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Theorem pmaple 34434
Description: The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmaple.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmaple.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pmaple.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmaple  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( M `  X )  C_  ( M `  Y )
) )

Proof of Theorem pmaple
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlpos 34039 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
2 pmaple.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
42, 3atbase 33963 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
5 pmaple.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .<_  =  ( le `  K )
62, 5postr 15431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
76exp4b 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
873expd 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( p  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p 
.<_  Y ) ) ) ) ) )
98com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( p  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p 
.<_  Y ) ) ) ) ) )
109com34 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  (
p  e.  B  -> 
( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) ) ) )
11103imp 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  B  -> 
( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
124, 11syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1312com34 83 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( X  .<_  Y  ->  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1413com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1514ralrimdv 2875 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K )
( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
161, 15syl3an1 1256 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( p  .<_  X  ->  p 
.<_  Y ) ) )
17 ss2rab 3571 . . . 4  |-  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  <->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( p 
.<_  X  ->  p  .<_  Y ) )
1816, 17syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
19 hlclat 34032 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
20 ssrab2 3580 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  C_  ( Atoms `  K )
212, 3atssbase 33964 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  C_  B
2220, 21sstri 3508 . . . . . . . 8  |-  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  C_  B
23 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
242, 5, 23lubss 15599 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y }  C_  B  /\  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) )
2522, 24mp3an2 1307 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) )
2625ex 434 . . . . . 6  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
2719, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
28273ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
29 hlomcmat 34038 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
) )
30293ad2ant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat ) )
31 simp2 992 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
322, 5, 23, 3atlatmstc 33993 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  =  X )
3330, 31, 32syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  =  X )
34 simp3 993 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
352, 5, 23, 3atlatmstc 33993 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  =  Y )
3630, 34, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  =  Y )
3733, 36breq12d 4455 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  <->  X  .<_  Y ) )
3828, 37sylibd 214 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  X  .<_  Y )
)
3918, 38impbid 191 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
40 pmaple.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
412, 5, 3, 40pmapval 34430 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)
42413adant3 1011 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)
432, 5, 3, 40pmapval 34430 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)
44433adant2 1010 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)
4542, 44sseq12d 3528 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
4639, 45bitr4d 256 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( M `  X )  C_  ( M `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   {crab 2813    C_ wss 3471   class class class wbr 4442   ` cfv 5581   Basecbs 14481   lecple 14553   Posetcpo 15418   lubclub 15420   CLatccla 15585   OMLcoml 33849   Atomscatm 33937   AtLatcal 33938   HLchlt 34024   pmapcpmap 34170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-lat 15524  df-clat 15586  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025  df-pmap 34177
This theorem is referenced by:  pmap11  34435  hlmod1i  34529  paddunN  34600  pmapojoinN  34641  pl42N  34656
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