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Theorem pmatcollpw1 30909
Description: Write a matrix over polynomials as a matrix of sums of scaled monomials. (Contributed by AV, 29-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pmatcollpw.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pmatcollpw.f  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
pmatcollpw.m  |-  .X.  =  ( .s `  P )
pmatcollpw.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
pmatcollpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  M  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k, m    i, j, k, m, M    i, N, j, k, m    B, i, j    R, i, j    B, n    n, M    n, N    P, n    R, n, i, j   
k, n, m    n, X    .X. , n    i, F, j    P, i, j    i, X, j    .X. , i, j    .^ , i, j
Allowed substitution hints:    C( i, j, k, m, n)    P( k, m)    R( k, m)    .X. ( k, m)    .^ ( k, m, n)    F( k, m, n)    X( k, m)

Proof of Theorem pmatcollpw1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 pmatcollpw.c . . . . 5  |-  C  =  ( N Mat  P )
3 pmatcollpw.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
4 pmatcollpw.f . . . . 5  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k ) ) )
5 pmatcollpw.m . . . . 5  |-  .X.  =  ( .s `  P )
6 pmatcollpw.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
7 pmatcollpw.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmatcollpw1lem5 30908 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  ( a M b )  =  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) )
9 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) ) )
10 oveq12 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( i ( M F n ) j )  =  ( a ( M F n ) b ) )
1110oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
)  =  ( ( a ( M F n ) b ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) )
1211mpteq2dv 4384 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )
1312oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  =  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  ( i  =  a  /\  j  =  b ) )  ->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  =  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) )
15 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  a  e.  N )
16 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  b  e.  N )
17 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
18 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
191ply1rng 17708 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
20 rngcmn 16680 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
22213ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  P  e. CMnd )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  P  e. CMnd )
24 nn0ex 10590 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  NN0  e.  _V )
261ply1lmod 17712 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
27263ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  P  e.  LMod )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
29 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
a  e.  N )
30 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
b  e.  N )
31 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
32313adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
34 simpl3 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  M  e.  B )
3534anim1i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )
36 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
381, 2, 3, 4, 36, 37pmatcollpw1lem2 30902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  ( M F n )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
3933, 35, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( M F n )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
40 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4136, 40matecl 18331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N  /\  ( M F n )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )  ->  ( a ( M F n ) b )  e.  (
Base `  R )
)
4229, 30, 39, 41syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( a ( M F n ) b )  e.  ( Base `  R ) )
431ply1sca 17713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
4443eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  P )  =  R )
4544fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  R ) )
46453ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
4842, 47eleqtrrd 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( a ( M F n ) b )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
5049rngmgp 16656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
5119, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
52513ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
(mulGrp `  P )  e.  Mnd )
54 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
55 simp2 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
567, 1, 17vr1cl 17676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
5849, 17mgpbas 16602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
5957, 58syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  (mulGrp `  P ) ) )
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  (mulGrp `  P )
) )
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (mulGrp `  P )
)  =  ( Base `  (mulGrp `  P )
)
6261, 6mulgnn0cl 15648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  n  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  (mulGrp `  P
) ) )  -> 
( n  .^  X
)  e.  ( Base `  (mulGrp `  P )
) )
6353, 54, 60, 62syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  .^  X
)  e.  ( Base `  (mulGrp `  P )
) )
6463, 58syl6eleqr 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  .^  X
)  e.  ( Base `  P ) )
65 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
66 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
6717, 65, 5, 66lmodvscl 16970 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
a ( M F n ) b )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( n  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( a ( M F n ) b )  .X.  ( n  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
) )
6828, 48, 64, 67syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a ( M F n ) b )  .X.  (
n  .^  X )
)  e.  ( Base `  P ) )
69 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b )  .X.  ( n  .^  X ) ) )
7068, 69fmptd 5872 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) : NN0 --> (
Base `  P )
)
71 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  N  e.  Fin )
7255adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
7371, 72, 343jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  M  e.  B
) )
741, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmatcollpw1lem4 30907 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
7573, 15, 16, 74syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b )  .X.  ( n  .^  X ) ) ) finSupp  ( 0g
`  P ) )
7617, 18, 23, 25, 70, 75gsumcl 16402 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) )  e.  ( Base `  P ) )
779, 14, 15, 16, 76ovmpt2d 6223 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  ( a
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) ) b )  =  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( a ( M F n ) b )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) )
788, 77eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  ->  ( a M b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) ) b ) )
7978ralrimivva 2813 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a M b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) ) b ) )
80 simp3 990 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  B )
81 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
82193ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
83223ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e. CMnd )
8424a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  NN0  e.  _V )
85273ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  LMod )
8685adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
87 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  i  e.  N )
88 simpl3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  j  e.  N )
89323ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
91803ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  M  e.  B )
9291anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( M  e.  B  /\  n  e.  NN0 ) )
9390, 92, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( M F n )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
9436, 40matecl 18331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  ( M F n )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )  ->  ( i ( M F n ) j )  e.  (
Base `  R )
)
9587, 88, 93, 94syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( i
( M F n ) j )  e.  ( Base `  R
) )
96463ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
9796adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  R ) )
9895, 97eleqtrrd 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( i
( M F n ) j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
99523ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
10099adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P
)  e.  Mnd )
101 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
102563ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
1031023ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
104103adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P )
)
105104, 58syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  (mulGrp `  P
) ) )
106100, 101, 105, 62syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  (mulGrp `  P
) ) )
107106, 58syl6eleqr 2534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
10817, 65, 5, 66lmodvscl 16970 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
i ( M F n ) j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( n  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
) )
10986, 98, 107, 108syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
) )
110 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  ( n  .^  X ) ) )
111109, 110fmptd 5872 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) : NN0 --> ( Base `  P ) )
11281, 55, 803jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B ) )
113 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  B  =  B
114 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  NN0
115 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  (
i m j )  =  ( a m j ) )
116115fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (coe1 `  ( i m j ) )  =  (coe1 `  ( a m j ) ) )
117116fveq1d 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
(coe1 `  ( i m j ) ) `  k )  =  ( (coe1 `  ( a m j ) ) `  k ) )
118 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  b  ->  (
a m j )  =  ( a m b ) )
119118fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  b  ->  (coe1 `  ( a m j ) )  =  (coe1 `  ( a m b ) ) )
120119fveq1d 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  b  ->  (
(coe1 `  ( a m j ) ) `  k )  =  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) )
121117, 120cbvmpt2v 6171 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k
) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) )
122113, 114, 121mpt2eq123i 6154 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i m j ) ) `  k
) ) )  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) ) )
1234, 122eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  F  =  ( m  e.  B ,  k  e.  NN0  |->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( a m b ) ) `  k ) ) )
1241, 2, 3, 123, 5, 6, 7pmatcollpw1lem4 30907 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
125112, 124syl3an1 1251 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
12617, 18, 83, 84, 111, 125gsumcl 16402 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) )  e.  ( Base `  P
) )
1272, 17, 3, 81, 82, 126matbas2d 18329 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) )  e.  B )
1282, 3eqmat 30862 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) )  e.  B )  -> 
( M  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) )  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a M b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) ) b ) ) )
12980, 127, 128syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( M  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) )  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a M b )  =  ( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j )  .X.  (
n  .^  X )
) ) ) ) b ) ) )
13079, 129mpbird 232 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  M  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( i ( M F n ) j ) 
.X.  ( n  .^  X ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098   Fincfn 7315   finSupp cfsupp 7625   NN0cn0 10584   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   .scvsca 14247   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414  .gcmg 15419  CMndccmn 16282  mulGrpcmgp 16596   Ringcrg 16650   LModclmod 16953  var1cv1 17637  Poly1cpl1 17638  coe1cco1 17639   Mat cmat 18285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-prds 14391  df-pws 14393  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-srg 16613  df-rng 16652  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-psr 17428  df-mvr 17429  df-mpl 17430  df-opsr 17432  df-psr1 17641  df-vr1 17642  df-ply1 17643  df-coe1 17644  df-dsmm 18162  df-frlm 18177  df-mat 18287
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