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Theorem pmatcollpw1dst 31214
Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the product of two given matrices is a sum of products of the matrices consisting of the coefficients in the polynomial entries of the given matrices for the same power (Contributed by AV, 21-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.f  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
pmatcollpw1id.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw1dst  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( U ( .r `  C ) W ) F K )  =  ( A 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k, m    i, K, j, k, m    i, N, j, k, m    B, i, j    R, i, j    A, i, j    C, i, j, k, m    P, k    R, k    U, i, j, k, m    i, W, j, k, m    A, k    i, F, j
Allowed substitution hints:    A( m)    P( i, j, m)    R( m)    F( k, m)

Proof of Theorem pmatcollpw1dst
Dummy variables  t  w  z  x  y  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
2 oveq1 6183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
x ( U F k ) t )  =  ( i ( U F k ) t ) )
3 oveq2 6184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  j  ->  (
t ( W F ( K  -  k
) ) y )  =  ( t ( W F ( K  -  k ) ) j ) )
42, 3oveqan12d 6195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) )  =  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W F ( K  -  k ) ) j ) ) )
54mpteq2dv 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) )  =  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r `  R ) ( t ( W F ( K  -  k ) ) j ) ) ) )
65oveq2d 6192 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) )
76mpteq2dv 4463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W F ( K  -  k ) ) j ) ) ) ) ) )
87oveq2d 6192 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( x  =  i  /\  y  =  j ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
10 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
i  e.  N )
11 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
j  e.  N )
12 ovex 6201 . . . . . 6  |-  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) )  e.  _V )
141, 9, 10, 11, 13ovmpt2d 6304 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
15 pmatcollpw1id.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( N Mat  R )
16 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
1715, 16matmulr 18408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1817ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1918eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
2019oveqd 6193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U F k ) ( .r `  A ) ( W F ( K  -  k ) ) )  =  ( ( U F k ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( W F ( K  -  k ) ) ) )
21 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
22 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
23 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  R  e.  Ring )
26 simp-4l 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  N  e.  Fin )
2726adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  N  e.  Fin )
28 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
29 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  U  e.  B )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  U  e.  B )
31 elfznn0 11568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
3230, 31anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
33 pmatcollpw.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
34 pmatcollpw.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( N Mat  P )
35 pmatcollpw.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  C
)
36 pmatcollpw.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
37 oveq 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  w  ->  (
i m j )  =  ( i w j ) )
3837fveq2d 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  w  ->  (coe1 `  ( i m j ) )  =  (coe1 `  ( i w j ) ) )
3938fveq1d 5777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  w  ->  (
(coe1 `  ( i m j ) ) `  k )  =  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  k ) )
4039mpt2eq3dv 6237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  w  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  k ) ) )
41 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
(coe1 `  ( i w j ) ) `  k )  =  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  z ) )
4241mpt2eq3dv 6237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  k ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  z ) ) )
4340, 42cbvmpt2v 6251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k
) ) )  =  ( w  e.  B ,  z  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  z ) ) )
4436, 43eqtri 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( w  e.  B ,  z  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i w j ) ) `  z ) ) )
45 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
4633, 34, 35, 44, 15, 45pmatcollpw1lem2 31210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )  ->  ( U F k )  e.  ( Base `  A
) )
4728, 32, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U F k )  e.  ( Base `  A
) )
4815, 21, 45matbas2i 18418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U F k )  e.  ( Base `  A
)  ->  ( U F k )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U F k )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  W  e.  B )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  W  e.  B )
53 fznn0sub 11574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  ( K  -  k )  e.  NN0 )
5452, 53anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W  e.  B  /\  ( K  -  k
)  e.  NN0 )
)
5533, 34, 35, 44, 15, 45pmatcollpw1lem2 31210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( W  e.  B  /\  ( K  -  k
)  e.  NN0 )
)  ->  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )
5628, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )
5715, 21, 45matbas2i 18418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
)  ->  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5916, 21, 22, 25, 27, 27, 27, 49, 58mamuval 18379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U F k ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( W F ( K  -  k ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )
6020, 59eqtrd 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U F k ) ( .r `  A ) ( W F ( K  -  k ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W F ( K  -  k ) ) y ) ) ) ) ) )
6160mpteq2dva 4462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )
6261oveq2d 6192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
63 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
64 ovex 6201 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... K )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0 ... K
)  e.  _V )
66 rngcmn 16767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6766ad4antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  R  e. CMnd )
6867adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  R  e. CMnd )
69683ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
70273ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
71253ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
73 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  x  e.  N )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  t  e.  N )
7528, 32jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) ) )
76753ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) ) )
7877, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  ( U F k )  e.  ( Base `  A
) )
7915, 21matecl 18421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  N  /\  t  e.  N  /\  ( U F k )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
x ( U F k ) t )  e.  ( Base `  R
) )
8073, 74, 78, 79syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  (
x ( U F k ) t )  e.  ( Base `  R
) )
81 simpl3 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  y  e.  N )
82563ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )
8415, 21matecl 18421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  N  /\  y  e.  N  /\  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
t ( W F ( K  -  k
) ) y )  e.  ( Base `  R
) )
8574, 81, 83, 84syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  (
t ( W F ( K  -  k
) ) y )  e.  ( Base `  R
) )
8621, 22rngcl 16750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x ( U F k ) t )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( t
( W F ( K  -  k ) ) y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x ( U F k ) t ) ( .r `  R ) ( t ( W F ( K  -  k ) ) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
8772, 80, 85, 86syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  /\  t  e.  N )  ->  (
( x ( U F k ) t ) ( .r `  R ) ( t ( W F ( K  -  k ) ) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
8887ralrimiva 2881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  A. t  e.  N  ( (
x ( U F k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W F ( K  -  k ) ) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
8921, 69, 70, 88gsummptcl 16549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
9015, 21, 45, 27, 25, 89matbas2d 18419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  ( Base `  A
) )
91 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )
92 fzfid 11882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0 ... K
)  e.  Fin )
93 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
9493, 93jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
9594ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
96 mpt2exga 6735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  _V )
9795, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  _V )
98 fvex 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
9998a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0g `  A
)  e.  _V )
10091, 92, 97, 99fsuppmptdm 7718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
10115, 45, 63, 26, 65, 24, 90, 100matgsum 31001 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
10262, 101eqtrd 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
103102oveqd 6193 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( A 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) ) j )  =  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) j ) )
104 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
105104adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
106 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )
107 df-3an 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  K  e.  NN0 )  <->  ( (
i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  K  e.  NN0 ) )
108107simplbi2com 627 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) ) )
109108adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) ) )
110109imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  K  e.  NN0 ) )
111 oveq 6182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  u  ->  (
i m j )  =  ( i u j ) )
112111fveq2d 5779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  u  ->  (coe1 `  ( i m j ) )  =  (coe1 `  ( i u j ) ) )
113112fveq1d 5777 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  u  ->  (
(coe1 `  ( i m j ) ) `  k )  =  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  k ) )
114113mpt2eq3dv 6237 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  u  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  k ) ) )
115 fveq2 5775 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  v  ->  (
(coe1 `  ( i u j ) ) `  k )  =  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  v ) )
116115mpt2eq3dv 6237 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  v  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  k ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  v ) ) )
117114, 116cbvmpt2v 6251 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k
) ) )  =  ( u  e.  B ,  v  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  v ) ) )
118 oveq1 6183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  z  ->  (
i u j )  =  ( z u j ) )
119118fveq2d 5779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  z  ->  (coe1 `  ( i u j ) )  =  (coe1 `  ( z u j ) ) )
120119fveq1d 5777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  z  ->  (
(coe1 `  ( i u j ) ) `  v )  =  ( (coe1 `  ( z u j ) ) `  v ) )
121 oveq2 6184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  w  ->  (
z u j )  =  ( z u w ) )
122121fveq2d 5779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  w  ->  (coe1 `  ( z u j ) )  =  (coe1 `  ( z u w ) ) )
123122fveq1d 5777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  w  ->  (
(coe1 `  ( z u j ) ) `  v )  =  ( (coe1 `  ( z u w ) ) `  v ) )
124120, 123cbvmpt2v 6251 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  v
) )  =  ( z  e.  N ,  w  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( z u w ) ) `  v ) )
125124a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  v ) )  =  ( z  e.  N ,  w  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( z u w ) ) `  v ) ) )
126125mpt2eq3ia 6236 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  B ,  v  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i u j ) ) `  v
) ) )  =  ( u  e.  B ,  v  e.  NN0  |->  ( z  e.  N ,  w  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( z u w ) ) `  v ) ) )
12736, 117, 1263eqtri 2482 . . . . . . 7  |-  F  =  ( u  e.  B ,  v  e.  NN0  |->  ( z  e.  N ,  w  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( z u w ) ) `  v ) ) )
12833, 34, 35, 127, 15pmatcollpw1dstlem1 31213 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) j )  =  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
129105, 106, 110, 128syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) j )  =  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
130 simp-5r 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  R  e.  Ring )
131 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
i  e.  N )
132 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
t  e.  N )
13335eleq2i 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  B  <->  U  e.  ( Base `  C )
)
134133biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  B  ->  U  e.  ( Base `  C
) )
135134adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
136135ad4antlr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
137 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
13834, 137matecl 18421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  N  /\  t  e.  N  /\  U  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( i U t )  e.  ( Base `  P ) )
139131, 132, 136, 138syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( i U t )  e.  ( Base `  P ) )
14031ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
141 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  (
i U t ) )  =  (coe1 `  (
i U t ) )
142141, 137, 33, 21coe1fvalcl 30958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i U t )  e.  ( Base `  P )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
143139, 140, 142syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
14411adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
j  e.  N )
14535eleq2i 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  B  <->  W  e.  ( Base `  C )
)
146145biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  B  ->  W  e.  ( Base `  C
) )
147146adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  W  e.  ( Base `  C ) )
148147ad4antlr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  W  e.  ( Base `  C ) )
14934, 137matecl 18421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  N  /\  j  e.  N  /\  W  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( t W j )  e.  ( Base `  P ) )
150132, 144, 148, 149syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( t W j )  e.  ( Base `  P ) )
15153ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( K  -  k
)  e.  NN0 )
152 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  (
t W j ) )  =  (coe1 `  (
t W j ) )
153152, 137, 33, 21coe1fvalcl 30958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t W j )  e.  ( Base `  P )  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)
154150, 151, 153syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)
15521, 22rngcl 16750 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
156130, 143, 154, 155syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
15721, 67, 26, 92, 156gsumcom3fi 18395 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
15828adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
15932adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  ( U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
160 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  i  e.  N )
161160anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  (
i  e.  N  /\  t  e.  N )
)
16233, 34, 35, 127pmatcollpw1lem3 31211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  t  e.  N ) )  -> 
( i ( U F k ) t )  =  ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k
) )
163158, 159, 161, 162syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  (
i ( U F k ) t )  =  ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) )
16454adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  ( W  e.  B  /\  ( K  -  k
)  e.  NN0 )
)
16511adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  j  e.  N )
166165anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  (
j  e.  N  /\  t  e.  N )
)
167166ancomd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  (
t  e.  N  /\  j  e.  N )
)
16833, 34, 35, 127pmatcollpw1lem3 31211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( W  e.  B  /\  ( K  -  k
)  e.  NN0 )  /\  ( t  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
t ( W F ( K  -  k
) ) j )  =  ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) )
169158, 164, 167, 168syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  (
t ( W F ( K  -  k
) ) j )  =  ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) )
170163, 169oveq12d 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  (
( i ( U F k ) t ) ( .r `  R ) ( t ( W F ( K  -  k ) ) j ) )  =  ( ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k
) ( .r `  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k )
) ) )
171170eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  /\  t  e.  N )  ->  (
( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) )  =  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) )
172171mpteq2dva 4462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) ) )  =  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r `  R ) ( t ( W F ( K  -  k ) ) j ) ) ) )
173172oveq2d 6192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) )
174173mpteq2dva 4462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W F ( K  -  k ) ) j ) ) ) ) ) )
175174oveq2d 6192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
176129, 157, 1753eqtrd 2494 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) j )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U F k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W F ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
17714, 103, 1763eqtr4rd 2501 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) )
178177ralrimivva 2890 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) )
17933ply1rng 17796 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
18034matrng 18426 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
181179, 180sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
182181adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  C  e.  Ring )
183 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  U  e.  B )
184 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  C )  =  ( .r `  C
)
18535, 184rngcl 16750 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B )
186182, 183, 50, 185syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B )
187186anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( U ( .r `  C ) W )  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )
18833, 34, 35, 36, 15, 45pmatcollpw1lem2 31210 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( U ( .r `  C ) W )  e.  B  /\  K  e.  NN0 ) )  ->  (
( U ( .r
`  C ) W ) F K )  e.  ( Base `  A
) )
189104, 187, 188syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( U ( .r `  C ) W ) F K )  e.  ( Base `  A ) )
19015matrng 18426 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
191 rngcmn 16767 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. CMnd
)
192190, 191syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e. CMnd )
193192adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  A  e. CMnd )
194193adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e. CMnd )
195 fzfid 11882 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0 ... K
)  e.  Fin )
196190ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  A  e.  Ring )
197104adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
19829, 31anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
199197, 198, 46syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U F k )  e.  ( Base `  A
) )
20051, 53anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W  e.  B  /\  ( K  -  k
)  e.  NN0 )
)
201197, 200, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )
202 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
20345, 202rngcl 16750 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  ( U F k )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( W F ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
( U F k ) ( .r `  A ) ( W F ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A
) )
204196, 199, 201, 203syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U F k ) ( .r `  A ) ( W F ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A
) )
205204ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  (
0 ... K ) ( ( U F k ) ( .r `  A ) ( W F ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A
) )
20645, 194, 195, 205gsummptcl 16549 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) )  e.  ( Base `  A
) )
20715, 45eqmat 30989 . . 3  |-  ( ( ( ( U ( .r `  C ) W ) F K )  e.  ( Base `  A )  /\  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
( ( U ( .r `  C ) W ) F K )  =  ( A 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) j )  =  ( i ( A 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) ) )
208189, 206, 207syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( U ( .r `  C
) W ) F K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( U ( .r `  C ) W ) F K ) j )  =  ( i ( A 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) ) )
209178, 208mpbird 232 1  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( U ( .r `  C ) W ) F K )  =  ( A 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U F k ) ( .r
`  A ) ( W F ( K  -  k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   _Vcvv 3054   <.cotp 3969    |-> cmpt 4434    X. cxp 4922   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    |-> cmpt2 6178    ^m cmap 7300   Fincfn 7396   0cc0 9369    - cmin 9682   NN0cn0 10666   ...cfz 11524   Basecbs 14262   .rcmulr 14327   0gc0g 14466    gsumg cgsu 14467  CMndccmn 16367   Ringcrg 16737  Poly1cpl1 17726  coe1cco1 17727   maMul cmmul 18374   Mat cmat 18375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-ofr 6407  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-hom 14350  df-cco 14351  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-prds 14474  df-pws 14476  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-subrg 16955  df-lmod 17042  df-lss 17106  df-sra 17345  df-rgmod 17346  df-psr 17515  df-mpl 17517  df-opsr 17519  df-psr1 17729  df-ply1 17731  df-coe1 17732  df-dsmm 18252  df-frlm 18267  df-mamu 18376  df-mat 18377
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