Theorem pmapssat 17239

Description: The projective map of a Hilbert lattice is a set of atoms.

Hypotheses

Ref	Expression
pmapssat.b	|- B = (base` K)
pmapssat.a	|- A = (AtomsNEW` K)
pmapssat.m	|- M = (pmap` K)

Assertion

Ref	Expression
pmapssat	|- ((K e. C /\ X e. B) -> (M` X) C_ A)

Proof of Theorem pmapssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapssat.b	. . 3 |- B = (base` K)
2		eqid 1884	. . 3 |- (le` K) = (le` K)
3		pmapssat.a	. . 3 |- A = (AtomsNEW` K)
4		pmapssat.m	. . 3 |- M = (pmap` K)
5	1, 2, 3, 4	pmapval 17237	. 2 |- ((K e. C /\ X e. B) -> (M` X) = {p e. A | p(le` K)X})
6		ssrab2 2692	. . 3 |- {p e. A | p(le` K)X} C_ A
7	6	a1i 8	. 2 |- ((K e. C /\ X e. B) -> {p e. A | p(le` K)X} C_ A)
8	5, 7	eqsstrd 2651	1 |- ((K e. C /\ X e. B) -> (M` X) C_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  AtomsNEWcatm 16981  pmapcpmap 17214

This theorem is referenced by:  pmapssba 17240  pmapglb2 17253  pmapglb2x 17254  pmapjoin 17313  pmapjat 17314  polpmap 17324  2pmaplub 17336  pmapj2 17339  pmapocj 17340  polat 17341  pmapsubcl 17355  ispsubcl2 17356  pl42lem2 17408  pl42lem3 17409

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-pmap 17218

Copyright terms: Public domain