 e. ( 0 ... 1 ) ) )
102	100, 101	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
103	82, 102	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
104	103	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
105		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) e. _V
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V )
107	80, 96, 104, 106	fvmptd 5962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( H ` n ) = ( 0g ` A ) )
108	107	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( T ` ( 0g ` A ) ) )
109	23	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` ( N Mat R ) )
110	3	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` ( N Mat P ) )
111	25, 2, 109, 110	0mat2pmat 19106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
112	111	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
113	112	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
114	108, 113	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( 0g ` C ) )
115	114	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) )
116	2, 3	pmatlmod 19064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. LMod )
117	116	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> C e. LMod )
118		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> R e. Ring )
119		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( n e. NN0 <-> 1 e. NN0 ) )
120	97, 119	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> n e. NN0 )
121	82, 120	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. NN0 )
122	121	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
123		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
124		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
125	2, 28, 123, 27, 124	ply1moncl 18182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
126	118, 122, 125	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
127	2	ply1ring 18159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
128	3	matsca2 18791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
129	127, 128	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
130	129	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (Scalar ` C ) = P )
131	130	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` P ) )
132	131	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
133	132	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
134	126, 133	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
135		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
136		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
137	135, 26, 136, 34	lmodvs0 17417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. LMod /\ ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
138	117, 134, 137	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
139	115, 138	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) )
140	8, 7, 76, 79, 139	gsumsnd 16852	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( 0g ` C ) )
141	140	eqcomd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) = ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
142	74, 141	oveq12d 6313	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
143	36, 142	eqtr3d 2510	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
144	143	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
145	1, 144	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
146	145	3impa 1191	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
147	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> 0 e. NN0 )
148		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> N e. Fin )
149		simpllr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> R e. Ring )
150		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> G : { 0 } --> D )
151		c0ex 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
152	151	snid 4061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. { 0 }
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> 0 e. { 0 } )
154	150, 153	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : { 0 } --> D -> ( G ` 0 ) e. D )
155	16, 154	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( G ` 0 ) e. D )
156	155	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( G ` 0 ) e. D )
157	23	matring 18814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
158	24, 95	ring0cl 17092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Ring -> .0. e. D )
159	157, 158	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. D )
160	159	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> .0. e. D )
161	156, 160	ifcld 3988	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) e. D )
162	161, 42	fmptd 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
163	81	oveq2i 6306	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
164	163	feq2i 5730	. . . . . . . 8 |- ( H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D <-> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
165	162, 164	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D )
166	165	ffvelrnda 6032	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( H ` n ) e. D )
167		elfznn0 11782	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
168	167	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
169	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 19110	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( H ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
170	148, 149, 166, 168, 169	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
171	8, 33, 11, 147, 170	gsummptfzsplit 16825	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
172	171	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
173	146, 172	eqtr4d 2511	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
174		mpteq1 4533	. . . 4 |- ( ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 ) -> ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
175	163, 174	ax-mp 5	. . 3 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
176	175	oveq2i 6306	. 2 |- ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
177	173, 176	syl6eq 2524	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3118   ifcif 3945   {csn 4033   |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ^m cmap 7432   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   gsum_g cgsu 14713   Mndcmnd 15793  ._gcmg 15928  CMndccmn 16671  mulGrpcmgp 17013   Ringcrg 17070   LModclmod 17383  var₁cv1 18085  Poly₁cpl1 18086   Mat cmat 18778   matToPolyMat cmat2pmat 19074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-ascl 17833  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-psr1 18089  df-vr1 18090  df-ply1 18091  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mamu 18755  df-mat 18779  df-mat2pmat 19077

This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  19157