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Theorem pmapjat1 30335
Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapjat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pmapjat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pmapjat.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
pmapjat.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapjat1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) ) )

Proof of Theorem pmapjat1
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  HL )
2 pmapjat.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 pmapjat.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29772 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
543ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  e.  B )
6 pmapjat.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( pmap `  K
)
72, 3, 6pmapssat 30241 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  B )  ->  ( M `  Q
)  C_  A )
81, 5, 7syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  Q
)  C_  A )
9 pmapjat.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
103, 9padd02 30294 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( M `  Q ) 
C_  A )  -> 
( (/)  .+  ( M `  Q ) )  =  ( M `  Q
) )
111, 8, 10syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( (/)  .+  ( M `
 Q ) )  =  ( M `  Q ) )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (/)  .+  ( M `  Q )
)  =  ( M `
 Q ) )
13 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( M `  X )  =  ( M `  ( 0. `  K ) ) )
14 hlatl 29843 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
15143ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  AtLat )
16 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
1716, 6pmap0 30247 . . . . . 6  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( M `  ( 0. `  K
) )  =  (/) )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( 0. `  K ) )  =  (/) )
1913, 18sylan9eqr 2458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  X )  =  (/) )
2019oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) )  =  ( (/)  .+  ( M `  Q
) ) )
21 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X  .\/  Q )  =  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
) )
22 hlol 29844 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
23223ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  OL )
24 pmapjat.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
252, 24, 16olj02 29709 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
)  =  Q )
2623, 5, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( 0. `  K )  .\/  Q
)  =  Q )
2721, 26sylan9eqr 2458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( X  .\/  Q )  =  Q )
2827fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( M `
 Q ) )
2912, 20, 283eqtr4rd 2447 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `  X ) 
.+  ( M `  Q ) ) )
30 simpll1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3130adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  K  e.  HL )
32 simpll2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  X  e.  B )
3332adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  X  e.  B )
34 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  p  e.  A )
35 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  Q  e.  A )
3635adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  Q  e.  A )
3733, 34, 363jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
38 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
39 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )
40 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
412, 40, 24, 16, 3cvrat42 29926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  ( 0. `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
4241imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
4331, 37, 38, 39, 42syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  E. q  e.  A  ( q
( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) )
4443ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  (
p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q )  ->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
452, 40, 3, 6elpmap 30240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
46453adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
47 df-rex 2672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  ( M `
 Q ) p ( le `  K
) ( q  .\/  r )  <->  E. r
( r  e.  ( M `  Q )  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )
483, 6elpmapat 30246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( r  e.  ( M `  Q )  <-> 
r  =  Q ) )
49483adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( r  e.  ( M `  Q )  <-> 
r  =  Q ) )
5049anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( r  e.  ( M `  Q
)  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) ) ) )
5150exbidv 1633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  e.  ( M `
 Q )  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <->  E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) ) ) )
5247, 51syl5rbb 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <->  E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) )
53 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  Q  ->  (
q  .\/  r )  =  ( q  .\/  Q ) )
5453breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  Q  ->  (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  <->  p ( le `  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
5554ceqsexgv 3028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  A  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q  .\/  r
) )  <->  p ( le `  K ) ( q  .\/  Q ) ) )
56553ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r ( r  =  Q  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  <-> 
p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) )
5752, 56bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  <-> 
p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) )
5846, 57anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( ( q  e.  A  /\  q
( le `  K
) X )  /\  p ( le `  K ) ( q 
.\/  Q ) ) ) )
59 anass 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  A  /\  q ( le `  K ) X )  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) )  <->  ( q  e.  A  /\  ( q ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6058, 59syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  <->  ( q  e.  A  /\  ( q ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) ) )
6160rexbidv2 2689 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  A  ( q ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6261ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  ( E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  <->  E. q  e.  A  ( q
( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) ( q  .\/  Q ) ) ) )
6344, 62sylibrd 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K
) )  /\  p  e.  A )  ->  (
p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q )  ->  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Q )
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) )
6463imdistanda 675 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( p  e.  A  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Q ) )  ->  (
p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `
 X ) E. r  e.  ( M `
 Q ) p ( le `  K
) ( q  .\/  r ) ) ) )
65 hllat 29846 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
66653ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
67 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  X  e.  B )
682, 24latjcl 14434 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( X  .\/  Q
)  e.  B )
6966, 67, 5, 68syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( X  .\/  Q
)  e.  B )
702, 40, 3, 6elpmap 30240 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
711, 69, 70syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
7271adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  <-> 
( p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Q ) ) ) )
732, 3, 6pmapssat 30241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  A )
74733adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  X
)  C_  A )
7566, 74, 83jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X
)  C_  A  /\  ( M `  Q ) 
C_  A ) )
7675adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( K  e. 
Lat  /\  ( M `  X )  C_  A  /\  ( M `  Q
)  C_  A )
)
772, 16, 6pmapeq0 30248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  =  (/)  <->  X  =  ( 0. `  K ) ) )
78773adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  =  (/)  <->  X  =  ( 0. `  K ) ) )
7978necon3bid 2602 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  =/=  (/)  <->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
8079biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  X )  =/=  (/) )
81 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  e.  A )
8216, 3atn0 29791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  Q  e.  A )  ->  Q  =/=  ( 0. `  K
) )
8315, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  Q  =/=  ( 0.
`  K ) )
842, 16, 6pmapeq0 30248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( M `  Q )  =  (/)  <->  Q  =  ( 0. `  K ) ) )
851, 5, 84syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  Q )  =  (/)  <->  Q  =  ( 0. `  K ) ) )
8685necon3bid 2602 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  Q )  =/=  (/)  <->  Q  =/=  ( 0. `  K ) ) )
8783, 86mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  Q
)  =/=  (/) )
8887adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  Q )  =/=  (/) )
8940, 24, 3, 9elpaddn0 30282 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X
)  C_  A  /\  ( M `  Q ) 
C_  A )  /\  ( ( M `  X )  =/=  (/)  /\  ( M `  Q )  =/=  (/) ) )  -> 
( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Q ) )  <->  ( p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) )
9076, 80, 88, 89syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  <->  ( p  e.  A  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Q
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) )
9164, 72, 903imtr4d 260 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  ->  p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Q ) ) ) )
9291ssrdv 3314 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  C_  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q
) ) )
932, 24, 6, 9pmapjoin 30334 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9466, 67, 5, 93syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Q )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9594adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) )  C_  ( M `  ( X  .\/  Q
) ) )
9692, 95eqssd 3325 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  /\  X  =/=  ( 0. `  K ) )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `  X ) 
.+  ( M `  Q ) ) )
9729, 96pm2.61dane 2645 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  A )  ->  ( M `  ( X  .\/  Q ) )  =  ( ( M `
 X )  .+  ( M `  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   0.cp0 14421   Latclat 14429   OLcol 29657   Atomscatm 29746   AtLatcal 29747   HLchlt 29833   pmapcpmap 29979   + Pcpadd 30277
This theorem is referenced by:  pmapjat2  30336  pmapjlln1  30337  atmod1i2  30341  paddatclN  30431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-pmap 29986  df-padd 30278
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