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Theorem pmatcollpw2lem 19743
Description: Lemma for pmatcollpw2 19744. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw1.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw1.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw1.m  |-  .X.  =  ( .s `  P )
pmatcollpw1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
pmatcollpw1.x  |-  X  =  (var1 `  R )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw2lem  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) finSupp  ( 0g `  C ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, X    .X. , n    .^ , n    P, n    B, i, j    i, M, j    i, N, j    P, i, j, n    R, i, j    i, X, j    .X. , i, j    .^ , i,
j
Allowed substitution hints:    C( i, j, n)

Proof of Theorem pmatcollpw2lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
2 mpt2exga 6827 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) )  e.  _V )
31, 1, 2syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) )  e.  _V )
43ralrimivw 2780 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  NN0  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) )  e.  _V )
5 eqid 2428 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )
65fnmpt 5665 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN0  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) )  e.  _V  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  Fn  NN0 )
74, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  Fn 
NN0 )
8 nn0ex 10826 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
10 fvex 5835 . . . . 5  |-  ( 0g
`  C )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( 0g `  C )  e. 
_V )
12 suppvalfn 6876 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  Fn  NN0  /\  NN0 
e.  _V  /\  ( 0g `  C )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  =  { x  e.  NN0  |  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) } )
137, 9, 11, 12syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  =  { x  e.  NN0  |  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) } )
14 pmatcollpw1.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  (Poly1 `  R )
15 pmatcollpw1.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( N Mat  P )
16 pmatcollpw1.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  C
)
17 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1814, 15, 16, 17pmatcoe1fsupp 19667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
19 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R )  ->  ( ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  R )  .X.  (
x  .^  X )
) )
20 pmatcollpw1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .X.  =  ( .s `  P )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  .X.  =  ( .s `  P ) )
2214ply1sca 18789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
23223ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
2423fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
25 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
x  .^  X )  =  ( x  .^  X ) )
2621, 24, 25oveq123d 6270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( x  .^  X ) ) )
2726ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( x  .^  X ) ) )
2823eqcomd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (Scalar `  P )  =  R )
2928ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (Scalar `  P )  =  R )
3029fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( 0g `  (Scalar `  P
) )  =  ( 0g `  R ) )
3130oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( x  .^  X
) )  =  ( ( 0g `  R
) ( .s `  P ) ( x 
.^  X ) ) )
32 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
33 pmatcollpw1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  X  =  (var1 `  R )
34 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
35 pmatcollpw1.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
36 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
3714, 33, 34, 35, 36ply1moncl 18807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
38373ad2antl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
3932, 38jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( R  e.  Ring  /\  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) ) )
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) ) )
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) ) )
42 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
4314, 36, 42, 17ply10s0 18792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  R
) ( .s `  P ) ( x 
.^  X ) )  =  ( 0g `  P ) )
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
) ( .s `  P ) ( x 
.^  X ) )  =  ( 0g `  P ) )
4527, 31, 443eqtrd 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )
4619, 45sylan9eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  /\  (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )
4746ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R )  ->  ( ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
4847anasss 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R )  ->  (
( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
4948ralimdvva 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
5049imim2d 54 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
5150ralimdva 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
5251reximdv 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
5318, 52mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
54 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  M  e.  B )
55 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
5632, 54, 553jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( R  e.  Ring  /\  M  e.  B  /\  x  e.  NN0 ) )
5714, 15, 16decpmate 19732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  B  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( M decompPMat  x ) j )  =  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x ) )
5856, 57sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( M decompPMat  x ) j )  =  ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) )
5958oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )
6059eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( ( ( i ( M decompPMat  x )
j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P )  <->  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
61602ralbidva 2807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
)  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
6261imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
6362ralbidva 2801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  A. x  e.  NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
6463rexbidv 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
6553, 64mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
66 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  N
6766biantrur 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
6866biantrur 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. j  e.  N  (
( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
)  <->  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
6968bicomi 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )
7069ralbii 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )
7167, 70bitr3i 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
7372imbi2d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( y  <  x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )  <->  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
7473rexralbidv 2886 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )
7565, 74mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) ) )
76 mpt2eq123 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) )
7776imim2i 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <  x  -> 
( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )  ->  (
y  <  x  ->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
7877ralimi 2758 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
7978reximi 2832 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( y  < 
x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M decompPMat  x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x )
j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
8075, 79syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x )
j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
81 eqidd 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) )
82 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  ( M decompPMat  n )  =  ( M decompPMat  x ) )
8382oveqd 6266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  (
i ( M decompPMat  n ) j )  =  ( i ( M decompPMat  x ) j ) )
84 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  (
n  .^  X )  =  ( x  .^  X ) )
8583, 84oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  (
( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) )  =  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )
8685mpt2eq3dv 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x )
j )  .X.  (
x  .^  X )
) ) )
8786adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  n  =  x )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x )
j )  .X.  (
x  .^  X )
) ) )
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  Fin  ->  N  e.  Fin )
8988ancri 554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
90893ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
9190adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
92 mpt2exga 6827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )  e.  _V )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )  e.  _V )
9481, 87, 55, 93fvmptd 5914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x )
j )  .X.  (
x  .^  X )
) ) )
9514ply1ring 18784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
9695anim2i 571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )
)
97963adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring ) )
9897adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring ) )
99 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
10015, 99mat0op 19386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  -> 
( 0g `  C
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g
`  P ) ) )
10198, 100syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( 0g `  C )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P
) ) )
10294, 101eqeq12d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C )  <-> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
103102imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( y  <  x  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) )  <->  ( y  < 
x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x )
j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) ) )
104103ralbidva 2801 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) ) )
105104rexbidv 2878 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) )  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  x )
j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) ) )
10680, 105mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) ) )
107 nne 2605 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C )  <->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) )
108107imbi2i 313 . . . . . . 7  |-  ( ( y  <  x  ->  -.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) )  <-> 
( y  <  x  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) ) )
109108ralbii 2796 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  -.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) ) )
110109rexbii 2866 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( y  < 
x  ->  -.  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) )  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) ) )
111106, 110sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  -.  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) ) )
112 rabssnn0fi 12148 . . . 4  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) }  e.  Fin  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  -.  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) ) )
113111, 112sylibr 215 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  { x  e.  NN0  |  ( ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) }  e.  Fin )
11413, 113eqeltrd 2506 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  e. 
Fin )
115 funmpt 5580 . . . 4  |-  Fun  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )
116115a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  Fun  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) )
1178mptex 6095 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  e. 
_V
118117a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  e. 
_V )
119 funisfsupp 7841 . . 3  |-  ( ( Fun  ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  /\  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  e.  _V  /\  ( 0g `  C )  e.  _V )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n )
j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) finSupp  ( 0g `  C )  <->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  e.  Fin ) )
120116, 118, 11, 119syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  C )  <->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  e.  Fin ) )
121114, 120mpbird 235 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M decompPMat  n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) finSupp  ( 0g `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 3022   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    |-> cmpt2 6251   supp csupp 6869   Fincfn 7524   finSupp cfsupp 7836    < clt 9626   NN0cn0 10820   Basecbs 15064  Scalarcsca 15136   .scvsca 15137   0gc0g 15281  .gcmg 16615  mulGrpcmgp 17666   Ringcrg 17723  var1cv1 18712  Poly1cpl1 18713  coe1cco1 18714   Mat cmat 19374   decompPMat cdecpmat 19728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-ot 3950  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-hom 15157  df-cco 15158  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-prds 15289  df-pws 15291  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-ghm 16824  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-subrg 17949  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-sra 18338  df-rgmod 18339  df-psr 18523  df-mvr 18524  df-mpl 18525  df-opsr 18527  df-psr1 18716  df-vr1 18717  df-ply1 18718  df-coe1 18719  df-dsmm 19237  df-frlm 19252  df-mat 19375  df-decpmat 19729
This theorem is referenced by:  pmatcollpw2  19744
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