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Theorem pmapglbx 33240
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements. Index-set version of pmapglb 33241, where we read  S as  S ( i ). Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
pmapglb.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapglbx  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Distinct variable groups:    y, i, B    i, I, y    i, K, y    y, S
Allowed substitution hints:    S( i)    G( y, i)    M( y, i)

Proof of Theorem pmapglbx
Dummy variables  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlclat 32830 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
21ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  CLat )
3 pmapglb.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 32761 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
65adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
7 r19.29 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  ->  E. i  e.  I 
( S  e.  B  /\  y  =  S
) )
8 eleq1a 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
98imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
109rexlimivw 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  I  ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
117, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  -> 
y  e.  B )
1211ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
1312ad2antlr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B
) )
1413abssdv 3471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  C_  B )
15 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
16 pmapglb.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( glb `  K
)
173, 15, 16clatleglb 16308 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  p  e.  B  /\  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( p ( le
`  K ) ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
182, 6, 14, 17syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
19 vex 3019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
20 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  S  <->  z  =  S ) )
2120rexbidv 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  S  <->  E. i  e.  I  z  =  S ) )
2219, 21elab 3153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  <->  E. i  e.  I  z  =  S )
2322imbi1i 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  ( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
24 r19.23v 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  I  (
z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <-> 
( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2523, 24bitr4i 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2625albii 1685 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( z  e. 
{ y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p
( le `  K
) z )  <->  A. z A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
27 df-ral 2713 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z ) )
28 ralcom4 3036 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. z A. i  e.  I  ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z ) )
2926, 27, 283bitr4i 280 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  A. z
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
30 nfv 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  p ( le `  K ) S
31 breq2 4363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
p ( le `  K ) z  <->  p ( le `  K ) S ) )
3230, 31ceqsalg 3042 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  B  ->  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
3332ralimi 2752 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
34 ralbi 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S )  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3629, 35syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3736ad2antlr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3818, 37bitrd 256 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3938rabbidva 3006 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
40393adant3 1025 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
41 simp1 1005 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  K  e.  HL )
4212abssdv 3471 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )
433, 16clatglbcl 16296 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B )
441, 42, 43syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)
45443adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
)  e.  B )
46 pmapglb.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
473, 15, 4, 46pmapval 33228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)  ->  ( M `  ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
4841, 45, 47syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
49 iinrab 4297 . . . 4  |-  ( I  =/=  (/)  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
50493ad2ant3 1028 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
5140, 48, 503eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
52 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ i  K  e.  HL
53 nfra1 2740 . . . 4  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
54 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ i  I  =/=  (/)
5552, 53, 54nf3an 1990 . . 3  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )
56 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  K  e.  HL )
57 rspa 2726 . . . . 5  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
58573ad2antl2 1168 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
593, 15, 4, 46pmapval 33228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( M `  S
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6056, 58, 59syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  ( M `  S )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6155, 60iineq2d 4256 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  ( M `  S )  =  |^|_ i  e.  I  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K
) S } )
6251, 61eqtr4d 2459 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2408    =/= wne 2593   A.wral 2708   E.wrex 2709   {crab 2712    C_ wss 3372   (/)c0 3697   |^|_ciin 4236   class class class wbr 4359   ` cfv 5537   Basecbs 15057   lecple 15133   glbcglb 16124   CLatccla 16289   Atomscatm 32735   HLchlt 32822   pmapcpmap 32968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-poset 16127  df-lub 16156  df-glb 16157  df-join 16158  df-meet 16159  df-lat 16228  df-clat 16290  df-ats 32739  df-hlat 32823  df-pmap 32975
This theorem is referenced by:  pmapglb  33241  pmapglb2xN  33243
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