Theorem pmapglb 17252

Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements S. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62.

Hypotheses

Ref	Expression
pmapglb.b	|- B = (base` K)
pmapglb.g	|- G = (glb` K)
pmapglb.m	|- M = (pmap` K)

Assertion

Ref	Expression
pmapglb	|- ((K e. HL /\ S C_ B /\ S =/= (/)) -> (M` (G` S)) = |^|_x e. S (M` x))

Distinct variable groups:   x,B   x,K   x,S

Proof of Theorem pmapglb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapglb.b	. . . 4 |- B = (base` K)
2		pmapglb.g	. . . 4 |- G = (glb` K)
3		pmapglb.m	. . . 4 |- M = (pmap` K)
4	1, 2, 3	pmapglbx 17251	. . 3 |- ((K e. HL /\ A.x e. S x e. B /\ S =/= (/)) -> (M` (G` {y | E.x e. S y = x})) = |^|_x e. S (M` x))
5		dfss3 2611	. . 3 |- (S C_ B <-> A.x e. S x e. B)
6	4, 5	syl3an2b 1134	. 2 |- ((K e. HL /\ S C_ B /\ S =/= (/)) -> (M` (G` {y | E.x e. S y = x})) = |^|_x e. S (M` x))
7		df-rex 2110	. . . . . . 7 |- (E.x e. S y = x <-> E.x(x e. S /\ y = x))
8		equcom 1488	. . . . . . . . . 10 |- (y = x <-> x = y)
9	8	anbi2i 538	. . . . . . . . 9 |- ((x e. S /\ y = x) <-> (x e. S /\ x = y))
10		ancom 482	. . . . . . . . 9 |- ((x e. S /\ x = y) <-> (x = y /\ x e. S))
11	9, 10	bitri 190	. . . . . . . 8 |- ((x e. S /\ y = x) <-> (x = y /\ x e. S))
12	11	exbii 1398	. . . . . . 7 |- (E.x(x e. S /\ y = x) <-> E.x(x = y /\ x e. S))
13		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
14		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (x e. S <-> y e. S))
15	13, 14	ceqsexv 2325	. . . . . . 7 |- (E.x(x = y /\ x e. S) <-> y e. S)
16	7, 12, 15	3bitri 194	. . . . . 6 |- (E.x e. S y = x <-> y e. S)
17	16	abbii 2006	. . . . 5 |- {y | E.x e. S y = x} = {y | y e. S}
18		abid2 2011	. . . . 5 |- {y | y e. S} = S
19	17, 18	eqtr2i 1909	. . . 4 |- S = {y | E.x e. S y = x}
20	19	fveq2i 4684	. . 3 |- (G` S) = (G` {y | E.x e. S y = x})
21	20	fveq2i 4684	. 2 |- (M` (G` S)) = (M` (G` {y | E.x e. S y = x}))
22	6, 21	syl5eq 1940	1 |- ((K e. HL /\ S C_ B /\ S =/= (/)) -> (M` (G` S)) = |^|_x e. S (M` x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875  |^|_ciin 3256  ` cfv 3998  basecbs 16758  glbcglb 16765  HLchlt 16983  pmapcpmap 17214

This theorem is referenced by:  pmapglb2 17253  pmapmeet 17255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-lat 16847  df-clat 16848  df-atoms 16985  df-hlat 17017  df-pmap 17218

Copyright terms: Public domain