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Theorem pmapsub 34582
Description: The projective map of a Hilbert lattice maps to projective subspaces. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapsub.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapsub.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pmapsub.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapsub  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  e.  S )

Proof of Theorem pmapsub
Dummy variables  q  p  r  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmapsub.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
4 pmapsub.m . . 3  |-  M  =  ( pmap `  K
)
51, 2, 3, 4pmapval 34571 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } )
6 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  p  ->  (
c ( le `  K ) X  <->  p ( le `  K ) X ) )
76elrab 3261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  <->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X ) )
81, 3atbase 34104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
98anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  -> 
( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X ) )
107, 9sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  ->  ( p  e.  B  /\  p
( le `  K
) X ) )
11 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  q  ->  (
c ( le `  K ) X  <->  q ( le `  K ) X ) )
1211elrab 3261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  <->  ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X ) )
131, 3atbase 34104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
1413anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  q
( le `  K
) X )  -> 
( q  e.  B  /\  q ( le `  K ) X ) )
1512, 14sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  ->  ( q  e.  B  /\  q
( le `  K
) X ) )
1610, 15anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
)  ->  ( (
p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X )  /\  ( q  e.  B  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
17 an4 822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X )  /\  ( q  e.  B  /\  q ( le `  K ) X ) )  <->  ( (
p  e.  B  /\  q  e.  B )  /\  ( p ( le
`  K ) X  /\  q ( le
`  K ) X ) ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
)  ->  ( (
p  e.  B  /\  q  e.  B )  /\  ( p ( le
`  K ) X  /\  q ( le
`  K ) X ) ) )
1918anim2i 569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e. 
{ c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) )  ->  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  /\  ( p
( le `  K
) X  /\  q
( le `  K
) X ) ) ) )
201, 3atbase 34104 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  B )
21 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
221, 2, 21latjle12 15549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  q  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) X  /\  q ( le
`  K ) X )  <->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X ) )
2322biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  q  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) X  /\  q ( le
`  K ) X )  ->  ( p
( join `  K )
q ) ( le
`  K ) X ) )
24233exp2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
p  e.  B  -> 
( q  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p ( le `  K ) X  /\  q ( le `  K ) X )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) X ) ) ) ) )
2524impd 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p ( le `  K ) X  /\  q ( le `  K ) X )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X ) ) ) )
2625com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  ->  ( (
p ( le `  K ) X  /\  q ( le `  K ) X )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X ) ) ) )
2726imp43 595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  /\  ( ( p  e.  B  /\  q  e.  B )  /\  (
p ( le `  K ) X  /\  q ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) X )
2827adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  /\  ( p
( le `  K
) X  /\  q
( le `  K
) X ) ) )  /\  r  e.  B )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) X )
291, 21latjcl 15538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  p  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( p ( join `  K ) q )  e.  B )
30293expib 1199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  ->  ( p
( join `  K )
q )  e.  B
) )
311, 2lattr 15543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  B  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X )  ->  r ( le `  K ) X ) )
32313exp2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
r  e.  B  -> 
( ( p (
join `  K )
q )  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X )  ->  r ( le `  K ) X ) ) ) ) )
3332com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p ( join `  K ) q )  e.  B  ->  (
r  e.  B  -> 
( ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X )  ->  r ( le `  K ) X ) ) ) ) )
3430, 33syl5d 67 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  ->  ( r  e.  B  ->  ( ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) X )  -> 
r ( le `  K ) X ) ) ) ) )
3534imp41 593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  B  /\  q  e.  B )
)  /\  r  e.  B )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) X )  -> 
r ( le `  K ) X ) )
3635adantlrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  /\  ( p
( le `  K
) X  /\  q
( le `  K
) X ) ) )  /\  r  e.  B )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) X )  -> 
r ( le `  K ) X ) )
3728, 36mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  /\  ( p
( le `  K
) X  /\  q
( le `  K
) X ) ) )  /\  r  e.  B )  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) X ) )
3819, 20, 37syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r
( le `  K
) X ) )
39 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  r  e.  ( Atoms `  K )
)
4038, 39jctild 543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  (
r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r
( le `  K
) X ) ) )
41 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  r  ->  (
c ( le `  K ) X  <->  r ( le `  K ) X ) )
4241elrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) X ) )
4340, 42syl6ibr 227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )
4443ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e. 
{ c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) )  ->  A. r  e.  (
Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) )
4544ralrimivva 2885 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  A. p  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) X } A. q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X } A. r  e.  ( Atoms `  K )
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) )
46 ssrab2 3585 . . . 4  |-  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  C_  ( Atoms `  K )
4745, 46jctil 537 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X } A. q  e. 
{ c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X } A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) ) )
48 pmapsub.s . . . . 5  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
492, 21, 3, 48ispsubsp 34559 . . . 4  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }  e.  S  <->  ( { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } A. q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X } A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) ) ) )
5049adantr 465 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  e.  S  <->  ( {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) X }  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) X } A. q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X } A. r  e.  ( Atoms `  K )
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) ) ) )
5147, 50mpbird 232 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }  e.  S )
525, 51eqeltrd 2555 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   lecple 14562   joincjn 15431   Latclat 15532   Atomscatm 34078   PSubSpcpsubsp 34310   pmapcpmap 34311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-poset 15433  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-lat 15533  df-ats 34082  df-psubsp 34317  df-pmap 34318
This theorem is referenced by:  hlmod1i  34670  polsubN  34721  pl42lem4N  34796
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