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Theorem pmatcollpw2lem 30902
Description: Lemma for pmatcollpw2 30903. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.f  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
pmatcollpw.m  |-  .X.  =  ( .s `  P )
pmatcollpw.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
pmatcollpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw2lem  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  C ) )
Distinct variable groups:    B, k, m    i, j, k, m, M    i, N, j, k, m    B, i, j    R, i, j    B, n    n, M    n, N    P, n    R, n, i, j   
k, n, m    n, X    .X. , n    i, F, j    P, i, j    i, X, j    .X. , i, j    .^ , i, j    n, F    .^ , n
Allowed substitution hints:    C( i, j, k, m, n)    P( k, m)    R( k, m)    .X. ( k, m)    .^ ( k, m)    F( k, m)    X( k, m)

Proof of Theorem pmatcollpw2lem
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
2 mpt2exga 6647 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) )  e.  _V )
31, 1, 2syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) )  e.  _V )
43ralrimivw 2798 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  NN0  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) )  e.  _V )
5 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )
65fnmpt 5535 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN0  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) )  e.  _V  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  Fn  NN0 )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  Fn  NN0 )
8 nn0ex 10583 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
10 fvex 5699 . . . . 5  |-  ( 0g
`  C )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( 0g `  C )  e. 
_V )
12 suppvalfn 6695 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  Fn 
NN0  /\  NN0  e.  _V  /\  ( 0g `  C
)  e.  _V )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  =  { x  e. 
NN0  |  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) } )
137, 9, 11, 12syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  =  { x  e. 
NN0  |  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) } )
14 pmatcollpw.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  (Poly1 `  R )
15 pmatcollpw.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( N Mat  P )
16 pmatcollpw.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  C
)
17 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1814, 15, 16, 17pmatcoe1fsupp 30889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
19 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R )  ->  ( ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  R )  .X.  (
x  .^  X )
) )
20 pmatcollpw.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .X.  =  ( .s `  P )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  .X.  =  ( .s `  P ) )
2214ply1sca 17706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
23223ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
2423fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
25 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
x  .^  X )  =  ( x  .^  X ) )
2621, 24, 25oveq123d 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( x  .^  X ) ) )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( x  .^  X ) ) )
2814ply1lmod 17705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
29283ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  P  e.  LMod )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
3114ply1rng 17701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
32 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
3332rngmgp 16649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
3431, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
35343ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
38 pmatcollpw.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  X  =  (var1 `  R )
39 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
4038, 14, 39vr1cl 17669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
41403ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
4332, 39mgpbas 16595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
44 pmatcollpw.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
4543, 44mulgnn0cl 15641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  x  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( x  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
4636, 37, 42, 45syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
4730, 46jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( P  e.  LMod  /\  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) ) )
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( P  e.  LMod  /\  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) ) )
49 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
50 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
51 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
52 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
5339, 49, 50, 51, 52lmod0vs 16979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
x  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( x  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) )
5448, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( x  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) )
5527, 54eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )
5619, 55sylan9eqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  /\  (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R )  ->  ( ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x
)  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
5857ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
5958ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
6059imim2d 52 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
6160ralimdva 2792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
6261reximdv 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
6318, 62mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
64 3simpa 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
6564ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
66 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  B )
6766anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( M  e.  B  /\  x  e.  NN0 ) )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( M  e.  B  /\  x  e.  NN0 ) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  ->  i  e.  N )
7069anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)
71 pmatcollpw.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
72 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  a  ->  (
i m j )  =  ( a m j ) )
7372fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  a  ->  (coe1 `  ( i m j ) )  =  (coe1 `  ( a m j ) ) )
7473fveq1d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  a  ->  (
(coe1 `  ( i m j ) ) `  k )  =  ( (coe1 `  ( a m j ) ) `  k ) )
75 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  =  b  ->  (
a m j )  =  ( a m b ) )
7675fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  b  ->  (coe1 `  ( a m j ) )  =  (coe1 `  ( a m b ) ) )
7776fveq1d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  b  ->  (
(coe1 `  ( a m j ) ) `  k )  =  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) )
7874, 77cbvmpt2v 6164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k
) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) ) )
8079mpt2eq3ia 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k
) ) )  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) ) )
8171, 80eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) ) )
8214, 15, 16, 81pmatcollpw1lem3 30895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( M F x ) j )  =  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  x
) )
8365, 68, 70, 82syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( M F x ) j )  =  ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) )
8483oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) 
.X.  ( x  .^  X ) ) )
8584eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P )  <->  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
8685ralbidva 2729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P )  <->  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
8786ralbidva 2729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
8887imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )  <-> 
( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )
8988ralbidva 2729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i M j ) ) `  x ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )
9089rexbidv 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i M j ) ) `  x )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
9163, 90mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
92 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  N
9392biantrur 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )
9492biantrur 506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. j  e.  N  (
( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
)  <->  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
9594bicomi 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )
9695ralbii 2737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )
9793, 96bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )
9897a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
9998imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( y  <  x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )  <-> 
( y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
10099rexralbidv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )
10191, 100mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) ) )
102 mpt2eq123 6143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) )
103102imim2i 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <  x  -> 
( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )  ->  ( y  < 
x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
104103ralimi 2789 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
105104reximi 2821 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( y  < 
x  ->  ( N  =  N  /\  A. i  e.  N  ( N  =  N  /\  A. j  e.  N  ( (
i ( M F x ) j ) 
.X.  ( x  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
106101, 105syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
107 eqidd 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) )
108 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  ( M F n )  =  ( M F x ) )
109108oveqd 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  (
i ( M F n ) j )  =  ( i ( M F x ) j ) )
110 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  (
n  .^  X )  =  ( x  .^  X ) )
111109, 110oveq12d 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  (
( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) )  =  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
) )
112111mpt2eq3dv 6150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) ) )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  n  =  x )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) ) )
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  Fin  ->  N  e.  Fin )
115114ancri 552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
1161153ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
117116adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
118 mpt2exga 6647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  e.  _V )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) )  e.  _V )
120107, 113, 37, 119fvmptd 5777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) ) )
12131anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )
)
1221213adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring ) )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring ) )
12415, 52mat0op 18318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  -> 
( 0g `  C
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g
`  P ) ) )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( 0g `  C )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P
) ) )
126120, 125eqeq12d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C )  <-> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) )
127126imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( y  <  x  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) )  <->  ( y  < 
x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) ) )
128127ralbidva 2729 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  (
x  .^  X )
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) ) )
129128rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) )  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( i ( M F x ) j )  .X.  ( x  .^  X ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  P ) ) ) ) )
130106, 129mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) ) )
131 nne 2610 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C )  <->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) )
132131imbi2i 312 . . . . . . 7  |-  ( ( y  <  x  ->  -.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) )  <-> 
( y  <  x  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) ) )
133132ralbii 2737 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  -.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) ) )
134133rexbii 2738 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( y  < 
x  ->  -.  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) )  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =  ( 0g `  C ) ) )
135130, 134sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  -.  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) ) )
136 rabssnn0fi 30744 . . . 4  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) }  e.  Fin  <->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  -.  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) ) )
137135, 136sylibr 212 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  { x  e.  NN0  |  ( ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  C ) }  e.  Fin )
13813, 137eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  e.  Fin )
139 funmpt 5452 . . . 4  |-  Fun  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )
140139a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  Fun  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) )
1418mptex 5946 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  e.  _V
142141a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  e.  _V )
143 funisfsupp 7623 . . 3  |-  ( ( Fun  ( n  e. 
NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) )  /\  ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  e. 
_V  /\  ( 0g `  C )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  C )  <->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  e. 
Fin ) )
144140, 142, 11, 143syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) finSupp  ( 0g `  C )  <->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) supp  ( 0g `  C ) )  e. 
Fin ) )
145138, 144mpbird 232 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   Fun wfun 5410    Fn wfn 5411   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   supp csupp 6688   Fincfn 7308   finSupp cfsupp 7618    < clt 9416   NN0cn0 10577   Basecbs 14172  Scalarcsca 14239   .scvsca 14240   0gc0g 14376   Mndcmnd 15407  .gcmg 15412  mulGrpcmgp 16589   Ringcrg 16643   LModclmod 16946  var1cv1 17630  Poly1cpl1 17631  coe1cco1 17632   Mat cmat 18278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-ofr 6319  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-hash 12102  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-subrg 16861  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-psr 17421  df-mvr 17422  df-mpl 17423  df-opsr 17425  df-psr1 17634  df-vr1 17635  df-ply1 17636  df-coe1 17637  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-mat 18280
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