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Theorem pmapjoin 34865
Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjoin.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapjoin.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pmapjoin.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
pmapjoin.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapjoin  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) )

Proof of Theorem pmapjoin
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
3 pmapjoin.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 34303 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7 pmapjoin.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
83, 6, 7latlej1 15550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) )
10 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Lat )
11 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  p  e.  B )
12 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X  e.  B )
133, 7latjcl 15541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
153, 6lattr 15546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( (
p ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
1610, 11, 12, 14, 15syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
p ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
179, 16mpan2d 674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) X  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
1817expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
195, 18sylani 654 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
202, 19jcad 533 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
21 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) Y )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
233, 6, 7latlej2 15551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) )
25 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
263, 6lattr 15546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( (
p ( le `  K ) Y  /\  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
2710, 11, 25, 14, 26syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
p ( le `  K ) Y  /\  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
2824, 27mpan2d 674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
2928expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
305, 29sylani 654 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
3122, 30jcad 533 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
3220, 31jaod 380 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
33 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
35 pmapjoin.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  ( pmap `  K
)
363, 6, 4, 35elpmap 34771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
37363adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
383, 6, 4, 35elpmap 34771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( r  e.  ( M `  Y )  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) ) )
39383adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( r  e.  ( M `  Y )  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) ) )
4037, 39anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q ( le `  K ) X )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r ( le `  K ) Y ) ) ) )
41 an4 822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) )
4240, 41syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
q  e.  ( M `
 X )  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( (
q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) ) )
443, 4atbase 34303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
453, 4atbase 34303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  B )
4644, 45anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )
47 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  K  e.  Lat )
48 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  q  e.  B )
49 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
50 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  r  e.  B )
51 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
523, 6, 7latjlej12 15557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( q  e.  B  /\  X  e.  B
)  /\  ( r  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
5347, 48, 49, 50, 51, 52syl122anc 1237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  ( q  .\/  r ) ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
54 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  p  e.  B )
553, 7latjcl 15541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( q  .\/  r
)  e.  B )
5647, 48, 50, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( q  .\/  r )  e.  B
)
5713ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
583, 6lattr 15546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  ( q  .\/  r
)  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) ( q  .\/  r )  /\  (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
5947, 54, 56, 57, 58syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  /\  ( q  .\/  r
) ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6059expcomd 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y )  ->  ( p
( le `  K
) ( q  .\/  r )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6153, 60syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  ( p ( le `  K ) ( q  .\/  r
)  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6261expimpd 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( q  e.  B  /\  r  e.  B
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( q  .\/  r
)  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6346, 62sylani 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( q ( le
`  K ) X  /\  r ( le
`  K ) Y ) )  ->  (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  ->  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
6443, 63sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
q  e.  ( M `
 X )  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  -> 
( p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6564rexlimdvv 2961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6665expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
675, 66sylani 654 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6834, 67jcad 533 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
6932, 68jaod 380 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  \/  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
70 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
713, 4, 35pmapssat 34772 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
72713adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
733, 4, 35pmapssat 34772 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
74733adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
75 pmapjoin.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +P `  K
)
766, 7, 4, 75elpadd 34812 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( M `  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  <->  ( ( p  e.  ( M `  X )  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
7770, 72, 74, 76syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  <->  ( (
p  e.  ( M `
 X )  \/  p  e.  ( M `
 Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) ) ) )
783, 6, 4, 35elpmap 34771 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  X )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X ) ) )
79783adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  X )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X ) ) )
803, 6, 4, 35elpmap 34771 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  Y )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
81803adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  Y )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
8279, 81orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( M `  X
)  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  <->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  \/  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) ) )
8382orbi1d 702 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( p  e.  ( M `  X )  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )  <->  ( (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
8477, 83bitrd 253 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  <->  ( (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
853, 6, 4, 35elpmap 34771 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
8670, 13, 85syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
8769, 84, 863imtr4d 268 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  ->  p  e.  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) ) )
8887ssrdv 3510 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   lecple 14565   joincjn 15434   Latclat 15535   Atomscatm 34277   pmapcpmap 34510   +Pcpadd 34808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-poset 15436  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-lat 15536  df-ats 34281  df-pmap 34517  df-padd 34809
This theorem is referenced by:  pmapjat1  34866  hlmod1i  34869  paddunN  34940  pl42lem2N  34993
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