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Theorem pmapjat1 35678
Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapjat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pmapjat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pmapjat.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
pmapjat.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapjat1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) ) )

Proof of Theorem pmapjat1
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  HL )
2 pmapjat.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 pmapjat.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 35115 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
543ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  e.  B )
6 pmapjat.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( pmap `  K
)
72, 3, 6pmapssat 35584 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  B )  ->  ( M `  Q
)  C_  A )
81, 5, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  Q
)  C_  A )
9 pmapjat.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +P `  K
)
103, 9padd02 35637 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( M `  Q ) 
C_  A )  -> 
( (/)  .+  ( M `  Q ) )  =  ( M `  Q
) )
111, 8, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( (/)  .+  ( M `
 Q ) )  =  ( M `  Q ) )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (/)  .+  ( M `  Q )
)  =  ( M `
 Q ) )
13 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( M `  X )  =  ( M `  ( 0. `  K ) ) )
14 hlatl 35186 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
15143ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  AtLat )
16 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
1716, 6pmap0 35590 . . . . . 6  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( M `  ( 0. `  K
) )  =  (/) )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( 0. `  K ) )  =  (/) )
1913, 18sylan9eqr 2520 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  X )  =  (/) )
2019oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) )  =  ( (/)  .+  ( M `  Q
) ) )
21 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X  .\/  Q )  =  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
) )
22 hlol 35187 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
23223ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  OL )
24 pmapjat.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
252, 24, 16olj02 35052 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
)  =  Q )
2623, 5, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
)  =  Q )
2721, 26sylan9eqr 2520 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( X  .\/  Q )  =  Q )
2827fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( M `
 Q ) )
2912, 20, 283eqtr4rd 2509 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `  X ) 
.+  ( M `  Q ) ) )
30 simpll1 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3130adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  K  e.  HL )
32 simpll2 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  X  e.  B )
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  X  e.  B )
34 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  p  e.  A )
35 simpll3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  Q  e.  A )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  Q  e.  A )
3733, 34, 363jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
38 simpllr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
39 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
412, 40, 24, 16, 3cvrat42 35269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  ( 0. `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
4241imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
4331, 37, 38, 39, 42syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  E. q  e.  A  ( q
( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) )
4443ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  (
p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
452, 40, 3, 6elpmap 35583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
46453adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
47 df-rex 2813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  ( M `
 Q ) p ( le `  K
) ( q  .\/  r )  <->  E. r
( r  e.  ( M `  Q )  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )
483, 6elpmapat 35589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( r  e.  ( M `  Q )  <-> 
r  =  Q ) )
49483adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( r  e.  ( M `  Q )  <-> 
r  =  Q ) )
5049anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( r  e.  ( M `  Q
)  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) ) ) )
5150exbidv 1715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  e.  ( M `
 Q )  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <->  E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) ) ) )
5247, 51syl5rbb 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <->  E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) )
53 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  Q  ->  (
q  .\/  r )  =  ( q  .\/  Q ) )
5453breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  Q  ->  (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  <->  p ( le `  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
5554ceqsexgv 3232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  A  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) )  <->  p ( le `  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
56553ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <-> 
p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) )
5752, 56bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  <-> 
p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) )
5846, 57anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( ( q  e.  A  /\  q
( le `  K
) X )  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) ) )
59 anass 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X )  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) )  <->  ( q  e.  A  /\  ( q ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6058, 59syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( q  e.  A  /\  ( q ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) ) )
6160rexbidv2 2964 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6261ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  ( E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  <->  E. q  e.  A  ( q
( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6344, 62sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  (
p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q )  ->  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) )
6463imdistanda 693 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( p  e.  A  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  (
p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `
 X ) E. r  e.  ( M `
 Q ) p ( le `  K
) ( q  .\/  r ) ) ) )
65 hllat 35189 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
66653ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
67 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  X  e.  B )
682, 24latjcl 15807 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( X  .\/  Q
)  e.  B )
6966, 67, 5, 68syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( X  .\/  Q
)  e.  B )
702, 40, 3, 6elpmap 35583 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
711, 69, 70syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
7271adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
732, 3, 6pmapssat 35584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  A )
74733adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  X
)  C_  A )
7566, 74, 83jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X
)  C_  A  /\  ( M `  Q ) 
C_  A ) )
7675adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( K  e. 
Lat  /\  ( M `  X )  C_  A  /\  ( M `  Q
)  C_  A )
)
772, 16, 6pmapeq0 35591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  =  (/)  <->  X  =  ( 0. `  K ) ) )
78773adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  =  (/)  <->  X  =  ( 0. `  K ) ) )
7978necon3bid 2715 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  =/=  (/)  <->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
8079biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  X )  =/=  (/) )
81 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  e.  A )
8216, 3atn0 35134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  Q  e.  A )  ->  Q  =/=  ( 0. `  K
) )
8315, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  =/=  ( 0.
`  K ) )
842, 16, 6pmapeq0 35591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( M `  Q )  =  (/)  <->  Q  =  ( 0. `  K ) ) )
851, 5, 84syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  Q )  =  (/)  <->  Q  =  ( 0. `  K ) ) )
8685necon3bid 2715 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  Q )  =/=  (/)  <->  Q  =/=  ( 0. `  K ) ) )
8783, 86mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  Q
)  =/=  (/) )
8887adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  Q )  =/=  (/) )
8940, 24, 3, 9elpaddn0 35625 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X
)  C_  A  /\  ( M `  Q ) 
C_  A )  /\  ( ( M `  X )  =/=  (/)  /\  ( M `  Q )  =/=  (/) ) )  -> 
( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Q ) )  <->  ( p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) )
9076, 80, 88, 89syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  <->  ( p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) )
9164, 72, 903imtr4d 268 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  ->  p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Q ) ) ) )
9291ssrdv 3505 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  C_  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q
) ) )
932, 24, 6, 9pmapjoin 35677 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9466, 67, 5, 93syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9594adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) )  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9692, 95eqssd 3516 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `  X ) 
.+  ( M `  Q ) ) )
9729, 96pm2.61dane 2775 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   lecple 14718   joincjn 15699   0.cp0 15793   Latclat 15801   OLcol 35000   Atomscatm 35089   AtLatcal 35090   HLchlt 35176   pmapcpmap 35322   +Pcpadd 35620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-lat 15802  df-clat 15864  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-pmap 35329  df-padd 35621
This theorem is referenced by:  pmapjat2  35679  pmapjlln1  35680  atmod1i2  35684  paddatclN  35774
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