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Theorem pmapglbx 34782
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements. Index-set version of pmapglb 34783, where we read  S as  S ( i ). Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
pmapglb.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapglbx  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Distinct variable groups:    y, i, B    i, I, y    i, K, y    y, S
Allowed substitution hints:    S( i)    G( y, i)    M( y, i)

Proof of Theorem pmapglbx
Dummy variables  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlclat 34372 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
21ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  CLat )
3 pmapglb.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 34303 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
65adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
7 r19.29 2997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  ->  E. i  e.  I 
( S  e.  B  /\  y  =  S
) )
8 eleq1a 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
98imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
109rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  I  ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  -> 
y  e.  B )
1211ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
1312ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B
) )
1413abssdv 3574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  C_  B )
15 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
16 pmapglb.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( glb `  K
)
173, 15, 16clatleglb 15616 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  p  e.  B  /\  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( p ( le
`  K ) ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
182, 6, 14, 17syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
19 vex 3116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
20 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  S  <->  z  =  S ) )
2120rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  S  <->  E. i  e.  I  z  =  S ) )
2219, 21elab 3250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  <->  E. i  e.  I  z  =  S )
2322imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  ( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
24 r19.23v 2943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  I  (
z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <-> 
( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2523, 24bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2625albii 1620 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( z  e. 
{ y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p
( le `  K
) z )  <->  A. z A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
27 df-ral 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z ) )
28 ralcom4 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. z A. i  e.  I  ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z ) )
2926, 27, 283bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  A. z
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
30 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  p ( le `  K ) S
31 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
p ( le `  K ) z  <->  p ( le `  K ) S ) )
3230, 31ceqsalg 3138 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  B  ->  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
3332ralimi 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
34 ralbi 2993 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S )  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3629, 35syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3736ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3818, 37bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3938rabbidva 3104 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
40393adant3 1016 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
41 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  K  e.  HL )
4212abssdv 3574 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )
433, 16clatglbcl 15604 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B )
441, 42, 43syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)
45443adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
)  e.  B )
46 pmapglb.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
473, 15, 4, 46pmapval 34770 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)  ->  ( M `  ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
4841, 45, 47syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
49 iinrab 4387 . . . 4  |-  ( I  =/=  (/)  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
50493ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
5140, 48, 503eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
52 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ i  K  e.  HL
53 nfra1 2845 . . . 4  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
54 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ i  I  =/=  (/)
5552, 53, 54nf3an 1877 . . 3  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )
56 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  K  e.  HL )
57 rsp 2830 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  S  e.  B ) )
5857imp 429 . . . . 5  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
59583ad2antl2 1159 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
603, 15, 4, 46pmapval 34770 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( M `  S
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6156, 59, 60syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  ( M `  S )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6255, 61iineq2d 4346 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  ( M `  S )  =  |^|_ i  e.  I  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K
) S } )
6351, 62eqtr4d 2511 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   (/)c0 3785   |^|_ciin 4326   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   Basecbs 14493   lecple 14565   glbcglb 15433   CLatccla 15597   Atomscatm 34277   HLchlt 34364   pmapcpmap 34510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-poset 15436  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-lat 15536  df-clat 15598  df-ats 34281  df-hlat 34365  df-pmap 34517
This theorem is referenced by:  pmapglb  34783  pmapglb2xN  34785
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