Theorem pmapsub 30250

Description: The projective map of a Hilbert lattice maps to projective subspaces. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsub.b	|- B = ( Base ` K )
pmapsub.s	|- S = ( PSubSp ` K )
pmapsub.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmapsub	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Proof of Theorem pmapsub

Dummy variables q p r c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapsub.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2404	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		eqid 2404	. . 3 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
4		pmapsub.m	. . 3 |- M = ( pmap ` K )
5	1, 2, 3, 4	pmapval 30239	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } )
6		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = p -> ( c ( le ` K ) X <-> p ( le ` K ) X ) )
7	6	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) )
8	1, 3	atbase 29772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
9	8	anim1i 552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
10	7, 9	sylbi 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
11		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = q -> ( c ( le ` K ) X <-> q ( le ` K ) X ) )
12	11	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) )
13	1, 3	atbase 29772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
14	13	anim1i 552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
15	12, 14	sylbi 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
16	10, 15	anim12i 550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) )
17		an4 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) <-> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
18	16, 17	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
19	18	anim2i 553	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) )
20	1, 3	atbase 29772	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( Atoms ` K ) -> r e. B )
21		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
22	1, 2, 21	latjle12 14446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) <-> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
23	22	biimpd 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
24	23	3exp2 1171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Lat -> ( p e. B -> ( q e. B -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) ) )
25	24	imp3a 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
26	25	com23 74	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
27	26	imp43 579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
28	27	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
29	1, 21	latjcl 14434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B )
30	29	3expib 1156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B ) )
31	1, 2	lattr 14440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( r e. B /\ ( p ( join ` K ) q ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
32	31	3exp2 1171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Lat -> ( r e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( X e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
33	32	com24 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
34	30, 33	syl5d 64	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
35	34	imp41 577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
36	35	adantlrr 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
37	28, 36	mpan2d 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
38	19, 20, 37	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
39		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> r e. ( Atoms ` K ) )
40	38, 39	jctild 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) ) )
41		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( c = r -> ( c ( le ` K ) X <-> r ( le ` K ) X ) )
42	41	elrab 3052	. . . . . . 7 |- ( r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) )
43	40, 42	syl6ibr 219	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
44	43	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
45	44	ralrimivva 2758	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
46		ssrab2 3388	. . . 4 |- { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K )
47	45, 46	jctil 524	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) )
48		pmapsub.s	. . . . 5 |- S = ( PSubSp ` K )
49	2, 21, 3, 48	ispsubsp 30227	. . . 4 |- ( K e. Lat -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
50	49	adantr 452	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
51	47, 50	mpbird 224	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S )
52	5, 51	eqeltrd 2478	1 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   Latclat 14429   Atomscatm 29746   PSubSpcpsubsp 29978   pmapcpmap 29979

This theorem is referenced by:  hlmod1i  30338  polsubN  30389  pl42lem4N  30464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-lub 14386  df-join 14388  df-lat 14430  df-ats 29750  df-psubsp 29985  df-pmap 29986