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Theorem pmapsub 33327
Description: The projective map of a Hilbert lattice maps to projective subspaces. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapsub.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapsub.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pmapsub.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapsub  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  e.  S )

Proof of Theorem pmapsub
Dummy variables  q  p  r  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmapsub.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2450 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 eqid 2450 . . 3  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
4 pmapsub.m . . 3  |-  M  =  ( pmap `  K
)
51, 2, 3, 4pmapval 33316 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } )
6 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  p  ->  (
c ( le `  K ) X  <->  p ( le `  K ) X ) )
76elrab 3195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  <->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X ) )
81, 3atbase 32849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
98anim1i 571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  -> 
( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X ) )
107, 9sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  ->  ( p  e.  B  /\  p
( le `  K
) X ) )
11 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  q  ->  (
c ( le `  K ) X  <->  q ( le `  K ) X ) )
1211elrab 3195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  <->  ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X ) )
131, 3atbase 32849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
1413anim1i 571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  q
( le `  K
) X )  -> 
( q  e.  B  /\  q ( le `  K ) X ) )
1512, 14sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  ->  ( q  e.  B  /\  q
( le `  K
) X ) )
1610, 15anim12i 569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
)  ->  ( (
p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X )  /\  ( q  e.  B  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
17 an4 832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X )  /\  ( q  e.  B  /\  q ( le `  K ) X ) )  <->  ( (
p  e.  B  /\  q  e.  B )  /\  ( p ( le
`  K ) X  /\  q ( le
`  K ) X ) ) )
1816, 17sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
)  ->  ( (
p  e.  B  /\  q  e.  B )  /\  ( p ( le
`  K ) X  /\  q ( le
`  K ) X ) ) )
1918anim2i 572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e. 
{ c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) )  ->  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  /\  ( p
( le `  K
) X  /\  q
( le `  K
) X ) ) ) )
201, 3atbase 32849 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  B )
21 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
221, 2, 21latjle12 16301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  q  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) X  /\  q ( le
`  K ) X )  <->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X ) )
2322biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  q  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) X  /\  q ( le
`  K ) X )  ->  ( p
( join `  K )
q ) ( le
`  K ) X ) )
24233exp2 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
p  e.  B  -> 
( q  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p ( le `  K ) X  /\  q ( le `  K ) X )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) X ) ) ) ) )
2524impd 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p ( le `  K ) X  /\  q ( le `  K ) X )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X ) ) ) )
2625com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  ->  ( (
p ( le `  K ) X  /\  q ( le `  K ) X )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X ) ) ) )
2726imp43 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  /\  ( ( p  e.  B  /\  q  e.  B )  /\  (
p ( le `  K ) X  /\  q ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) X )
2827adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  /\  ( p
( le `  K
) X  /\  q
( le `  K
) X ) ) )  /\  r  e.  B )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) X )
291, 21latjcl 16290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  p  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( p ( join `  K ) q )  e.  B )
30293expib 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  ->  ( p
( join `  K )
q )  e.  B
) )
311, 2lattr 16295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  B  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X )  ->  r ( le `  K ) X ) )
32313exp2 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
r  e.  B  -> 
( ( p (
join `  K )
q )  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X )  ->  r ( le `  K ) X ) ) ) ) )
3332com24 90 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p ( join `  K ) q )  e.  B  ->  (
r  e.  B  -> 
( ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) X )  ->  r ( le `  K ) X ) ) ) ) )
3430, 33syl5d 69 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  ->  ( r  e.  B  ->  ( ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) X )  -> 
r ( le `  K ) X ) ) ) ) )
3534imp41 597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  B  /\  q  e.  B )
)  /\  r  e.  B )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) X )  -> 
r ( le `  K ) X ) )
3635adantlrr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  /\  ( p
( le `  K
) X  /\  q
( le `  K
) X ) ) )  /\  r  e.  B )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) X )  -> 
r ( le `  K ) X ) )
3728, 36mpan2d 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
( p  e.  B  /\  q  e.  B
)  /\  ( p
( le `  K
) X  /\  q
( le `  K
) X ) ) )  /\  r  e.  B )  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) X ) )
3819, 20, 37syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r
( le `  K
) X ) )
39 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  r  e.  ( Atoms `  K )
)
4038, 39jctild 546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  (
r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r
( le `  K
) X ) ) )
41 breq1 4404 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  r  ->  (
c ( le `  K ) X  <->  r ( le `  K ) X ) )
4241elrab 3195 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) X ) )
4340, 42syl6ibr 231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }
) )
4443ralrimiva 2801 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e. 
{ c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }  /\  q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) )  ->  A. r  e.  (
Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) )
4544ralrimivva 2808 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  A. p  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) X } A. q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X } A. r  e.  ( Atoms `  K )
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) )
46 ssrab2 3513 . . . 4  |-  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  C_  ( Atoms `  K )
4745, 46jctil 540 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X } A. q  e. 
{ c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X } A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) ) )
48 pmapsub.s . . . . 5  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
492, 21, 3, 48ispsubsp 33304 . . . 4  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }  e.  S  <->  ( { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X }  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } A. q  e.  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X } A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) ) ) )
5049adantr 467 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X }  e.  S  <->  ( {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) X }  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) X } A. q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) X } A. r  e.  ( Atoms `  K )
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) X } ) ) ) )
5147, 50mpbird 236 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) X }  e.  S )
525, 51eqeltrd 2528 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740    C_ wss 3403   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   lecple 15190   joincjn 16182   Latclat 16284   Atomscatm 32823   PSubSpcpsubsp 33055   pmapcpmap 33056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-poset 16184  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-lat 16285  df-ats 32827  df-psubsp 33062  df-pmap 33063
This theorem is referenced by:  hlmod1i  33415  polsubN  33466  pl42lem4N  33541
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