Theorem pmapsub 33134

Description: The projective map of a Hilbert lattice maps to projective subspaces. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsub.b	|- B = ( Base ` K )
pmapsub.s	|- S = ( PSubSp ` K )
pmapsub.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmapsub	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Proof of Theorem pmapsub

Dummy variables q p r c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapsub.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2441	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		eqid 2441	. . 3 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
4		pmapsub.m	. . 3 |- M = ( pmap ` K )
5	1, 2, 3, 4	pmapval 33123	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } )
6		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = p -> ( c ( le ` K ) X <-> p ( le ` K ) X ) )
7	6	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) )
8	1, 3	atbase 32656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
9	8	anim1i 565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
10	7, 9	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
11		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = q -> ( c ( le ` K ) X <-> q ( le ` K ) X ) )
12	11	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) )
13	1, 3	atbase 32656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
14	13	anim1i 565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
15	12, 14	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
16	10, 15	anim12i 563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) )
17		an4 815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) <-> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
18	16, 17	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
19	18	anim2i 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) )
20	1, 3	atbase 32656	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( Atoms ` K ) -> r e. B )
21		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
22	1, 2, 21	latjle12 15228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) <-> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
23	22	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
24	23	3exp2 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Lat -> ( p e. B -> ( q e. B -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) ) )
25	24	imp3a 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
26	25	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
27	26	imp43 592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
28	27	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
29	1, 21	latjcl 15217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B )
30	29	3expib 1185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B ) )
31	1, 2	lattr 15222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( r e. B /\ ( p ( join ` K ) q ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
32	31	3exp2 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Lat -> ( r e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( X e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
33	32	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
34	30, 33	syl5d 67	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
35	34	imp41 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
36	35	adantlrr 715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
37	28, 36	mpan2d 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
38	19, 20, 37	syl2an 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
39		simpr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> r e. ( Atoms ` K ) )
40	38, 39	jctild 540	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) ) )
41		breq1 4292	. . . . . . . 8 |- ( c = r -> ( c ( le ` K ) X <-> r ( le ` K ) X ) )
42	41	elrab 3114	. . . . . . 7 |- ( r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) )
43	40, 42	syl6ibr 227	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
44	43	ralrimiva 2797	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
45	44	ralrimivva 2806	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
46		ssrab2 3434	. . . 4 |- { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K )
47	45, 46	jctil 534	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) )
48		pmapsub.s	. . . . 5 |- S = ( PSubSp ` K )
49	2, 21, 3, 48	ispsubsp 33111	. . . 4 |- ( K e. Lat -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
50	49	adantr 462	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
51	47, 50	mpbird 232	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S )
52	5, 51	eqeltrd 2515	1 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   lecple 14241   joincjn 15110   Latclat 15211   Atomscatm 32630   PSubSpcpsubsp 32862   pmapcpmap 32863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-poset 15112  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-lat 15212  df-ats 32634  df-psubsp 32869  df-pmap 32870

This theorem is referenced by:  hlmod1i  33222  polsubN  33273  pl42lem4N  33348