MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pmatcollpw3 19856
Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.m  |-  .*  =  ( .s `  C )
pmatcollpw.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
pmatcollpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
pmatcollpw.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
pmatcollpw3.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
pmatcollpw3.d  |-  D  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  E. f  e.  ( D  ^m  NN0 ) M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( f `  n ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    R, n    n, X    .^ , n    C, n    B, f    C, f, n    D, f   
f, M    f, N    R, f    T, f    f, X    .^ , f    .* , f
Allowed substitution hints:    A( f, n)    D( n)    P( f)    T( n)    .* ( n)

Proof of Theorem pmatcollpw3
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 pmatcollpw.c . . 3  |-  C  =  ( N Mat  P )
3 pmatcollpw.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
4 pmatcollpw.m . . 3  |-  .*  =  ( .s `  C )
5 pmatcollpw.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
6 pmatcollpw.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
7 pmatcollpw.t . . 3  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmatcollpw 19853 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( M decompPMat  n ) ) ) ) ) )
9 ssid 3462 . . 3  |-  NN0  C_  NN0
10 0nn0 10912 . . . 4  |-  0  e.  NN0
1110ne0ii 3749 . . 3  |-  NN0  =/=  (/)
12 pmatcollpw3.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
13 pmatcollpw3.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  A
)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13pmatcollpw3lem 19855 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  ( NN0  C_  NN0  /\  NN0  =/=  (/) ) )  ->  ( M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( M decompPMat  n ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( D  ^m  NN0 ) M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( f `  n ) ) ) ) ) ) )
159, 11, 14mpanr12 696 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( M decompPMat  n ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( D  ^m  NN0 ) M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( f `  n ) ) ) ) ) ) )
168, 15mpd 15 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  E. f  e.  ( D  ^m  NN0 ) M  =  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n  .^  X )  .*  ( T `  ( f `  n ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   E.wrex 2749    C_ wss 3415   (/)c0 3742    |-> cmpt 4474   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    ^m cmap 7497   Fincfn 7594   0cc0 9564   NN0cn0 10897   Basecbs 15169   .scvsca 15242    gsumg cgsu 15387  .gcmg 16720  mulGrpcmgp 17771   CRingccrg 17829  var1cv1 18817  Poly1cpl1 18818   Mat cmat 19480   matToPolyMat cmat2pmat 19776   decompPMat cdecpmat 19834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-ot 3988  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-ofr 6558  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-cur 7039  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-sup 7981  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-hash 12547  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-hom 15262  df-cco 15263  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-prds 15394  df-pws 15396  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-ghm 16929  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-srg 17788  df-ring 17830  df-cring 17831  df-subrg 18054  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-sra 18443  df-rgmod 18444  df-assa 18584  df-ascl 18586  df-psr 18628  df-mvr 18629  df-mpl 18630  df-opsr 18632  df-psr1 18821  df-vr1 18822  df-ply1 18823  df-coe1 18824  df-dsmm 19343  df-frlm 19358  df-mat 19481  df-mat2pmat 19779  df-decpmat 19835
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator