Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw1 Structured version   Unicode version

Theorem pmatcollpw1 19144
 Description: Write a polynomial matrix as a matrix of sums of scaled monomials. (Contributed by AV, 29-Sep-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw1.p Poly1
pmatcollpw1.c Mat
pmatcollpw1.b
pmatcollpw1.m
pmatcollpw1.e .gmulGrp
pmatcollpw1.x var1
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw1 g decompPMat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem pmatcollpw1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw1.p . . . . 5 Poly1
2 pmatcollpw1.c . . . . 5 Mat
3 pmatcollpw1.b . . . . 5
4 pmatcollpw1.m . . . . 5
5 pmatcollpw1.e . . . . 5 .gmulGrp
6 pmatcollpw1.x . . . . 5 var1
71, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1lem2 19143 . . . 4 g decompPMat
8 eqidd 2468 . . . . 5 g decompPMat g decompPMat
9 oveq12 6304 . . . . . . . . 9 decompPMat decompPMat
109oveq1d 6310 . . . . . . . 8 decompPMat decompPMat
1110mpteq2dv 4540 . . . . . . 7 decompPMat decompPMat
1211oveq2d 6311 . . . . . 6 g decompPMat g decompPMat
1312adantl 466 . . . . 5 g decompPMat g decompPMat
14 simprl 755 . . . . 5
15 simprr 756 . . . . 5
16 eqid 2467 . . . . . 6
17 eqid 2467 . . . . . 6
181ply1ring 18157 . . . . . . . . 9
19 ringcmn 17099 . . . . . . . . 9 CMnd
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8 CMnd
21203ad2ant2 1018 . . . . . . 7 CMnd
2221adantr 465 . . . . . 6 CMnd
23 nn0ex 10813 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
25 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
2625adantr 465 . . . . . . . 8
27 eqid 2467 . . . . . . . . 9 Mat Mat
28 eqid 2467 . . . . . . . . 9
29 eqid 2467 . . . . . . . . 9 Mat Mat
30 simplrl 759 . . . . . . . . 9
3115adantr 465 . . . . . . . . 9
32 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10
34 simpr 461 . . . . . . . . . 10
351, 2, 3, 27, 29decpmatcl 19135 . . . . . . . . . 10 decompPMat Mat
3626, 33, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 decompPMat Mat
3727, 28, 29, 30, 31, 36matecld 18795 . . . . . . . 8 decompPMat
38 eqid 2467 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
3928, 1, 6, 4, 38, 5, 16ply1tmcl 18181 . . . . . . . 8 decompPMat decompPMat
4026, 37, 34, 39syl3anc 1228 . . . . . . 7 decompPMat
41 eqid 2467 . . . . . . 7 decompPMat decompPMat
4240, 41fmptd 6056 . . . . . 6 decompPMat
431, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1lem1 19142 . . . . . . 7 decompPMat finSupp
44433expb 1197 . . . . . 6 decompPMat finSupp
4516, 17, 22, 24, 42, 44gsumcl 16794 . . . . 5 g decompPMat
468, 13, 14, 15, 45ovmpt2d 6425 . . . 4 g decompPMat g decompPMat
477, 46eqtr4d 2511 . . 3 g decompPMat
4847ralrimivva 2888 . 2 g decompPMat
49 simp3 998 . . 3
50 simp1 996 . . . 4
51183ad2ant2 1018 . . . 4
52213ad2ant1 1017 . . . . 5 CMnd
5323a1i 11 . . . . 5
54 simpl12 1072 . . . . . . 7
55 simpl2 1000 . . . . . . . 8
56 simpl3 1001 . . . . . . . 8
57493ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
5857adantr 465 . . . . . . . . 9
59 simpr 461 . . . . . . . . 9
6054, 58, 59, 35syl3anc 1228 . . . . . . . 8 decompPMat Mat
6127, 28, 29, 55, 56, 60matecld 18795 . . . . . . 7 decompPMat
6228, 1, 6, 4, 38, 5, 16ply1tmcl 18181 . . . . . . 7 decompPMat decompPMat
6354, 61, 59, 62syl3anc 1228 . . . . . 6 decompPMat
64 eqid 2467 . . . . . 6 decompPMat decompPMat
6563, 64fmptd 6056 . . . . 5 decompPMat
661, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1lem1 19142 . . . . 5 decompPMat finSupp
6716, 17, 52, 53, 65, 66gsumcl 16794 . . . 4 g decompPMat
682, 16, 3, 50, 51, 67matbas2d 18792 . . 3 g decompPMat
692, 3eqmat 18793 . . 3 g decompPMat g decompPMat g decompPMat
7049, 68, 69syl2anc 661 . 2 g decompPMat g decompPMat
7148, 70mpbird 232 1 g decompPMat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   class class class wbr 4453   cmpt 4511  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  cfn 7528   finSupp cfsupp 7841  cn0 10807  cbs 14506  cvsca 14575  c0g 14711   g cgsu 14712  .gcmg 15927  CMndccmn 16669  mulGrpcmgp 17011  crg 17068  var1cv1 18083  Poly1cpl1 18084   Mat cmat 18776   decompPMat cdecpmat 19130 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-prds 14719  df-pws 14721  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-srg 17028  df-ring 17070  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-sra 17687  df-rgmod 17688  df-psr 17873  df-mvr 17874  df-mpl 17875  df-opsr 17877  df-psr1 18087  df-vr1 18088  df-ply1 18089  df-coe1 18090  df-dsmm 18630  df-frlm 18645  df-mat 18777  df-decpmat 19131 This theorem is referenced by:  pmatcollpw2  19146
 Copyright terms: Public domain W3C validator