Theorem pmapsub 33327

Description: The projective map of a Hilbert lattice maps to projective subspaces. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsub.b	|- B = ( Base ` K )
pmapsub.s	|- S = ( PSubSp ` K )
pmapsub.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmapsub	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Proof of Theorem pmapsub

Dummy variables q p r c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapsub.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2450	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		eqid 2450	. . 3 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
4		pmapsub.m	. . 3 |- M = ( pmap ` K )
5	1, 2, 3, 4	pmapval 33316	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } )
6		breq1 4404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = p -> ( c ( le ` K ) X <-> p ( le ` K ) X ) )
7	6	elrab 3195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) )
8	1, 3	atbase 32849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
9	8	anim1i 571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
10	7, 9	sylbi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
11		breq1 4404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = q -> ( c ( le ` K ) X <-> q ( le ` K ) X ) )
12	11	elrab 3195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) )
13	1, 3	atbase 32849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
14	13	anim1i 571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
15	12, 14	sylbi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
16	10, 15	anim12i 569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) )
17		an4 832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) <-> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
18	16, 17	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
19	18	anim2i 572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) )
20	1, 3	atbase 32849	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( Atoms ` K ) -> r e. B )
21		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
22	1, 2, 21	latjle12 16301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) <-> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
23	22	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
24	23	3exp2 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Lat -> ( p e. B -> ( q e. B -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) ) )
25	24	impd 433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
26	25	com23 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
27	26	imp43 599	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
28	27	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
29	1, 21	latjcl 16290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B )
30	29	3expib 1210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B ) )
31	1, 2	lattr 16295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( r e. B /\ ( p ( join ` K ) q ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
32	31	3exp2 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Lat -> ( r e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( X e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
33	32	com24 90	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
34	30, 33	syl5d 69	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
35	34	imp41 597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
36	35	adantlrr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
37	28, 36	mpan2d 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
38	19, 20, 37	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
39		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> r e. ( Atoms ` K ) )
40	38, 39	jctild 546	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) ) )
41		breq1 4404	. . . . . . . 8 |- ( c = r -> ( c ( le ` K ) X <-> r ( le ` K ) X ) )
42	41	elrab 3195	. . . . . . 7 |- ( r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) )
43	40, 42	syl6ibr 231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
44	43	ralrimiva 2801	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
45	44	ralrimivva 2808	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
46		ssrab2 3513	. . . 4 |- { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K )
47	45, 46	jctil 540	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) )
48		pmapsub.s	. . . . 5 |- S = ( PSubSp ` K )
49	2, 21, 3, 48	ispsubsp 33304	. . . 4 |- ( K e. Lat -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
50	49	adantr 467	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
51	47, 50	mpbird 236	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S )
52	5, 51	eqeltrd 2528	1 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740   C_ wss 3403   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   lecple 15190   joincjn 16182   Latclat 16284   Atomscatm 32823   PSubSpcpsubsp 33055   pmapcpmap 33056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-poset 16184  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-lat 16285  df-ats 32827  df-psubsp 33062  df-pmap 33063

This theorem is referenced by:  hlmod1i  33415  polsubN  33466  pl42lem4N  33541