Theorem pmapsub 33071

Description: The projective map of a Hilbert lattice maps to projective subspaces. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsub.b	|- B = ( Base ` K )
pmapsub.s	|- S = ( PSubSp ` K )
pmapsub.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmapsub	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Proof of Theorem pmapsub

Dummy variables q p r c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapsub.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2420	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		eqid 2420	. . 3 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
4		pmapsub.m	. . 3 |- M = ( pmap ` K )
5	1, 2, 3, 4	pmapval 33060	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } )
6		breq1 4420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = p -> ( c ( le ` K ) X <-> p ( le ` K ) X ) )
7	6	elrab 3226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) )
8	1, 3	atbase 32593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
9	8	anim1i 570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
10	7, 9	sylbi 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
11		breq1 4420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = q -> ( c ( le ` K ) X <-> q ( le ` K ) X ) )
12	11	elrab 3226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) )
13	1, 3	atbase 32593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
14	13	anim1i 570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
15	12, 14	sylbi 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
16	10, 15	anim12i 568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) )
17		an4 831	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) <-> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
18	16, 17	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
19	18	anim2i 571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) )
20	1, 3	atbase 32593	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( Atoms ` K ) -> r e. B )
21		eqid 2420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
22	1, 2, 21	latjle12 16252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) <-> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
23	22	biimpd 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
24	23	3exp2 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Lat -> ( p e. B -> ( q e. B -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) ) )
25	24	impd 432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
26	25	com23 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
27	26	imp43 598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
28	27	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
29	1, 21	latjcl 16241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B )
30	29	3expib 1208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B ) )
31	1, 2	lattr 16246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( r e. B /\ ( p ( join ` K ) q ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
32	31	3exp2 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Lat -> ( r e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( X e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
33	32	com24 90	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
34	30, 33	syl5d 69	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
35	34	imp41 596	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
36	35	adantlrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
37	28, 36	mpan2d 678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
38	19, 20, 37	syl2an 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
39		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> r e. ( Atoms ` K ) )
40	38, 39	jctild 545	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) ) )
41		breq1 4420	. . . . . . . 8 |- ( c = r -> ( c ( le ` K ) X <-> r ( le ` K ) X ) )
42	41	elrab 3226	. . . . . . 7 |- ( r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) )
43	40, 42	syl6ibr 230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
44	43	ralrimiva 2837	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
45	44	ralrimivva 2844	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
46		ssrab2 3543	. . . 4 |- { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K )
47	45, 46	jctil 539	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) )
48		pmapsub.s	. . . . 5 |- S = ( PSubSp ` K )
49	2, 21, 3, 48	ispsubsp 33048	. . . 4 |- ( K e. Lat -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
50	49	adantr 466	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
51	47, 50	mpbird 235	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S )
52	5, 51	eqeltrd 2508	1 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   A.wral 2773   {crab 2777   C_ wss 3433   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   lecple 15149   joincjn 16133   Latclat 16235   Atomscatm 32567   PSubSpcpsubsp 32799   pmapcpmap 32800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-poset 16135  df-lub 16164  df-glb 16165  df-join 16166  df-meet 16167  df-lat 16236  df-ats 32571  df-psubsp 32806  df-pmap 32807

This theorem is referenced by:  hlmod1i  33159  polsubN  33210  pl42lem4N  33285