Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw2 Structured version   Unicode version

Theorem pmatcollpw2 19733
 Description: Write a polynomial matrix as sum of matrices whose entries are products of variable powers and constant polynomials collecting like powers. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw1.p Poly1
pmatcollpw1.c Mat
pmatcollpw1.b
pmatcollpw1.m
pmatcollpw1.e .gmulGrp
pmatcollpw1.x var1
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw2 g decompPMat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem pmatcollpw2
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw1.p . . 3 Poly1
2 pmatcollpw1.c . . 3 Mat
3 pmatcollpw1.b . . 3
4 pmatcollpw1.m . . 3
5 pmatcollpw1.e . . 3 .gmulGrp
6 pmatcollpw1.x . . 3 var1
71, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1 19731 . 2 g decompPMat
8 eqid 2429 . . 3
9 simp1 1005 . . 3
10 nn0ex 10875 . . . 4
1110a1i 11 . . 3
121ply1ring 18776 . . . 4
14 eqid 2429 . . . 4
159adantr 466 . . . 4
1613adantr 466 . . . 4
17 simp1l2 1099 . . . . 5
18 eqid 2429 . . . . . 6 Mat Mat
19 eqid 2429 . . . . . 6
20 eqid 2429 . . . . . 6 Mat Mat
21 simp2 1006 . . . . . 6
22 simp3 1007 . . . . . 6
23 simp2 1006 . . . . . . . . . 10
2423adantr 466 . . . . . . . . 9
25 simp3 1007 . . . . . . . . . 10
2625adantr 466 . . . . . . . . 9
27 simpr 462 . . . . . . . . 9
2824, 26, 273jca 1185 . . . . . . . 8
29283ad2ant1 1026 . . . . . . 7
301, 2, 3, 18, 20decpmatcl 19722 . . . . . . 7 decompPMat Mat
3129, 30syl 17 . . . . . 6 decompPMat Mat
3218, 19, 20, 21, 22, 31matecld 19382 . . . . 5 decompPMat
33 simp1r 1030 . . . . 5
34 eqid 2429 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
3519, 1, 6, 4, 34, 5, 14ply1tmcl 18800 . . . . 5 decompPMat decompPMat
3617, 32, 33, 35syl3anc 1264 . . . 4 decompPMat
372, 14, 3, 15, 16, 36matbas2d 19379 . . 3 decompPMat
381, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw2lem 19732 . . 3 decompPMat finSupp
392, 3, 8, 9, 11, 13, 37, 38matgsum 19393 . 2 g decompPMat g decompPMat
407, 39eqtr4d 2473 1 g decompPMat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   cmpt 4484  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  cfn 7577  cn0 10869  cbs 15084  cvsca 15156  c0g 15297   g cgsu 15298  .gcmg 16623  mulGrpcmgp 17658  crg 17715  var1cv1 18704  Poly1cpl1 18705   Mat cmat 19363   decompPMat cdecpmat 19717 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-srg 17675  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psr 18515  df-mvr 18516  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-psr1 18708  df-vr1 18709  df-ply1 18710  df-coe1 18711  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mat 19364  df-decpmat 19718 This theorem is referenced by:  pmatcollpw  19736
 Copyright terms: Public domain W3C validator