Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmatcollpw1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem pmatcollpw1lem2 31210
Description: Lemma 2 for pmatcollpw1 31218: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a given matrix for the same power is a matrix. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.f  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
pmatcollpw.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
pmatcollpw.d  |-  D  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw1lem2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  ( M F K )  e.  D )
Distinct variable groups:    B, k, m    i, K, j, k, m    i, M, j, k, m    i, N, j, k, m    B, i, j    R, i, j
Allowed substitution hints:    A( i, j, k, m)    C( i,
j, k, m)    D( i, j, k, m)    P( i, j, k, m)    R( k, m)    F( i, j, k, m)

Proof of Theorem pmatcollpw1lem2
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  Fin )
3 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  e.  B )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  B )
5 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  K  e.  NN0 )
7 pmatcollpw.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 pmatcollpw.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
9 pmatcollpw.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
10 pmatcollpw.f . . . 4  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
117, 8, 9, 10pmatcollpw1lem1 31209 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  B  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M F K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  K
) ) )
122, 4, 6, 11syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  ( M F K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  K ) ) )
13 pmatcollpw.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
14 eqid 2450 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 pmatcollpw.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  A
)
16 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1716adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  R  e.  Ring )
18 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
19 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
209eleq2i 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  B  <->  M  e.  ( Base `  C )
)
2120biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( Base `  C
) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( Base `  C ) )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ( Base `  C
) )
24233ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  M  e.  ( Base `  C ) )
25 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
268, 25matecl 18421 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( i M j )  e.  ( Base `  P ) )
2718, 19, 24, 26syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i M j )  e.  ( Base `  P ) )
28 eqid 2450 . . . . . 6  |-  (coe1 `  (
i M j ) )  =  (coe1 `  (
i M j ) )
2928, 25, 7, 14coe1f 17760 . . . . 5  |-  ( ( i M j )  e.  ( Base `  P
)  ->  (coe1 `  (
i M j ) ) : NN0 --> ( Base `  R ) )
3027, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (coe1 `  ( i M j ) ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
3163ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  K  e.  NN0 )
3230, 31ffvelrnd 5929 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  K )  e.  (
Base `  R )
)
3313, 14, 15, 2, 17, 32matbas2d 18419 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i M j ) ) `  K ) )  e.  D )
3412, 33eqeltrd 2536 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  ( M F K )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    |-> cmpt2 6178   Fincfn 7396   NN0cn0 10666   Basecbs 14262   Ringcrg 16737  Poly1cpl1 17726  coe1cco1 17727   Mat cmat 18375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-hom 14350  df-cco 14351  df-0g 14468  df-prds 14474  df-pws 14476  df-sra 17345  df-rgmod 17346  df-psr 17515  df-opsr 17519  df-psr1 17729  df-ply1 17731  df-coe1 17732  df-dsmm 18252  df-frlm 18267  df-mat 18377
This theorem is referenced by:  pmatcollpw1dst  31214  pmatcollpwfsupp  31215  pmatcollpw1  31218  pmatcollpw  31220  pmatcollpw3lem  31223  pmatcollpw3  31224  pmatcollpw3fi  31225  pmatcollpwscmatlem3  31233  pmattomply1ghmlem1  31239  pmattomply1ghmlem2  31240  pmattomply1f1lem  31241  pmattomply1rn  31243  pmattomply1coe1  31245  mp2pm2mplem5  31251  mp2pm2mp  31252  pmattomply1ghm  31256  pmattomply1mhmlem2  31260
  Copyright terms: Public domain W3C validator