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Theorem pmatcollpw3fi1lem1 19887
Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 19889. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.m  |-  .*  =  ( .s `  C )
pmatcollpw.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
pmatcollpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
pmatcollpw.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
pmatcollpw3.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
pmatcollpw3.d  |-  D  =  ( Base `  A
)
pmatcollpw3fi1lem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
pmatcollpw3fi1lem1.h  |-  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1lem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    R, n    n, X    .^ , n    C, n    B, l    M, l    N, l    R, l    D, l, n    A, l    G, l, n
Allowed substitution hints:    A( n)    C( l)    P( l)    T( n, l)    .^ ( l)    H( n, l)    .* ( n, l)    X( l)    .0. ( n, l)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )
2 pmatcollpw.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 pmatcollpw.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( N Mat  P )
42, 3pmatring 19794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
5 ringmnd 17867 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Mnd )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Mnd )
76adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  C  e.  Mnd )
8 pmatcollpw.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  C
)
9 ringcmn 17889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. CMnd
)
104, 9syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e. CMnd )
1110adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  C  e. CMnd )
12 snfi 7668 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  { 0 }  e.  Fin )
14 simplll 776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  N  e.  Fin )
15 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  R  e.  Ring )
16 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  ->  G : { 0 } --> D )
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  G : { 0 } --> D )
1817ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  e.  D )
19 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  =  0 )
20 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
2119, 20syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  e.  NN0 )
2221adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  n  e.  NN0 )
23 pmatcollpw3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( N Mat  R )
24 pmatcollpw3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( Base `  A
)
25 pmatcollpw.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
26 pmatcollpw.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .*  =  ( .s `  C )
27 pmatcollpw.e . . . . . . . . . . . 12  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
28 pmatcollpw.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  (var1 `  R )
2923, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 19841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( G `  n )  e.  D  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( G `  n ) ) )  e.  B )
3014, 15, 18, 22, 29syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) )  e.  B )
3130ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  A. n  e.  { 0 }  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( G `  n ) ) )  e.  B )
328, 11, 13, 31gsummptcl 17677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  e.  B )
33 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
34 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
358, 33, 34mndrid 16636 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Mnd  /\  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  e.  B )  -> 
( ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( 0g
`  C ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) ) ) ) )
367, 32, 35syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( 0g `  C ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )
37 0z 10972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
38 fzsn 11866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
4039eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0 ... 0 )
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  { 0 }  =  ( 0 ... 0 ) )
42 pmatcollpw3fi1lem1.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1
)  |->  if ( l  =  0 ,  ( G `  0 ) ,  .0.  ) ) )
44 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  l  =  n )
4519ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  n  =  0 )
4644, 45eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  l  =  0 )
4746iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  )  =  ( G `  0 ) )
48 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
0 ) )
4948eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  0 )  =  ( G `  n ) )
5019, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  ( G ` 
0 )  =  ( G `  n ) )
5150ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  ( G `  0
)  =  ( G `
 n ) )
5247, 51eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  )  =  ( G `  n ) )
53 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  NN0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  0  ->  1  e.  NN0 )
55 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5654, 55syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
57 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 1
) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  0  e.  ( 0 ... 1
) )
59 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
n  e.  ( 0 ... 1 )  <->  0  e.  ( 0 ... 1
) ) )
6058, 59mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
6119, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  { 0 }  ->  n  e.  ( 0 ... 1 ) )
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  ->  n  e.  ( 0 ... 1 ) )
63 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : { 0 } --> D  /\  n  e.  { 0 } )  ->  ( G `  n )  e.  D
)
6463ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  ( n  e.  { 0 }  ->  ( G `  n )  e.  D ) )
6516, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  -> 
( n  e.  {
0 }  ->  ( G `  n )  e.  D ) )
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
n  e.  { 0 }  ->  ( G `  n )  e.  D
) )
6766imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  e.  D )
6843, 52, 62, 67fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( H `  n
)  =  ( G `
 n ) )
6968eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( G `  n
)  =  ( H `
 n ) )
7069fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( T `  ( G `  n )
)  =  ( T `
 ( H `  n ) ) )
7170oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  {
0 } )  -> 
( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n ) ) )  =  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) )
7241, 71mpteq12dva 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
n  e.  { 0 }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )
7372oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) )
74 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  e. 
_V
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
0  +  1 )  e.  _V )
768, 34mndidcl 16632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  Mnd  ->  ( 0g `  C )  e.  B )
776, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  C
)  e.  B )
7877adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( 0g `  C )  e.  B )
7942a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  H  =  ( l  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  if ( l  =  0 ,  ( G `
 0 ) ,  .0.  ) ) )
80 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8180eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  <->  n  = 
1 )
82 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =/=  0
8382neii 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  1  =  0
84 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  0  <->  1  =  0 ) )
8583, 84mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  =  0 )
8681, 85sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  -.  n  =  0 )
8786ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  -.  n  =  0 )
88 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  n  ->  (
l  =  0  <->  n  =  0 ) )
8988notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  n  ->  ( -.  l  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  ( -.  l  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
9187, 90mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  -.  l  =  0 )
9291iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G ` 
0 ) ,  .0.  )  =  .0.  )
93 pmatcollpw3fi1lem1.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
9492, 93syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  /\  l  =  n )  ->  if ( l  =  0 ,  ( G ` 
0 ) ,  .0.  )  =  ( 0g `  A ) )
9553a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  NN0 )
9695, 55syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
97 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  1  e.  ( 0 ... 1
) )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ( 0 ... 1
) )
99 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  ( 0 ... 1 )  <->  1  e.  ( 0 ... 1
) ) )
10098, 99mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
10181, 100sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
102101adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  ( 0 ... 1
) )
103 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( 0g `  A )  e.  _V )
10579, 94, 102, 104fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( H `  n )  =  ( 0g `  A ) )
106105fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( H `  n
) )  =  ( T `  ( 0g
`  A ) ) )
10723fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  ( N Mat  R ) )
1083fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  ( N Mat  P ) )
10925, 2, 107, 1080mat2pmat 19837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( T `  ( 0g `  A ) )  =  ( 0g `  C
) )
110109ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( T `  ( 0g `  A ) )  =  ( 0g `  C ) )
111110ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( 0g `  A
) )  =  ( 0g `  C ) )
112106, 111eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( T `  ( H `  n
) )  =  ( 0g `  C ) )
113112oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  =  ( ( n  .^  X
)  .*  ( 0g
`  C ) ) )
1142, 3pmatlmod 19795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  LMod )
115114ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  C  e.  LMod )
116 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  R  e.  Ring )
117 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  NN0  <->  1  e.  NN0 ) )
11895, 117mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  NN0 )
11981, 118sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 0  +  1 )  ->  n  e.  NN0 )
120119adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
121 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
122 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1232, 28, 121, 27, 122ply1moncl 18941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
124116, 120, 123syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
1252ply1ring 18918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
1263matsca2 19522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  P  =  (Scalar `  C
) )
127125, 126sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  P  =  (Scalar `  C
) )
128127eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  C )  =  P )
129128fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  (Scalar `  C
) )  =  (
Base `  P )
)
130129eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( n  .^  X )  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) )  <->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
) )
131130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) )  <->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
) )
132124, 131mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) )
133 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
134 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
135133, 26, 134, 34lmodvs0 18203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
n  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )  ->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( 0g `  C
) )  =  ( 0g `  C ) )
136115, 132, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( 0g `  C
) )  =  ( 0g `  C ) )
137113, 136eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  =  ( 0  +  1 ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  =  ( 0g `  C ) )
1388, 7, 75, 78, 137gsumsnd 17663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
139138eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( 0g `  C )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) )
14073, 139oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  (
( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( 0g `  C ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
14136, 140eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
142141adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  { 0 }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) )  =  ( ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
1431, 142eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
1441433impa 1226 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ( +g  `  C
) ( C  gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) } 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ) )
14520a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  0  e.  NN0 )
146 simplll 776 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  N  e.  Fin )
147 simpllr 777 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  R  e.  Ring )
148 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  G : { 0 } --> D )
149 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
150149snid 3988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  { 0 }
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  0  e.  { 0 } )
152148, 151ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : { 0 } --> D  ->  ( G `  0 )  e.  D )
15316, 152syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  -> 
( G `  0
)  e.  D )
154153ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  ( G `  0 )  e.  D )
15523matring 19545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
15624, 93ring0cl 17880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Ring  ->  .0.  e.  D )
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .0.  e.  D )
158157ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  .0.  e.  D )
159154, 158ifcld 3915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  l  e.  ( 0 ... 1 ) )  ->  if (
l  =  0 ,  ( G `  0
) ,  .0.  )  e.  D )
160159, 42fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  H : ( 0 ... 1 ) --> D )
16180oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
162161feq2i 5731 . . . . . . . 8  |-  ( H : ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) --> D  <->  H :
( 0 ... 1
) --> D )
163160, 162sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  H : ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) --> D )
164163ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( H `  n )  e.  D
)
165 elfznn0 11913 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
166165adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
16723, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 19841 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( H `  n )  e.  D  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) )  e.  B )
168146, 147, 164, 166, 167syl22anc 1293 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  {
0 } ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) )  e.  B
)
1698, 33, 11, 145, 168gsummptfzsplit 17643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
1701693adant3 1050 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 0 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) ( +g  `  C ) ( C 
gsumg  ( n  e.  { ( 0  +  1 ) }  |->  ( ( n 
.^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) ) ) )
171144, 170eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
172 mpteq1 4476 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 1 )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) ) )
173161, 172ax-mp 5 . . 3  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n )
) ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) )
174173oveq2i 6319 . 2  |-  ( C 
gsumg  ( n  e.  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  |->  ( ( n  .^  X
)  .*  ( T `
 ( H `  n ) ) ) ) )  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) )
175171, 174syl6eq 2521 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  G  e.  ( D  ^m  { 0 } )  /\  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  {
0 }  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( G `  n )
) ) ) ) )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  ( 0 ... 1 ) 
|->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( H `  n ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   ifcif 3872   {csn 3959    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613  .gcmg 16750  CMndccmn 17508  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858   LModclmod 18169  var1cv1 18846  Poly1cpl1 18847   Mat cmat 19509   matToPolyMat cmat2pmat 19805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mamu 19486  df-mat 19510  df-mat2pmat 19808
This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  19888
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