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Theorem pmatcollpw1dstlem1 31227
Description: Lemma for pmatcollpw1dst 31228. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.f  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
pmatcollpw1id.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw1dstlem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( I ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) J )  =  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k, m    i, K, j, k, m    i, N, j, k, m    B, i, j    R, i, j    i, I, j    i, J, j    A, i, j    C, i, j, k, m    P, k    R, k    t, B   
k, I, l, t   
k, J, l, t    K, l, t    t, N   
t, P    R, l,
t    U, i, j, k, m    i, W, j, k, m    U, l, t, k    W, l, t
Allowed substitution hints:    A( t, k, m, l)    B( l)    C( t, l)    P( i, j, m, l)    R( m)    F( t, i, j, k, m, l)    I( m)    J( m)    N( l)

Proof of Theorem pmatcollpw1dstlem1
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
2 pmatcollpw.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 17810 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
4 pmatcollpw.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( N Mat  P )
54matrng 18440 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
63, 5sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  C  e.  Ring )
8 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  U  e.  B )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  U  e.  B )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  W  e.  B )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
12 pmatcollpw.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
13 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( .r
`  C )  =  ( .r `  C
)
1412, 13rngcl 16764 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B )
157, 9, 11, 14syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B )
16153adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( U ( .r
`  C ) W )  e.  B )
17 simp33 1026 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  K  e.  NN0 )
18 3simpa 985 . . . 4  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )
19183ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )
20 pmatcollpw.f . . . 4  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
212, 4, 12, 20pmatcollpw1lem3 31225 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( U ( .r `  C ) W )  e.  B  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( I ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) J )  =  ( (coe1 `  ( I ( U ( .r `  C
) W ) J ) ) `  K
) )
221, 16, 17, 19, 21syl121anc 1224 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( I ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) J )  =  ( (coe1 `  ( I ( U ( .r `  C
) W ) J ) ) `  K
) )
23 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( P maMul  <. N ,  N ,  N >. )
244, 23matmulr 18422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  -> 
( P maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  C ) )
2524eqcomd 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  -> 
( .r `  C
)  =  ( P maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
263, 25sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( .r `  C
)  =  ( P maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
27263ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( .r `  C
)  =  ( P maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
2827oveqd 6207 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( U ( .r
`  C ) W )  =  ( U ( P maMul  <. N ,  N ,  N >. ) W ) )
2928oveqd 6207 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( I ( U ( .r `  C
) W ) J )  =  ( I ( U ( P maMul  <. N ,  N ,  N >. ) W ) J ) )
30 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
31 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
323adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
33323ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  P  e.  Ring )
34 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
35343ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  Fin )
364, 30matbas2 18431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  P
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  C
) )
3736, 12syl6reqr 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  B  =  ( ( Base `  P )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
383, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  B  =  ( ( Base `  P )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
3938eleq2d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( U  e.  B  <->  U  e.  ( ( Base `  P )  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
4039biimpcd 224 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  B  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  U  e.  ( (
Base `  P )  ^m  ( N  X.  N
) ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  U  e.  ( ( Base `  P
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
4241impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  U  e.  ( ( Base `  P
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
43423adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  U  e.  ( ( Base `  P )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
443, 36sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  P
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  C
) )
4544, 12syl6reqr 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  B  =  ( ( Base `  P )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
4645eleq2d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( W  e.  B  <->  W  e.  ( ( Base `  P )  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
4746biimpcd 224 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  B  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  W  e.  ( (
Base `  P )  ^m  ( N  X.  N
) ) ) )
4847adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  W  e.  ( ( Base `  P
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
4948impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  ( ( Base `  P
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50493adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  W  e.  ( ( Base `  P )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
51 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 )  ->  I  e.  N )
52513ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  I  e.  N )
53 simp32 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  J  e.  N )
5423, 30, 31, 33, 35, 35, 35, 43, 50, 52, 53mamufv 18394 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( I ( U ( P maMul  <. N ,  N ,  N >. ) W ) J )  =  ( P  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( I U t ) ( .r `  P
) ( t W J ) ) ) ) )
5529, 54eqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( I ( U ( .r `  C
) W ) J )  =  ( P 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( I U t ) ( .r
`  P ) ( t W J ) ) ) ) )
5655fveq2d 5793 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
(coe1 `  ( I ( U ( .r `  C ) W ) J ) )  =  (coe1 `  ( P  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( I U t ) ( .r `  P
) ( t W J ) ) ) ) ) )
5756fveq1d 5791 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( (coe1 `  ( I ( U ( .r `  C ) W ) J ) ) `  K )  =  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( I U t ) ( .r `  P
) ( t W J ) ) ) ) ) `  K
) )
58 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
59583ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  R  e.  Ring )
6033adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  P  e.  Ring )
6152adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  I  e.  N )
62 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  t  e.  N )
6312eleq2i 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  B  <->  U  e.  ( Base `  C )
)
6463biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  B  ->  U  e.  ( Base `  C
) )
6564adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
66653ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
6766adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  U  e.  ( Base `  C )
)
684, 30matecl 18435 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  N  /\  t  e.  N  /\  U  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( I U t )  e.  ( Base `  P ) )
6961, 62, 67, 68syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( I U t )  e.  ( Base `  P
) )
7053adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  J  e.  N )
7112eleq2i 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  B  <->  W  e.  ( Base `  C )
)
7271biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  B  ->  W  e.  ( Base `  C
) )
7372adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  W  e.  ( Base `  C ) )
74733ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  W  e.  ( Base `  C ) )
7574adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  W  e.  ( Base `  C )
)
764, 30matecl 18435 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  N  /\  J  e.  N  /\  W  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( t W J )  e.  ( Base `  P ) )
7762, 70, 75, 76syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( t W J )  e.  (
Base `  P )
)
7830, 31rngcl 16764 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
I U t )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( t W J )  e.  (
Base `  P )
)  ->  ( (
I U t ) ( .r `  P
) ( t W J ) )  e.  ( Base `  P
) )
7960, 69, 77, 78syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( (
I U t ) ( .r `  P
) ( t W J ) )  e.  ( Base `  P
) )
8079ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  ->  A. t  e.  N  ( ( I U t ) ( .r
`  P ) ( t W J ) )  e.  ( Base `  P ) )
812, 30, 59, 17, 80, 35coe1fzgsumd 30980 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( I U t ) ( .r `  P
) ( t W J ) ) ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( I U t ) ( .r `  P ) ( t W J ) ) ) `  K ) ) ) )
82 simpl1r 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
83 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
842, 31, 83, 30coe1mul 17831 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I U t )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( t W J )  e.  (
Base `  P )
)  ->  (coe1 `  (
( I U t ) ( .r `  P ) ( t W J ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( l  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( k  -  l ) ) ) ) ) ) )
8582, 69, 77, 84syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  (coe1 `  (
( I U t ) ( .r `  P ) ( t W J ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( l  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( k  -  l ) ) ) ) ) ) )
8685fveq1d 5791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( (coe1 `  ( ( I U t ) ( .r
`  P ) ( t W J ) ) ) `  K
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( l  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( k  -  l ) ) ) ) ) ) `
 K ) )
87 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  ( I U t ) ) `  l ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W J ) ) `  ( k  -  l
) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( l  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( k  -  l ) ) ) ) ) ) )
88 oveq2 6198 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
0 ... k )  =  ( 0 ... K
) )
89 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  (
k  -  l )  =  ( K  -  l ) )
9089fveq2d 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  (
(coe1 `  ( t W J ) ) `  ( k  -  l
) )  =  ( (coe1 `  ( t W J ) ) `  ( K  -  l
) ) )
9190oveq2d 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
( (coe1 `  ( I U t ) ) `  l ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W J ) ) `  ( k  -  l
) ) )  =  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) )
9288, 91mpteq12dv 4468 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
l  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  ( I U t ) ) `  l ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W J ) ) `  ( k  -  l
) ) ) )  =  ( l  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( ( (coe1 `  ( I U t ) ) `  l
) ( .r `  R ) ( (coe1 `  ( t W J ) ) `  ( K  -  l )
) ) ) )
9392oveq2d 6206 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( k  -  l ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) )
9493adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N )  /\  k  =  K )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( k  -  l ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) )
9517adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  K  e.  NN0 )
96 ovex 6215 . . . . . . . 8  |-  ( R 
gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) )  e. 
_V
9796a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( (coe1 `  ( I U t ) ) `  l ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W J ) ) `  ( K  -  l
) ) ) ) )  e.  _V )
9887, 94, 95, 97fvmptd 5878 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( l  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( k  -  l ) ) ) ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) )
9986, 98eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( (coe1 `  ( ( I U t ) ( .r
`  P ) ( t W J ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) )
10099mpteq2dva 4476 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( t  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( I U t ) ( .r `  P ) ( t W J ) ) ) `  K ) )  =  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) ) )
101100oveq2d 6206 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( I U t ) ( .r `  P ) ( t W J ) ) ) `  K ) ) )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) ) ) )
10281, 101eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( I U t ) ( .r `  P
) ( t W J ) ) ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) ) ) )
10322, 57, 1023eqtrd 2496 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( I ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) J )  =  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
I U t ) ) `  l ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W J ) ) `  ( K  -  l ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   <.cotp 3983    |-> cmpt 4448    X. cxp 4936   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192    ^m cmap 7314   Fincfn 7410   0cc0 9383    - cmin 9696   NN0cn0 10680   ...cfz 11538   Basecbs 14276   .rcmulr 14341    gsumg cgsu 14481   Ringcrg 16751  Poly1cpl1 17740  coe1cco1 17741   maMul cmmul 18388   Mat cmat 18389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-ot 3984  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-ofr 6421  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-seq 11908  df-hash 12205  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-hom 14364  df-cco 14365  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-prds 14488  df-pws 14490  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-mhm 15566  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-mulg 15650  df-subg 15780  df-ghm 15847  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-abl 16384  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-subrg 16969  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-psr 17529  df-mpl 17531  df-opsr 17533  df-psr1 17743  df-ply1 17745  df-coe1 17746  df-dsmm 18266  df-frlm 18281  df-mamu 18390  df-mat 18391
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